精品解析：福建厦门市翔安第一中学2026-2027学年第一学期高二10月月考数学科试卷

厦门市翔安第一中学 2026～2027学年第一学期高二年10月月考试卷 数学科 满分：150分；时间：120分钟 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 3. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理表示向量即可. 【详解】由题意：. 故选：B 4. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 5. 已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. 【详解】由题意， 在直线中，方向向量为， ∴直线l的斜率存在，设，则直线l的斜率为：， ∴， ∵直线l过点， ∴，解得：， ∴，即， ∴原点到的距离为：， 故选：B. 6. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点关于直线的对称点在入射光线上，再由、两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线的方程． 【详解】解：点关于直线的对称点为 则，解得，所以M(3,3) 可得直线PM方程为：. 故选：A． 7. 如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 一定为锐角 B. 一定为直角 C. 一定为钝角 D. 锐角､直角､钝角均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算为正，从而得到即一定是锐角. 【详解】因为底面是正方形，所以，又因为底面，所以两两垂直， 所以，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，因为在线段上，所以， 所以， 则， 所以， 所以一定是锐角， 故选：A. 8. 在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A 【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上．全部选对得6分，部分选对得2分或者4分，选错得0分． 9. 已知空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量的坐标 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量的加法运算和模长公式判断A，C，利用空间向量数量积的坐标运算判断B，利用投影向量的坐标公式判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，由空间向量的模长公式得，故A错误， 对于B，因为，，所以，故B正确， 对于C，因为，，所以，故C正确， 对于D，由模长公式得， 由投影向量的坐标公式得，向量在上的投影向量的坐标如下， 为，故D正确. 故选：BCD 10. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线：（，不同时为），若直线过点，则直线的方程可化为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与方向向量、过定点直线与线段相交的斜率范围、平行线间距离公式、直线方程的变形，结合对应公式逐一判断选项正误. 【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率，向量与向量共线，因此是直线的一个方向向量，A正确； 对于B，设定点为，直线的斜率分别为， 由于线段AB整体位于点P的右侧，过P的直线与线段AB相交时，， B正确； 对于C，将直线化为，该直线与直线平行， 它们间的距离，C错误； 对于D，直线过点，故，即，代入原方程得，整理得，D正确. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【解析】 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离， 所以边上的高为． 故答案为： 14. 已知，直线：与y轴的交点为A，：与x轴的交点为B，与的交点为，则四边形的面积的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算三点坐标，再根据计算面积，最后利用基本不等式求最值. 【详解】由题意得，， 由解得， 则 ， 等号成立时， 故四边形的面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程写在答题卡指定位置上． 15. 已知的顶点分别为，，． （1）设的中点为D，求中线所在直线的一般式方程； （2）若直线l过点B，且l在y轴上的截距是在x轴上的截距的3倍，求直线l的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 D为的中点，故， 由两点式，，整理得. 【小问2详解】 当两截距都为0时，直线l过原点，设直线方程为， 将代入，解得，故，整理得； 当两截距都不为0时，设直线方程为， 将代入，解得，故，整理得. 综上所述，直线l方程为或. 16. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．设，，，以为基底. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角． 【答案】（1）证明：由题意知，，，. 则， ，. 又， 则， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出，结合垂直关系的向量表示证明即可. （2）根据向量的线性运算及向量数量积运算律，结合异面直线夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以 . 因为，则. . 设异面直线与所成角为，， 则，所以. 故异面直线与所成角为. 17. 已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程； （3）求的面积． 【答案】（1）的坐标为，的坐标为 （2）和 （3）50 【解析】 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【小问1详解】 联立，解得即得． 设，因点是的中点，则， 解得 ，即得． 【小问2详解】 由直线的斜率，且， 则直线的方程为，即． 由直线的斜率，且， 则直线的方程为，即． 故这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程是和． 【小问3详解】 由，得，即， 所以． 又到的距离， 所以的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取中点，连接，. 因为是的中点，所以，. 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. （3）设，求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式的向量表示列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，. 又，则两两垂直. 以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 因为，，平面，， 所以平面，则即为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设平面与平面夹角为， 则， 所以. 故平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设，，，则，所以. 则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 则点到平面的距离为， 令，则，整理得， 解得. 又，所以. 故在线段上存在点，使得点到平面的距离为1，此时. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，，，求平面的方程； （2）若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）由题设得几何体为正八面体，其内切球球心为原点，半径为原点到其中一面的距离，利用等体积转换可得半径，即可计算表面积. （3）通过平面方程求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 ， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，， 由，得， 所以平面的方程为． 【小问2详解】 方程经过点， 则集合所围成的几何体为如下图的正八面体. 则的内切球球心为，半径为点到平面的距离. 由得. 由得. 则，解得. 所以的内切球的表面积为. 【小问3详解】 记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 由已知得， 设为平面的一个法向量，则. 令，得，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安第一中学 2026～2027学年第一学期高二年10月月考试卷 数学科 满分：150分；时间：120分钟 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 5. 已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 7. 如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 一定为锐角 B. 一定为直角 C. 一定为钝角 D. 锐角､直角､钝角均有可能 8. 在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，把正确选项的代号填涂在答题卡指定位置上．全部选对得6分，部分选对得2分或者4分，选错得0分． 9. 已知空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量的坐标 10. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线：（，不同时为），若直线过点，则直线的方程可化为 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 13. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______． 14. 已知，直线：与y轴的交点为A，：与x轴的交点为B，与的交点为，则四边形的面积的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程写在答题卡指定位置上． 15. 已知的顶点分别为，，． （1）设的中点为D，求中线所在直线的一般式方程； （2）若直线l过点B，且l在y轴上的截距是在x轴上的截距的3倍，求直线l的一般式方程． 16. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．设，，，以为基底. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角． 17. 已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程； （3）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，，，求平面的方程； （2）若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $