第3章 13 单元素养测评卷(三)A [范围：第三章] （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

单元素养测评卷(三)A 1.B　[解析] 抛物线的标准方程为x2=y,所以2p=,得p=,且抛物线开口向上,所以抛物线的准线方程为y=-=-.故选B. 2.A　[解析] 因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e===2,所以=,又双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.故选A. 3.C　[解析] 由椭圆+=1过点(,1)得+=1,解得m2=2,故椭圆方程为+=1.设椭圆的半焦距为c,则c2=6-2=4,所以c=2,所以该椭圆的焦距为2c=4.故选C. 4.C　[解析] 设动圆P的半径为rP.由题可知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r1=9,圆C2的圆心为C2(3,0),半径r2=1,则|C1C2|=6.因为动圆P与圆C1内切,同时与圆C2外切,所以|PC1|=r1-rP=9-rP,|PC2|=r2+rP=1+rP,所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,所以动点P到两个定点C1(-3,0),C2(3,0)的距离之和为定值,所以点P的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且长轴长为2a=10,焦距为2c=6,即a=5,c=3,所以b==4,则椭圆方程为+=1,故该动圆圆心的轨迹方程为+=1.故选C. 5.B　[解析] 因为双曲线x2-=1,所以a=1,b=,则c2=1+3=4,所以c=2.因为P为双曲线上一点,3|PF1|=5|PF2|,所以|PF2|=|PF1|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|-|PF1|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,又|F1F2|=4,所以|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF2⊥F1F2,所以=|F1F2|·|PF2|=×4×3=6.故选B. 6.B　[解析] 圆(x-1)2+(y-4)2=1的圆心为C(1,4),半径r=1.过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,过点C作CN垂直抛物线的准线于点N,如图.由抛物线的定义知,|PF|=|PM|,所以|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|≥|MQ|,当且仅当Q,P,M三点共线时,等号成立,又|MQ|≥|CN|-r=4,所以|PQ|+|PF|≥4,当且仅当C,Q,P,M四点共线,且Q在C,P之间时,等号成立,故|PQ|+|PF|的最小值为4.故选B. 7.B　[解析] 由x=,得-=1(x≥0),所以曲线x=表示双曲线-=1的右支.由得(1-m2)x2+2m2x-m2-4=0,因为直线l:mx-y-m=0与曲线C:x=有两个不同的交点,所以1-m2≠0,且Δ=-4(1-m2)(-m2-4)=16-12m2>0,解得-<m<且m≠±1.因为直线l:mx-y-m=0与双曲线-=1的右支有两个交点,所以存在两个不等且不小于2的根,设两个交点为(x1,y1),(x2,y2),所以x1+x2=>4,(x1-2)·(x2-2)=>0,所以m2-1>0,解得m>1或m<-1.综上可得,m的取值范围为-<m<-1或1<m<.故选B. 8.C　[解析] 设|MF1|=m,|MF2|=n,m,n>0,由椭圆的定义可得m+n=2a,由余弦定理可得m2+n2-2mncos 60°=4c2,即(m+n)2-2mn-mn=4c2,则mn=(a2-c2),由正弦定理可得2R==,即R=,则r=R=.由mnsin 60°=r(m+n+2c),得×(a2-c2)=(2a+2c),可得3(a-c)=2c,即3a=5c,所以椭圆C的离心率e==.故选C. 9.AD　[解析] 对于A,∵m2+2>0,m<0,∴曲线C是双曲线,故A正确;对于B,令m2+2=m,即+=0,无解,∴曲线C不可能是一个圆,故B错误;对于C,若曲线C是椭圆,则m>0,又m2+2-m=+>0,∴m2+2>m>0,∴椭圆的长轴长为2,故C错误;对于D,若m=1,则曲线C:+y2=1,∴曲线C中过焦点的最短弦长为==,故D正确.故选AD. 10.ABD　[解析] 依题意得F,所以直线l的方程为y=.由消去y整理得12x2-20px+3p2=0,可得xA=,xB=,又|AF|=xA+=4,所以p=2,故A正确;因为|BF|=xB+=+1=,所以|AF|=3|BF|,故B正确;过点B作准线的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义得|BF|=|BM|,因为直线l的斜率为,所以∠OFB=∠AFx=60°,所以∠BCM=30°,所以|BC|=2|BM|,即|BC|=2|BF|,所以|AF|≠|BC|,故C不正确;因为xA=3,xF=1,所以线段AF的中点到y轴的距离为=2=,所以以线段AF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] 由题知2a=4,由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a=4,故A正确.因为c2=a2+b2=9,所以F2(3,0),又|MF2|==,所以|AM|+|AF1|=|AM|+|AF2|+4≥|MF2|+4=+4(当且仅当A为线段MF2与双曲线的交点时取等号),故B正确.设过点M与双曲线C只有一个交点的直线为l,当l的斜率不存在时,l:x=2,满足题意;当l的斜率存在时,设l:y=k(x-2)+3,由得(5-4k2)x2+(16k2-24k)x-16k2+48k-56=0,当5-4k2=0时,k=±,满足题意,当5-4k2≠0时,令Δ=(16k2-24k)2-4(5-4k2)(-16k2+48k-56)=0,得k=,满足题意.综上,过点M与双曲线C只有一个交点的直线有4条,故C错误.若∠F1AF2=90°,则|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即(|AF1|-|AF2|)2+2|AF1|·|AF2|=|F1F2|2,所以4a2+2|AF1|·|AF2|=4c2,则|AF1|·|AF2|=×(36-16)=10,所以=|AF1|·|AF2|=×10=5,故D正确.故选ABD. 12.-=1　[解析] 由3x±4y=0,可得y=±x,则可设双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),因为点M(-2,3)在双曲线上,所以-=λ,解得λ=-,所以该双曲线的标准方程为-=1. 13.　[解析] 设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-2my-2t=0,则y1y2=-2t.由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=+y1y2=0,则y1y2=-4,所以t=2,即直线AB过定点(2,0),故抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-=. 14.24　[解析] 以CA的中点为原点,以CA所在直线为x轴,以线段CA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,不妨设点B在y轴的正半轴上, 由|AB|=|BC|=|CA|=180千米,得A(90,0),C(-90,0). 由题得船只S距离岸台C比岸台A,B近200×300=60 000(米),即60千米, 即船只S到岸台C比到岸台A的距离近60千米,即|SA|-|SC|=60千米, 则船只S在以C,A为焦点的双曲线的左支上.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=60,2c=180,所以b2=c2-a2=5400, 则船只S所在双曲线的方程为-=1(x<0). 又因为船只S到岸台A,B距离相等,所以船只S也在线段AB的垂直平分线上, 设线段AB的中点为D,则∠DCA=30°,kCD=tan 30°=, 所以线段AB的垂直平分线CD的方程为y=(x+90),即x=y-90. 由解得或(舍去),所以S(-54,12), 所以船只S到岸台C的距离|CS|==24(千米). 15.解:(1)∵长轴在x轴上,∴焦点在x轴上. 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), ∵2a=12,e==,∴a=6,c=4,∴b2=a2-c2=36-16=20, 故椭圆的标准方程是+=1. (2)由题知抛物线的焦点是直线x-2y+2=0与坐标轴的交点,即焦点为(-2,0)或(0,1). 当焦点是(-2,0)时,抛物线的标准方程为y2=-8x; 当焦点是(0,1)时,抛物线的标准方程为x2=4y. 综上,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=4y. (3)∵椭圆+=1的焦点为(-3,0),(3,0), ∴双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),∴c=3. 设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0), ∵双曲线的一个顶点为(2,0),∴a=2, ∴b2=c2-a2=9-4=5, 故双曲线的标准方程是-=1. 16.解:(1)由点P到点F(1,0)的距离比它到直线l:x+2=0的距离小1, 得点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l:x+1=0的距离, 由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,以l:x+1=0为准线的抛物线, 所以点P的轨迹方程为y2=4x. (2)由已知得直线l的斜率不为0, 设直线l的方程为x=my+4. 由得y2-4my-16=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-16. 因为=2,所以(4-x1,-y1)=2(x2-4,y2),所以y1=-2y2, 则可得m=±, 所以直线l的方程为2x-y-8=0或2x+y-8=0. 17.解:(1)设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 由题意可得解得 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)若直线l的斜率不存在,则点M,N关于x轴对称,所以线段MN的中点在x轴上,不符合题意,所以直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k,设M(x1,y1),N(x2,y2), 则两式相减得+=0,整理得=-·. 因为线段MN的中点为(-2,1),所以x1+x2=-4,y1+y2=2, 所以k==-×=, 所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-5y+21=0. 18.解:(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点A(3,2),且直线y=2x是双曲线C的一条渐近线, 所以解得 所以双曲线C的标准方程为-=1. (2)证明:因为点M(m,n)是双曲线C上的任意一点, 所以-=-=·m-·n=1, 所以点M(m,n)也在直线l上,且4m2-n2=32. 由得(n2-4m2)x2+64mx-256-8n2=0, 又n2-4m2=-32≠0,且Δ=(64m)2+4(n2-4m2)×8(n2+32)=(64m)2-322×4m2=0, 所以直线l与双曲线C相切于点M. (3)证明:不妨设T(m,n),P(p,q), 由(2)可知过点T的直线PT的方程为-=1. 因为点P(p,q)在直线-=1上, 所以-=1,即nq=4mp-32, 又a2+b2=40,所以F(2,0), 所以=(p-2,q),=(m-2,n). 由·=(p-2)(m-2)+qn=pm-2(p+m)+40+4pm-32=5pm-2(p+m)+8=0,得p(m-2)=2(m-2). 因为|m|≥a=2,所以m≠=, 则m-2≠0,所以p==, 所以点P在定直线x=上. 19.解:(1)由题意知可得 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)设P(x0,y0),x0≥1,则|PA|==== . 当≤1,即0<t≤4时,|PA|的最小值f(t)==|t-1|; 当>1,即t>4时,|PA|的最小值f(t)=. 综上,f(t)= (3)证明:当过点F(2,0)的直线斜率不存在时,直线方程为x=2, 此时不妨取M(2,3),N(2,-3), 则+=+=. 当过点F(2,0)的直线斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令x1>2,1<x2<2. 由得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,令Δ=(4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)>0,解得k>或k<-, 则x1+x2=,x1x2=, 所以+=+==· =·=·=·= ·=·=. 