精品解析：湖北武汉市东湖中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题， 即“ ”. 2. 已知集合，集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不正确 【答案】A 【解析】 【详解】集合： ，代表全体奇数， 集合： ，可取全体整数， ①证： 任取，则， 令，由，得， ， . 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合充分，必要条件定义可判断选项正误. 【详解】或，则由不能得到，则“”不是“”的充分条件； 由可以得到，则“”是“”的充分条件， 从而“”是“”的必要不充分条件. 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及解析式是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于B，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于C, 的定义域为，的定义域为，定义域相同， 又，故，因此表达式相同，故是同一个函数， 对于D，,的表达式不相同，所以不是同一个函数， 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 6. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若对任意，，当时，都有成立， 可知函数在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 7. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，分类讨论的范围确定整数解即可. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则； 综上所述：实数的取值范围为. 8. 已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用换元法求出的解析式，将存在性问题转化为不等式有解问题，分离参数得到 ，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】已知，令，则， 所以，即. 由题意，存在使得成立，即存在使得成立， 也就是存在使得成立, 设，则只需, 因为，由基本不等式可得：, 当且仅当，即时，等号成立， 所以在区间上的最小值为，所以，即实数的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断A，对于B，由不等式的性质即可判断；对于CD，由作差法即可判断. 【详解】对于A，当，则，故A错误； 对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾， 从而，所以，故B正确； 对于C，若，则，，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 10. 已知集合，，且，则实数的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先解方程确定集合的元素，再逐项代入的值，判断方程解集是否为空集或是否为的子集. 【详解】由，得，所以. 对于A，时，，所以，，故A错误. 对于B，时，在上无解，所以. 由，故B正确. 对于C，时，，所以，，故C正确. 对于D，时，，所以，，故D错误. 11. 已知正实数满足， 则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】结合（），对各选项分别变形，利用基本不等式或二次函数性质判断，同时验证等号成立条件. 【详解】选项A：由基本不等式得，当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 选项B：将代入得，当时，的最小值为，故B错误； 选项C：由，故，当且仅当时，取得最大值，故C错误； 选项D：因，则， 当且仅当时取等号，即当时，取得最小值16，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得且，解得且， 所以函数的定义域为． 13. 函数的单调递减区间是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 14. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分二次项系数为和不为两种情况讨论，分别结合一次、二次不等式恒成立的条件求解，再取并集得到的取值范围. 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 综上，实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）时，先求出集合B，再依据并集、补集、交集的定义计算对应结果. （2）由，得，然后对集合B分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 因为或，所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，有，解得，此时显然有； 当时，因为，则有，解得. 综上，实数的取值范围为． 16. 已知函数f(x)的解析式为 （1）求f(f(f(7)))的值； （2）当f(x)<2时， 求实数x的取值范围； （3）请画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值． 【答案】（1）1 （2）​ （3）函数图象如下，最大值为4． 【解析】 【分析】（1）从内到外依次求函数值，每次根据自变量所在区间选取对应的解析式． （2）按分段区间分别解不等式，再将各段所得解集合并． （3）在同一坐标系中分别画出各段图象，注意分界点的归属，并比较各段函数值的大小． 【小问1详解】 因为，所以， 又，， 故． 【小问2详解】 当时，由得， 即，与取交集，得； 当时，由得， 解得，与取交集， 得； 当时，由得，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 当时，画直线在该区间上的部分，端点取实心点； 当时，画抛物线在该区间上的部分，经过原点，左端点不取，右端点取实心点； 当时，画直线在该区间上的部分，端点不取． 由于属于第一段图象，属于第二段图象，完整图象在这两处均取实心点，所得图象见答案． 当时，； 当时，，且时取等号； 当时，． 因此，在时取得最大值4． 17. 根据题意，求解下列问题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将函数变形为，根据基本不等式即可求出答案； （2）将函数变形为，根据基本不等式即可求出答案； （3）将函数变形为，根据基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由得，将函数变形为， 根据基本不等式，， 当且仅当即时等号成立， 因此，函数最小值为. 【小问2详解】 由得，将函数变形为， 根据基本不等式，， 当且仅当即时等号成立， 因此，函数最大值为. 【小问3详解】 由得，即，将函数变形为， 根据基本不等式，， 当且仅当即时等号成立， 因此，函数最大值为. 18. 小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为8万件时，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【小问1详解】 （1）因为每件产品售价为10元，所以万件产品销售收入为万元，固定成本4万元， 依题意得，当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 （2）当 时， ， 当时，取得最大值为； 当时，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上为单调递减. 当时，取得最大值为. 由，则可知当年产量为8万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 19. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，． （1）求； （2）证明：在定义域内单调递增． （3）若对，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：令，得，即. 由已知时，故； 时；时. 故对任意，都有. 设，则，且. . 所以，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）赋值法求解； （2）赋值推导，利用定义作差证明单调性； （3）利用恒等式将原不等式化简为，结合及单调性转化为对恒成立，分离参数求最值即可. 【小问1详解】 令，，故 ，，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知恒等式，注意到，得： . 代入原不等式，化简得： . 当时，. 所以对，. 结合单调递增，得：对恒成立. 分离参数得：恒成立. 令，. 令，则. 当或时，取得最小值.所以. 故，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不正确 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 6. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于实数，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知集合，，且，则实数的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数满足， 则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为16 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 13. 函数的单调递减区间是________． 14. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 16. 已知函数f(x)的解析式为 （1）求f(f(f(7)))的值； （2）当f(x)<2时， 求实数x的取值范围； （3）请画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值． 17. 根据题意，求解下列问题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若，求函数的最大值. 18. 小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 19. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，． （1）求； （2）证明：在定义域内单调递增． （3）若对，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $