精品解析：福建厦门市音乐学校2026-2027学年第一学期高二10月阶段考试数学试卷

厦门音校2026—2027学年第一学期高二年级10月阶段考 数学学科试卷 考试时间：2026年10月9日下午（满分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由，，可知直线斜率， 所以直线倾斜角满足，且，所以. 故选：B 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 4. 已知在四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，点为中点，连接, 则. 故选：B. 5. 不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【详解】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量法求线线角即可. 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 7. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求解. 【详解】 因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离. 故点到直线的距离是. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（ ） A. 直线AB的一个方向向量为 B. 线段AB的长度为3 C. 平面α的法向量中 D. 向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项． 【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误； 对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确； 对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确． 故选： CD． 11. 如图所示，正方体的棱长为2，点和点分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，的正方体截面可以是直角三角形 B. 为定值4 C. 直线与直线所成角余弦值的取值范围为 D. 直线与面夹角的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】过点，的正方体截面为三角形只能是锐角三角形，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法依次分析选项BCD即可. 【详解】正方体截面要是三角形，则该截面必须与同一顶点出发的三条棱相交， 因为该截面要过点 ，所以只能都在最左侧（或者最右侧）截面才是三角形, 根据正方体性质得到该三角形为等腰三角形，如图以为例，， 设，其中 ， 则由余弦定理得到，所以为锐角， 所以必定为锐角三角形； 所以过点，的正方体截面若为三角形只能是锐角三角形，选项A错误； 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 则，， 则，选项B正确； 直线与直线所成角为 则， 因为，所以，选项C正确； 面的法向量为 ，设直线与面夹角为， 则 ,因为，所以， 因此直线与面夹角的最大值为，选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解. 【详解】由题意知，所以点到的距离． 故答案为：. 13. 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【解析】 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 14. 已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角可得斜率k的范围，再由斜率公式可得m的取值范围. 【详解】设直线l的斜率为k， 则，因为， 所以．所以， 即解得或. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点. （1）若直线与垂直，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为， 过点且与直线垂直的直线的方程为，即. 【小问2详解】 分两种情况讨论： ①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入该直线方程得，解得，此时，所求直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为，即， 将点的坐标代入该直线方程得， 此时，所求直线的方程为 综上所述，所求直线的方程为或. 16. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故 ； 【小问2详解】 由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17. 如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，， （1）求二面角的余弦值； （2）在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；点E为PB的中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （2）利用向量法，由判断出点的位置. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. 平面的法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以. 【小问2详解】 ,，， 设， ， ， 若平面，则， 即， 所以存在是的中点，使平面. 18. 已知四边形，，，将沿翻折至． （1）若，求证； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得，再由已知垂直处平面，证得线线垂直； （2）取的中点，的中点，连结，，证得为二面角的平面角，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦． 【详解】（1）证明：因为，， 所以， 在中，有， 所以， 又，即，所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以； （2）解：取的中点，的中点，连结，，则， 因为，所以，所以， 因为，即，所以， 所以为二面角的平面角，， 设，则，， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，故， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用相应概念计算即可； （2）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形结合计算即可； （3）根据（2）的结论及点到直线的距离公式建立等量关系计算即可. 【小问1详解】 根据题意可知， ， 则， 所以； 【小问2详解】 设，因为，则有， 即的轨迹， 作出的轨迹图形如图所示， 若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大， 根据余弦函数的单调性可知此时最小， 则的最大值为； 【小问3详解】 易知， 设，则， 若，则，符合题意； 若，则， 根据分段函数的性质可知， 又恒成立， 当且仅当时取得等号. 综上：或. 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题，一方面可以转化为几何问题，作出相应正方形数形结合来处理；也可以利用绝对值的意义分类讨论来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门音校2026—2027学年第一学期高二年级10月阶段考 数学学科试卷 考试时间：2026年10月9日下午（满分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 3. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知在四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 5. 不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（ ） A. 直线AB的一个方向向量为 B. 线段AB的长度为3 C. 平面α的法向量中 D. 向量与向量夹角的余弦值为 10. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 11. 如图所示，正方体的棱长为2，点和点分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点，的正方体截面可以是直角三角形 B. 为定值4 C. 直线与直线所成角余弦值的取值范围为 D. 直线与面夹角的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________. 13. 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 14. 已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点. （1）若直线与垂直，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，， （1）求二面角的余弦值； （2）在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知四边形，，，将沿翻折至． （1）若，求证； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $