第三章 圆锥曲线的方程（12考点+4易错+易错训练）（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“圆锥曲线的方程”单元内容，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，搭建了从概念理解到方程应用再到性质探究的递进式学习支架。 清单通过表格对比、【注意】标注及记忆口诀（如“焦点跟着正项走”）呈现知识体系，突出定义条件、方程形式等重难点，培养数学思维与表达能力。设计易错点分析（如忽略焦点位置）和对点训练，助力学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

第三章 圆锥曲线的方程 知识点一 椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 用待定系数法求椭圆方程 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 知识点三 椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． 求椭圆的离心率 【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 知识点四 双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点五 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 知识点六 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 【注意】(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． 知识点七 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点八 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 知识点九 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点十 抛物线与弦长有关的结论 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 知识点十一 弦长问题 斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， (1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝． (2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)． 知识点十二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况． 直线与双曲线位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 易错点1 求椭圆方程不考虑焦点 易错提醒 1. 忽略了曲线方程表示椭圆方程时，椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上。 【对点训练】1．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 3．（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据平行关系可设直线方程为，代入点运算求解即可； （2）设圆心为，可得圆的方程为，代入点运算求解即可； （3）根据椭圆的定义可得，，进而可得，即可得椭圆方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线的方程为， 代入点可得，即， 所以所求直线方程为； （2）因为圆心在直线上，可设圆心为， 且半径为5，则圆的方程为， 代入点可得，整理可得，解得或， 所以圆的方程为或； （3）设两焦点分别是，点， 则，，可得， 即，，则， 且焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为. 4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 易错点2 求双曲线方程不考虑焦点 易错提醒 1. 忽略了曲线方程表示双曲线方程时，双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上。 【对点训练】5．根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再结合焦点在轴上即可求出答案； （2）设双曲线的方程为，利用待定系数法即可求出答案. 【详解】（1）依题意可得，所以， 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 依题意得， 解得，， 所以所求双曲线的标准方程为. 6．求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助待定系数法，设出该椭圆方程，结合椭圆性质计算即可得； （2）借助待定系数法，设出该双曲线方程，结合双曲线性质计算即可得. 【详解】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 7．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆焦点坐标，由离心率可得双曲线实半轴长，从而得方程； （2）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 易错点3 求抛物线方程不考虑焦点 易错提醒 1.在抛物线的非标准方程中，直接利用公式求焦点或准线方程导致结果错误。 【对点训练】9．抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 10．已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 11．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 12．抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】/ 【分析】结合焦点到准线的距离与的关系求结论. 【详解】由，得，解得， 即抛物线的焦点到准线的距离为. 易错点4 设直线方程时忽略直线的斜率是否存在 易错提醒 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，设直线的点斜式或斜截式方程时直接假设直线的斜率存在，忽略直线的斜率不存在的情况，导致计算不严谨或结果错误。 【对点训练】13．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或. 【分析】（1）根据、、之间的关系与离心率即可求解 （2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、之间的关系式，结合距离即可证明； （ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可； 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得，， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以， 综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 14．在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法来求椭圆方程； （2）利用方程组思想，结合斜率公式和韦达定理，可求解参数. 【详解】（1）由题意有，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）若直线斜率不为0，设直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立， 得，显然， 设，，于是由韦达定理可得： ，（*）， 因为，即，则 ，， 将（*）代入，得 整理得． 由的任意性，可得， 若直线斜率为0，取，此时，也满足题意． 故所求． 15．已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)法一：因为点，过点的动直线， 所以设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即． 设，，则，①． 因为，，所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得交点的横坐标②． 将，，代入②得③． 由①得，即④． 将④代入③中，得． 所以点的横坐标为4，即点在定直线上． 法二：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即．设，， 则，，可得①． 由，，得直线的方程为， 直线的方程为．联立②， 消去，并整理得． 将①代入等式左边，得． 比较，系数，得，解得． 所以点的横坐标为，即点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，， 则椭圆变为圆． 点，，保持不变． 过的直线变为过的直线，与圆交于． 由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二）， 直线与的交点的横坐标恒为． 变换回原坐标，横坐标不变，则点的横坐标为， 即点在定直线上． 【分析】（1）求出的值，利用求出，从而得到椭圆的标准方程. （2）法一：设直线的方程为，直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理得到，，求出和直线的方程，联立解得交点的横坐标为定值，从而得到点在定直线上． 法二：设直线的方程为，利用韦达定理得到，，求出和直线的方程，通过消去，并整理得到，比较，系数解得，从而得到点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，，点，，保持不变．过的直线变为过的直线，与圆交于．由圆的几何性质得到直线与的交点的横坐标恒为． 从而得到点在定直线上. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，所以，即， 因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，所以，解得， 所以， 则椭圆的标准方程为． （2）略. 16．已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）由椭圆的离心率为，所以① 长轴长为，则，又， 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：． （2）（i）当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 有 ，可得或． 又有， 如图，由题，， 所以，， 整理得 ， 解得，故点的坐标为； 当直线l的斜率为0时，也满足题意， 故点的坐标为； （ii）要求的面积的最大值，则直线l的斜率不为0， 令，有， 此时，． 当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率为． 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 4．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 5．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 6．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 7．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 8．（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出. 【详解】因为，则可设双曲线方程为或， 将点代入方程可得，解得， 所以双曲线方程为或. 故选：AC. 9．（多选）已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．存在，使方程表示抛物线 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，并化简方程，分析方程所表示的图形，即可得出合适的选项. 【详解】当时，曲线的方程为，即， 当时，曲线的方程为，即，故存在，使方程表示直线，C对； 当且时，曲线的方程可化为， 若方程表示椭圆，则，解得且，A错； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，B对； 当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线； 当时，方程为，方程表示圆， 综上所述，不存在，使方程表示抛物线，D错. 故选：BC. 10．已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，设点的坐标为，由条件列方程求，再求，利用两点距离公式求结论即可. 【详解】抛物线的准线为，设点的坐标为， 由抛物线上的点到准线的距离为，可得，解得. 由， 所以， 所以，即， 故答案为： 11．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 12．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 13．直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为__. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. 【详解】依题意，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故答案为： 14．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. 【详解】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 15．已知椭圆过点，求椭圆的方程. 【答案】 【分析】将点的坐标代入椭圆联立方程组即可求解. 【详解】将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. 16．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【分析】设动圆圆心，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程． 【详解】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得， 化简得， 所以曲线C的方程为． 17．已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【答案】(1) (2) 由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【分析】（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可. 【详解】（1）由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. （2）略 18．已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）依题意，直线的斜率必不为0，可设其方程为，， 联立，消元得， 则由，解得 由韦达定理，， 则， 为定值； （ii） 【分析】（1）联立双曲线方程和直线可利用根的判别式，整理得，得到，所以过点P且与直线l垂直的直线为，可得，所以即可求解； （2）（i）设直线方程为，，，联立方程，由韦达定理，，则为定值；（ii）设，，且，，联立方程得到，，，所以由（ⅰ）知，，则，代入得，所以. 【详解】（1）联立，消元得 因为，由，整理得， 因此，， 所以，其中 过点P且与直线l垂直的直线为， 可得，，依题意可得 由，，可得， 即点Q的轨迹方程为 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，，且， 联立，得，所以，同理可得 联立得，所以，同理可得 所以 由（ⅰ）知，，则， 代入得 因为，所以，设， 因函数在上单调递减，在上单调递增，故， 则，从而，，即 又因为， 所以的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 知识点一 椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个________叫做椭圆的焦点，两焦点间的________叫做椭圆的焦距，焦距的________称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a________|F1F2|． 【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1________，F2________ a，b，c的关系 c2＝________ 用待定系数法求椭圆方程 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 知识点三 椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 ________且 ________ ________且 ________ 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝________，长轴长|A1A2|＝________ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝________ a，b，c的关系 c2＝________ 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． 求椭圆的离心率 【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 知识点四 双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ________(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点________上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在________上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在________上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在________上的双曲线． 知识点五 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝________ 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 知识点六 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 ________；y∈R ________；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：________；虚轴长：________ 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是________． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 【注意】(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． 知识点七 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的________． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点八 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 知识点九 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 ________，y∈R ________，y∈R ________，x∈R ________，x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝________ 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点十 抛物线与弦长有关的结论 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝________． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为________． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝________． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 知识点十一 弦长问题 斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， (1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝． (2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)． 知识点十二 点、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况． 直线与双曲线位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 易错点1 求椭圆方程不考虑焦点 易错提醒 1. 忽略了曲线方程表示椭圆方程时，椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上。 【对点训练】1．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 3．（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 易错点2 求双曲线方程不考虑焦点 易错提醒 1. 忽略了曲线方程表示双曲线方程时，双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上。 【对点训练】5．根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 6．求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 7．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 易错点3 求抛物线方程不考虑焦点 易错提醒 1.在抛物线的非标准方程中，直接利用公式求焦点或准线方程导致结果错误。 【对点训练】9．抛物线经过点，其标准方程为_______. 10．已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 12．抛物线的焦点到准线的距离为______. 易错点4 设直线方程时忽略直线的斜率是否存在 易错提醒 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，设直线的点斜式或斜截式方程时直接假设直线的斜率存在，忽略直线的斜率不存在的情况，导致计算不严谨或结果错误。 【对点训练】13．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 14．在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 15．已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 16．已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为． ①求点的坐标； ②求面积最大时，直线的斜率． 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 4．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 6．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 8．（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知方程，则下列结论正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．存在，使方程表示抛物线 10．已知抛物线上一点到准线的距离为，则____________. 11．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 12．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 13．直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为__. 14．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 15．已知椭圆过点，求椭圆的方程. 16．在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 17．已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 18．已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $