精品解析：上海市位育中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026 学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级　数学学科 （考试时间 100 分钟，总分 100 分） 一、填空题（本大题共有 12 题，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分，满分 42 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将根式化为指数幂的形式即可. 【详解】由题知，，则. 2. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 【答案】7 【解析】 【详解】集合中有3个元素，所以集合的真子集个数为个. 3. 设．若，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】由得． 4. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分为和两种情况去绝对值符号，即可求解不等式. 【详解】因为，所以或， 即或，所以或， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 5. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得到，等价于，且，解得， 所以不等式的解集为. 6. 设，则_________ （从 、、、 中选一个符号填写）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得． 由完全平方性质得，当且仅当且时取等， 可得恒成立， 而，则无法取等，则恒成立. 7. 已知全集为，集合，集合，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】函数有意义，则有，得． 函数的值域为，则． ，所以 ． 8. 设正数满足等式，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，两边取对数可得，继而可求解. 【详解】由得， 两边取自然对数：， 所以. 9. 在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，结合三角绝对值不等式即可求解最值. 【详解】设， 则．当且仅当同号时取等号. 故答案为：3. 10. 已知均为正数,且,则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为,得到,根据均值不等式,(,)即可求得根据不等式的的最大值． 【详解】均为正数,且, , 根据均值不等式,(,) , 当且仅当即,时等号成立, 故答案为:． 【点睛】本题考查了根据均值不等求最值,熟练使用均值不等式是解题关键,注意在使用均值不等式时,要检验等号是否成立,考查了转化能力和计算能力,属于中档题. 11. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 12. 设，且对任意，总存在，使得，则的所有取值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】条件等价于：对每个，都存在使，即，结合，分类讨论t的取值，看条件能否成立，即可得. 【详解】由题意可知条件等价于：对每个，都存在使， 即． 当时，取必须有，故． 当时，对任意都取（），则，条件成立． 当时内全为负数，，此时的取值为． 由得、，每个都含， 取即，条件成立． 另外，题设中的作为区间需满足； 时将迫使，不合题意， 故的所有取值为及一切不小于的整数，即． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13. 下列说法错误的是（　　）． A. 奇数集可以表示为 B. 奇数集可以表示为 C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】A选项： 包括全部奇数，正确； B选项： 包括全部奇数，正确； C选项：“或”中，满足后者、满足前者，其余实数两者都满足，故该集合为，正确； D选项：“且 ”即 ，该集合中没有和这两个元素，不等于，错误． 14. 设，且，则以下代数式中，不恒成立的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算性质对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：且，则恒成立，故A不符合； 对于B：且，，对数恒等式恒成立，故B不符合； 对于C：，且，恒成立，故C不符合； 对于D：当，且时，， 当时，，无意义，故不恒成立，故D符合. 15. 若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，将两边同时平方，则问题转化为不等式恰好有个整数解，则，再根据求出不等式的解集，再根据左端点的取值范围，得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：由，即，所以，即， 要使关于的不等式恰好有个整数解， 则，即，又， 所以由不等式解得， 即，因为，所以， 故一定有为所求的整数解集， 所以，即， 等价于，所以，解得，即； 故选：B 16. 上海是全球咖啡店最多的城市．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为元/杯，其原材料成本为元/杯，营销成本为元/杯，且该品牌门店提供如下种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）折优惠券，每人限用一次；（3）买杯送杯，每人限用两次；（4）买杯送杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以在以上种优惠方式中选择不多于种使用．现在某个公司有位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（　　）人时，无论位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析四种优惠方案，再研究对门店最不利的购买方式保证盈利的情况，最后对参数范围分类讨论求解即可. 【详解】由题意得咖啡原价元/杯，成本为元/杯， 下面计算各种优惠，（1）首杯免单即元/杯，每杯亏元，人共杯； （2）若打折，即元/杯，每杯亏元，每人限杯； （3）若买送，即元杯，合元/杯，每杯盈元，每人最多杯； （4）若买送，即元杯、合元/杯，每杯盈元，杯数只能是的倍数． 则把四种优惠折算到每杯，可得让利力度从大到小为（1）、（2）、（3）（4）、原价， 若对门店最不利的购买方式都能保证盈利，则其它方式一定能保证盈利， 而对门店最不利的购买方式一定把张免单券全部用掉， 且不会出现原价杯，其余每一杯只能按元或元成交． 设人中有人用折券，共有杯，且， 设一共买了杯，其余杯用（3）或（4）以元/杯成交， 则门店利润为． 若要盈利，则 得到，可得， 即用（3）（4）卖出的杯数超过杯，而总杯数为， 故当时，门店一定不能保证盈利． 当时：取，另让人用买送两次拿杯， 其余人只用免单，则，门店仍亏损． 当时，此时，如果要亏损，则，解得， 而，得到，当时，得到人已用完所有优惠， 没有人有名额去购买这杯，与题意不符， 当时，，则门店必盈利，不存在亏损方案， 可得技术人员不少于 人时，无论怎样使用优惠，门店都能保证盈利，故C正确. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 42 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 若，求关于的不等式的解集； 【答案】 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，若，解集为；若，解集为. 【解析】 【分析】解一元一次不等式需根据一次项系数分类讨论，移项化简后得到对应解集；当一次项系数为时，不等式转化为常数与常数的比较，根据不等式是否恒成立得到对应解集. 【详解】分情况讨论如下： 当时，的解集为； 当时，的 解集为； 当时，若，不等式恒成立，解集为； 若，不等式无解，解集为. 18. 已知或，或． （1）若是的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 19. 设关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的取值范围； （2）求证：不存在实数，使得． 【答案】（1）； （2）证明：由二次函数图象开口向上，又， 由（1）知，当时，，此时； 当时，，此时二次函数与轴有两个不同的交点， 设两个交点坐标为，，则不等式的解集， 因此，不存在实数，使得. 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式对应二次函数图象开口向上，解集，则，列式求解即可； （2）由开口向上的抛物线，不可能全部位于轴下方，通过开口方向与判别式即可作出证明. 【小问1详解】 由题可知，不等式的解集为，则， 即，整理得，解得； 【小问2详解】 略 20. 设．集合，． （1）若，记集合，求集合； （2）用代表集合的元素个数．若，记的取值集合为．试比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 证明：由题知：是等式的解集，即且、． 该方程的判别式为， 当时，，方程无实根，； 当时，，此时方程有重根，满足条件、，． 当时，，此时方程有两不相等的实数根：，且， 因为，满足、， 所以，要使，只需或，即或，均满足； 所以，当时，满足的的值可以是或， 综上，，． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为解（且），再结合穿根法求得，最后求交集即可； （2）由题知且、，再结合判别式讨论根的个数求得即可求得答案. 【小问1详解】 解：先化简：（），且要求． 所以，两集合的条件分别是与（且）． 当时，移项得，即，亦即， 所以（且） 令得或或， 所以，根据穿根法得：，即 所以． 【小问2详解】 略 21. 设集合.若至少含有两个元素，且对中任意两个不同的元素，都有，则称具有“性质”. （1）判断集合与集合是否具有“性质”，并分别说明理由. （2）设集合有个元素（），且具有“性质”.求证，并求集合中所有元素的乘积. 【答案】（1） 集合具有“性质”.有理数集至少含有两个元素.任取两个不同的有理数，因为有理数的乘法和减法运算仍得到有理数，所以. 记.取，，则，所以不具有“性质”. （2） 若，从有限集中取两个不同的元素，使为中任意两个不同元素之间的最小距离.另取，使且. 由“性质”，，.这两个元素之间的距离为 . 因为，所以，与为最小距离矛盾.因此，又，故. 设，.由且，得.这两个值都属于，按大小顺序可得 ①减②，得.由，得. ①加②，得，即. 记，.用代入上面的和、差关系，得到等价条件 若，由③得.若，由④得，将所得等式减去③，得，故，且. 对于，取，.此时，两数互不相同，且满足③和④，故具有“性质”. 对于，取，.此时，，且. 任取，记另一个数为.由和，得，故 . 取，，得. 取，，得. 两种取序所得结果均在中，故具有“性质”. 综上，集合中所有元素的乘积为或. 【解析】 【分析】（1）利用有理数的运算性质判断有理数集，再对三元集合找一个反例. （2）取距离最近的两个不同元素，用第三个元素构造距离更近的一对以反证.再比较两元集合中两种运算结果的大小，由所得方程求积并检验取值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级　数学学科 （考试时间 100 分钟，总分 100 分） 一、填空题（本大题共有 12 题，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分，满分 42 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 将化简为指数幂的形式为__________． 2. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 3. 设．若，则______________． 4. 不等式的解集为_____. 5. 不等式的解集为_______． 6. 设，则_________ （从 、、、 中选一个符号填写）． 7. 已知全集为，集合，集合，则______________． 8. 设正数满足等式，则______________． 9. 在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为______． 10. 已知均为正数,且,则的最大值为__________． 11. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 12. 设，且对任意，总存在，使得，则的所有取值为______________． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13. 下列说法错误的是（　　）． A. 奇数集可以表示为 B. 奇数集可以表示为 C. 或 D. 且 14. 设，且，则以下代数式中，不恒成立的是（　　）． A. B. C. D. 15. 若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 上海是全球咖啡店最多的城市．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为元/杯，其原材料成本为元/杯，营销成本为元/杯，且该品牌门店提供如下种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）折优惠券，每人限用一次；（3）买杯送杯，每人限用两次；（4）买杯送杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以在以上种优惠方式中选择不多于种使用．现在某个公司有位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（　　）人时，无论位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 42 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 若，求关于的不等式的解集； 18. 已知或，或． （1）若是的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数m的取值范围． 19. 设关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的取值范围； （2）求证：不存在实数，使得． 20. 设．集合，． （1）若，记集合，求集合； （2）用代表集合的元素个数．若，记的取值集合为．试比较与的大小，并证明你的结论． 21. 设集合.若至少含有两个元素，且对中任意两个不同的元素，都有，则称具有“性质”. （1）判断集合与集合是否具有“性质”，并分别说明理由. （2）设集合有个元素（），且具有“性质”.求证，并求集合中所有元素的乘积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $