北京市首都师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

2026北京首师大附中高二（上）期中 数 学 第一部分（选择题共50分） 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项) 1.抛物线C:2x=y2的准线方程是（) Ax=月 B.x=2 Cx=-月 D.x=月 2.下列各点中，不在直线：ky+x-V5=0上的是() A.(1,2) B.(1,0) C.(3,0) D.(3,5) 3.若直线：(1+a)x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=1相切，则a的值为() A.-1 B.2或-2 C.1 D.1或-2 4.经过圆x2-2x+y2=15内一点(m,2)的最长的弦长为() A.2W3 B.3V5 c.43 D.以上都不对 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，若点M到直线x=-3的距离为5，则|MF1=() A.7 B.6 C.5 D.4 6.“ab=4”是“直线2x+y-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的（) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.等腰三角形ABC底边一个端点为B(1,一3)，顶点为A(0,6),则另一个点C到原点的距离的最小值为() A.3 B.V82-6 C.79-5 D.3.2 8.设椭圆E:兰+兰=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0,点A(-1,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在- 点P,使得IPA+IPFI=9,则椭圆E的离心率的取值范围是( A.21) B.6引 c. .引 9.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，经过双曲线在 点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1,且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2,如图，对称轴 都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，-1)，其左、右焦点分别为F1,F2,若从F2发出的光线经双曲线右支上一 点P反射的光线为PQ,点P处的切线交x轴于点T,则下列说法不正确的是() 第1页/供3页 A.双曲线C的方程为x2-y2=8 B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ C.若PF2⊥PQ,则|PF1川PF2I=18 D.若∠F1PF2=60°，则IPT1=43@ 10在平面直角坐标系中，点P,(D.P,定义4，=货=二为点P,P,之 间的极距.已知点P是直线L:2x+y-9=0上的动点，已知点Q是圆0：x2+y2=5上的动点，则P,Q两点之间 距离最小时，其极距为（) A.1 B.专5 c D.5 第二部分（填空题共25分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分) 1.椭圆酷+发=1的焦距为 12,已知方程装一会=1表示双曲线，则k的取值范围是 13.若对Vm∈R,直线y=2x+m与双曲线Ax2+By2=1至多有一个公共点，则该双曲线的两条渐近线方程 为 ,离心率为 14.在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)满足la+1bl=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离. 当a,b,m变化时，d的最大值为 15.已知圆P:(x-5)2+y-2)2=2,直线ly=ax,点M(5,2+V2),点A(s,t).给出下列结论： ①当a=0时，直线与圆P相离： ②若直线l是圆P的一条对称轴，则a=子： ③若直线上存在点A,圆P上存在点N,使得∠MAN=90°，则a的最大值为器 @N为圆P上的一动点，若LMAN=90°，则的最大值为V8 其中所有正确结论的序号是 第三部分（解答题共75分) 三、解答题（本大题共5个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(本小题15分) 已知：圆C过原点0和点A(1,3),圆心在x轴上. 第2页/共3页 (1)求圆C的方程； (2)直线经过点(1,1)，且1被圆C截得的弦长为6，求直线的方程。 17.(本小题15分) 已知：直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，且AB1=4V15 (1)求p的值； (2)设抛物线C的焦点为F,抛物线C与直线x=my+n交于M,N两点，且FM-FN=0,求n的取值范围！ 18.(本小题15分) 已知双曲线C:兰-兰=1(a>0,b>0)过点A(2,3),且C的一条渐近线方程为=V3x。 (1)求双曲线C的方程，直接写出该双曲线C的实轴长，虚轴长； (2)若直线'：y=kx+1(k≠1)与C交于M,N两点，试探究：直线AM,AW的斜率之和是否为定值，若是， 求出该定值：若不是，请说明理由， 19.（本小题15分) 已知椭圆r:荒+发=1(a>b>0)的离心率为号，0为坐标原点，动直线=x-1)与椭圆T交于CD两 点，点C关于x轴的对称点为C',点C到椭圆Γ的两焦点的距离之和为2V2,抛物线E:y2=2Px（p>0), 点A是椭圆T与抛物线E的交点，过点A的直线I交椭圆T于点B,交抛物线E于点M（B,M不同于A) B (1)求椭圆Γ的标准方程，直接写出该椭圆Γ的半长轴长，半短轴长； (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值. 20.(本小题15分) 已知集合Sn={X1X=(x1x2,…,xn),x∈(0,1，i=1,2,,n（n≥2).对于A=(a1,a2,,an),B=(b1,b2,…,bn) ∈Sn,定义A与B的差为： A-B=(a1-b1la2-b2llan-bnl),A与B之间的距离为：d(A,B)=路1(Iai-b): (1)假设A=(0,1,0),B=(1,0,1),C=(0,0,1)计算A-C,B-C,A-B,d(A-C,B-C),d(A,B) (2)求证：VA,B,C∈Sn,有A-BeSn,且d(A-C,B-C)=d(A,B): (3)求证：VA,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 (4)设P≤Sn,P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P), 求证：a(P)≤2m-) mn 第3页/共3页