精品解析：上海市延安中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

延安中学高一期中数学试卷 一．填空题 1. 已知全集，集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】根据题意得. 故答案为：. 2. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得或，解得或. 3. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的属于关系分类讨论的取值，再结合集合元素的互异性验证筛选得到正确结果． 【详解】由，可知集合中存在元素为0，分两类讨论： 若，则，与矛盾； 若，而，解得， 此时集合，满足集合元素的互异性，符合题意， 综上，． 4. 已知，，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】由 ，得 . 由 ，得 . 两式相加得 ，即 的取值范围为 . 5. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为. 6. 已知方程的两个根为、，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】应用根与系数关系及，即可求值. 【详解】由题设，，则. 故答案为：4 7. 上海市延安中学迎来周年校庆，学校以燕子为原型设计校庆吉祥物，燕子既呼应校名中的“延”，也象征延安学子如春燕般向阳而生、振翅翱翔．学校向校友发放张选票进行吉祥物名字投票，候选名字为：A．燕安安、B．延凌霄．每位校友至少勾选了其中一个名字，已知勾选“燕安安”的有人，勾选“延凌霄”的有人，请问两个名字都勾选的校友有________人 【答案】171 【解析】 【详解】两个名字都勾选的校友有人. 8. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合真子集个数与元素个数的关系，确定方程有两个不等实根，通过判别式大于0，求解的取值范围. 【详解】因为集合有且仅有三个真子集，则，解得， 则一元二次方程有两个不同的实数解，则， 解得或，故的取值范围是. 9. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，转化为，求解即可. 【详解】由，得，解得， 由，解得， 又因为原不等式组无实数解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 10. 设集合，.若，则实数的值为________. 【答案】或或 【解析】 【详解】由，由，因为集合最多只有一个元素，所以集合可能为、、. 当时，方程无解，. 当时，将代入方程，. 当时，将代入方程，. 11. 设且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 因为，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立， 故，故的最小值为. 故答案为：. 12. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义即可判断①；逐一去掉一个元素，列举即可判断②③；不妨设，讨论在集合中去掉元素后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断④. 【详解】对于①，去掉3后，不满足定义，不是“可分集合”，①正确； 对于②，集合所有元素之和为， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，②正确； 对于③，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，③错误； 对于④，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（1），或者（2）， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（3），或者（4）， 由（1）（3）或（2）（4）得，矛盾； 由（1）（4）或（2）（3）得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，④正确． 二．选择题 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【详解】令，即，解得或，所以“”是“”的充分非必要条件. 14. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断AD，由不等式的性质判断B；当时，，即可判断C. 【详解】对于A，当时，满足， 但，故A错误； 对于B，因为，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，满足， 但，故D错误. 15. 已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在且；④存在且； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由子集的定义分析、元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案． 【详解】根据题意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合的元素不都是集合的元素， 据此分析4个命题： ①的元素不都是的元素，正确， ②的部分元素可以为的元素，不正确， ③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正确， ④存在且，正确， 其中正确的命题有2个， 故选：． 16. 已知，，，若关于的不等式组的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，是方程的两根，是方程的两根， 则，，，， ，， 则， 即恒成立，故A，B，C错误，D正确. 三．解答题 17. 求证：． 【答案】 根据柯西不等式，有， 即． 【解析】 【分析】由柯西不等式即可得证. 【详解】略 18. 某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. （1）若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； （2）试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； （2）表示出平均成本，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 若要求生产总成本不超过30000元，则， 即，解得， 又，所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即该工厂生产件产品时，每件产品的平均成本最小. 19. 已知关于的绝对值不等式：. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，和，解不等式即可求出答案； （2）由的几何意义求出的最小值为2，即2>，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 当时，原不等式变为：由 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得. 故所求不等式的解集为：. 【小问2详解】 由在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式）， 的最小值为2， 则有2>，可化为， 所以. 20. 已知，，，，． （1）当时，不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集为，求的最大值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，；当时，或. （3） 【解析】 【分析】（1）代入后利用一元二次不等式的解集与根的关系，结合韦达定理求得参数； （2）将已知条件代入不等式并化简，转化为含参数的一元二次不等式，通过讨论的正负及两根的大小关系确定解集； （3）将原问题转化为不等式恒成立问题，利用判别式得到参数间的关系，再通过换元与基本不等式求出代数式的最大值. 【小问1详解】 当时，. 不等式的解集为， 可知且是方程的两个实数根. 由韦达定理知，且， 解得； 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，，原不等式化为， 所以或； 当时，原不等式化为， 当时，不等式的解集为，　　 当时，，由不等式得：，　　 当时，，由不等式得：，　　 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. 【小问3详解】 由的解集为知， 对任意，恒有. 整理得，则有且. 化简得.由知，即. 由此得.令. 当时结果为.当时，令，则. . 因为，当且仅当即时等号成立. 此时.故的最大值为. 21. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据该生活常识，得到一个关于不等式的命题：若，，则，试加以证明； （2）求证：若，，为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法，通过通分化简分子，根据已知条件的范围判断差值的符号即可； （2）利用三角形两边之和大于第三边确定分母与分子的关系，直接代入（1）中的不等式性质进行放缩，最后求和； （3）利用平方比较法建立每一项与相邻根式分式的大小关系，同时利用（1）中的不等式性质进行放缩，再利用累乘法进行抵消，从而实现放缩证明. 【小问1详解】 .因为都是正数，且，所以，可得，所以. 【小问2详解】 由（1）及是三角形的三边，得，则 　同理 所以. 【小问3详解】 由（1）可知.　　 取，则 ，故有 则有 因为 所以 故，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学高一期中数学试卷 一．填空题 1. 已知全集，集合，则_______． 2. 不等式的解集是________ 3. 已知集合，，则______． 4. 已知，，则的取值范围为________ 5. 不等式的解集为________ 6. 已知方程的两个根为、，则_______． 7. 上海市延安中学迎来周年校庆，学校以燕子为原型设计校庆吉祥物，燕子既呼应校名中的“延”，也象征延安学子如春燕般向阳而生、振翅翱翔．学校向校友发放张选票进行吉祥物名字投票，候选名字为：A．燕安安、B．延凌霄．每位校友至少勾选了其中一个名字，已知勾选“燕安安”的有人，勾选“延凌霄”的有人，请问两个名字都勾选的校友有________人 8. 若集合有且仅有三个真子集，则的取值范围是__________． 9. 已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为________ 10. 设集合，.若，则实数的值为________. 11. 设且，则的最小值为______． 12. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 二．选择题 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在且；④存在且； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知，，，若关于的不等式组的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 三．解答题 17. 求证：． 18. 某工厂生产件产品的总成本（单位：元）与生产件数之间满足二次函数. （1）若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； （2）试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 19. 已知关于的绝对值不等式：. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知，，，，． （1）当时，不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集为，求的最大值． 21. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据该生活常识，得到一个关于不等式的命题：若，，则，试加以证明； （2）求证：若，，为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $