圆锥曲线的方程 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线的方程知识速记

考点一 椭圆的标准方程与几何性质

1、椭圆的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

（2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．

⚠️概念辨析  当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；

当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；  当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2、椭圆的标准方程与几何性质

3、直线与椭圆的位置关系

（1）位置关系的判断: 直线与椭圆的位置关系：

联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

（2）直线与椭圆相交的弦长公式

①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则弦长公式为：．

考点二 双曲线的标准方程与几何性质

1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．

双曲线的集合表示：．

（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：

（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

（2）若常数满足约束条件：，

则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

2、双曲线的简单几何性质