综上可得,+为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三)A[范围:第三章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线y=2x2的准线方程是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y= B.y=- C.x= D.x=- 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 3.[2026·北师大附属实验高二月考] 已知椭圆+=1过点(,1),则该椭圆的焦距为(　 ) A.2 B.2 C.4 D.2 4.已知圆C1:(x+3)2+y2=81和C2:(x-3)2+y2=1,若动圆P与圆C1内切,同时与圆C2外切,则该动圆圆心的轨迹方程为(　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 5.已知F1,F2为双曲线x2-=1的两个焦点,P为双曲线上一点,3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积为(　 ) A.8 B.6 C.3 D. 6.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点Q为圆(x-1)2+(y-4)2=1上的动点,则|PQ|+|PF|的最小值为(　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 7.[2026·淮安高二期中] 若直线l:mx-y-m=0与曲线C:x=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-1,1) B.∪ C.∪ D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 8.[2026·成都七中高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆C上,记△MF1F2的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,若R=3r,且∠F1MF2=60°,则椭圆C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知曲线C:+=1(m∈R),则下列结论正确的是 (　 ) A.若m<0,则曲线C是双曲线 B.曲线C可能是一个圆 C.若曲线C是椭圆,则其长轴长为2 D.若m=1,则曲线C中过焦点的最短弦长为 10.[2026·湖南新高考联盟高二月考] 已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点C,若|AF|=4,则下列说法正确的是(　 ) A.p=2 B.|AF|=3|BF| C.|AF|=|BC| D.以线段AF为直径的圆与y轴相切 11.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点A为双曲线右支上任意一点,且M(2,3),则下列结论中正确的是(　 ) A.|AF1|-|AF2|=4 B.|AM|+|AF1|的最小值为4+ C.过点M与双曲线C只有一个交点的直线有3条 D.若∠F1AF2=90°,则△F1AF2的面积为5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.以直线3x±4y=0为渐近线,且过点M(-2,3)的双曲线的标准方程为　　　　　　.  13.已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为　　　　.  14.[2026·西安铁一中高二期中] 双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.定位参数是距离差,位置线是双曲线,定位时需由至少三个已知点的组合,在待定点到三个已知点的三个距离中取其中两个距离差,此时形成两条位置双曲线,两者相交便可确定待定点的位置.如图所示,F1,F2,F3为三个已知点,点M即为两条位置双曲线C1,C2确定的待定点.现海上有三个两两相距180千米的岸台A,B,C,三个岸台同时发射电磁波,远离岸台A,B,C的船只S同时接收到了来自岸台A,B的电磁波信号,而接收到岸台C的信号比接收到岸台A,B的信号早了200微秒(已知1微秒等于10-6秒,且电磁波在空气中1微秒的传播距离为300米),则船只S与岸台C的距离为　　　　千米.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求满足下列条件的曲线的标准方程. (1)中心在坐标原点,长轴在x轴上,长轴长为12,离心率为的椭圆的标准方程; (2)顶点在坐标原点,焦点在直线x-2y+2=0上的抛物线的标准方程; (3)与椭圆+=1有相同的焦点,且一个顶点为(2,0)的双曲线的标准方程. 16.(15分)[2026·济南历城一中高二月考] 已知点P到点F(1,0)的距离比它到直线l:x+2=0的距离小1. (1)求点P的轨迹方程; (2)直线l过点M(4,0),且与点P的轨迹相交于A,B两点,若=2,求直线l的方程. 17.(15分)[2026·佛山七校高二月考] 已知椭圆C经过两点(,-2),. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知直线l与椭圆C交于M,N两点,且线段MN的中点为(-2,1),求直线l的方程. 18.(17分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点A(3,2),其右焦点为F,且直线y=2x是双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程; (2)设点M(m,n)是双曲线C上任意一点,直线l:-=1,证明:直线l与双曲线C相切于点M; (3)设直线PT与双曲线C相切于点T,且·=0,证明:点P在定直线上. 19.(17分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(2,3),且一条渐近线方程为x-y=0. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若P为双曲线右支上的一点,A(t,0)(t>0),求|PA|的最小值f(t); (3)过点F(2,0)的直线与双曲线C的右支交于M,N两点,求证:+为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $