北京市回民学校2026-2027学年高二第一学期期中考试（11月）数学试题

北京市回民学校 2026一2027学年度第一学期期中考试（11月) 高二数学 第一部分 选择题（侮小题4分，共40分） 最 在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。 1.直线√5x-y+1=0的倾斜角是() 帅 扣 孙 A.30 B.60 C.120° D.150° 2. 若点，)到直线y=x+1的距离是兰，则实数a的值为(） 啟 A.-1 B.-3或3 C.5 D.-1或5 3.若直线2x+y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直，则实数a的值是() 长 A.1 B.-1 C.4 D.-4 4.圆(x+1)2+0y-2)2=4与圆(x-3)2+y+1)2=1的位置关系为() 如 K A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 拟 5.已知一个椭圆的两个焦点分别是F(-3,0),F(3,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和 粥 等于8，则该椭圆的标准方程为（) A C.2 拓 6.已知直线：x+(1+a)y=2-a,直线2：2ax+4y=-16,则“a=1”是“%14”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 除 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 # 脚 7若方程 y =1表示椭圆C,则下面结论正确的是() 9-kk-1 A.k∈(1,9) B.椭圆C的焦距为2√2 C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1,5)D.若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈(1,5) 回中高二数学第1页，共4页 8.如图，已知正四棱锥P-ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱 PC上一动点，那么△HBD面积的最小值为() A.4V2 B.3 C.2 D.2 3 2 3 9.已知点A(-1,0),B(1,0).若直线y=x-2上存在点P,使得 B ∠APB=90°，则实数k的取值范围是() A.（-0,-V5 B.[V5,+o∞ c[-5,5] D.（-o,-5]U[V5,+o∞ 10.曲线C:x3+y3=1.给出下列结论： ①曲线C关于原点对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1： ③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是() A.①② B.② C.②③ D.③ 第二部分」 填空题（悔小题5分，共25分） 11.已知空间a=(23,1),万=(-4,2x),a16,则=一 12.已知椭圆与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2，则其焦点坐标为 标准方程为 13.直线1：x+y+2=0被圆0：x2+y2=4截得的弦AB的长为 14. 已知腊圆G:于+广=1a>1)的左、右焦点分别为R,尽，以斤，为直径作圆G,若精 圆C,与圆C2有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为25的矩形的四个顶点，则椭 圆C的离心率为 回中高二数学第2页，共4页 15,在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点P是底面AB,CD内的 D 动点，给出下列四个结论： B @PA+PC的最小值为2： ②PA+PC的最小值为√6： ③PA+PC的最大值为1+V5: @P+PC的最小值为3. B 其中所有正确结论的序号是 第三部分 解答题供85分) 16.(本小题13分)已知△4BC的顶点坐标分别是A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3), M为BC边的中点. (1)求中线AM的方程： (2)求经过点C且与直线AB平行的直线方程： (3)求△ABC的面积。 17.(本小题13分)已知圆M:x2-4x+y2-4y+m=0 (1)求m的取值范围： (2)已知直线1：x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AB到=2W2.求过点(4，-2)的圆 M的切线方程。 18.(本小题15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, ∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=4,PA=2. -A (1)证明：PB/平面DEF: B (2)求直线BA与平面DEF所成角的正弦值： (3)求三棱锥E-PDF的体积. 回中高二数学第3页，共4页 19.(本小题15分)已知圆C经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心在直线y=x上. (1)求圆C的方程： (2)若圆C与直线V5x+y-b=0交于两点E,F, (1)求b的取值范围： ()若在圆C上存在点D,使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值. 20.（本小题15分)如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，侧面ABB,A是边长为2的正方形， 平面ABBA⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,E为AA的中点，再从条件①、条 件②这两个条件中选择一个作为已知. B 条件①：AD⊥BE: 条件②：AC=√6. D (1)求证：AD⊥AB: (2)求平面BCE与平面ADDA夹角的余弦值； (3)已知点M在线段CC上，线EM与平面BCCB所成角 的正弦值为2V2 求线段CM的长. 3 21,(本小题14分)已知动点M与两个定点4（←1），B(-1,4)的距离的比为7，记动点M 的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线厂的方程，并说明其形状： (2)已知D(-1,0),过直线x=5上的动点P(5,p)分别作曲线下的两条切线P2,PR(2, R为切点)，连接PD交OR于点N,是否存在点P,使△ADN的面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 回中高二数学第4页，共4页 期中试题评分标准 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 B D B B A C A D C 二，填空题： 11.2√6 12.(0,-V5.(0N5) g+x2=1 13.22 4 3 15.①②④ 三.解答题： 16.(本小题13分)已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M为BC边的中点. (1)求中线AM的方程： (2)求经过点C且与直线AB平行的直线方程. (3)求△ABC的面积. 【答案】(1)2x+y-3=0 (2)6x-y-21=0 (3)16 【分析】(1)先确定M点坐标，然后通过两点A,M的坐标确定方程： (2)先确定直线AB的斜率，然后通过点C的坐标和斜率确定方程： (3)求解直线AB的方程，由点到直线的距离求解点C到直线AB的距离，求解AB的长度，再由 Sc=2×4Bxd即可求解 【详解】(1)因为M为BC边的中点，所以M(1,1),1分 所以直线M的方程为y=-1.即2x+y-3=04分 -1-5-6 (②)直线AB的斜率K4B三（一2)-（-1）-1=0，….5分 回中高二数学第1页，共20页 回中高二数学第2页，共20页 且C不在直线AB上， 故求经过点C且与直线AB平行的直线方程为y-3=6(x-4),即6x-y-21=0.8分 (3)由（2)可得知，kB=6,则直线AB的方程为y-5=6(x+1),9分 即1：6r-y+11=0,则点C到直线4B的距离为d-6x4-32 V6+(-I2 37, 11分 3)AB的长度为4B=[(-2)-(-I]+(-1-5}=V37,则S,c=)×4B×d=1613分 2 17.(本小题13分)已知圆M:x2-4x+y2-4y+m=0. (1)求m的取值范围. (2)己知直线1：x+y-2=0与圆M交于A,B两点，且AB=2√2.求过点(4，-2)的圆M切线方程. 【答案】(1)(-0,8) (2)x=4或3x+4y-4=0 【分析】(1)将圆化为标准方程，根据半径恒为正列不等式求m的取值范围： (2)根据弦长公式，建立方程，求出参数：再分斜率不存在和存在两种情况，设出切线方程，根据圆心 到直线的距离等于半径列方程求切线 【详解】(1)由题意得M:(x-2)2+y-2)2=8-m,则8-m>0,得m<8,所以m的取值范围为(-o,8). 3分 (2)设圆的半径为r,由题意得圆心M(2,2)到直线1的距离d=2+2-21-V2, V2+12 .5分 因为AB=2P2-d=22→P2-2=√2，解得r=2, 6分 所以√8-m=2,解得m=4.7分 因此圆M:(K-2+0y-2}2=4.8分 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为x=4; 9分 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为y=k(x-4)-2,即c-y-4k-2=0.10分 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 2k-2-4k-2到=2，得k= Vk2+12 4’12分 回中高二数学第3页，共20页 回中高二数学第4页，共20页 3 所以所求的切线方程为y=一x+1,即3x+4y-4=0. 13分 综上，过点(4，-2)的圆M的切线方程为x=4或3x+4y-4=0. 18.(本小题15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB, BC,CP的中点，AB=AC=4,PA=2. P B E (1)证明：PB1/平面DEF: (2)求直线BA与平面DEF所成角的正弦值： (3)求三棱锥E-PDF的体积： 【答案】(1)证明：由题意知E、F分别是BC、CP的中点，则得PB∥EF, 因为EFc平面DEF,PBa平面DEF,所以PBII平面DEF. R)5 5 3) 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明： (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可： (3)利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【详解】(1)略 4分 (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则以A点为坐标原点， 以AB,AC,AP所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系5分 回中高二数学第5页，共20页 回中高二数学第6页，共20页 B 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,2),D(2,0,0),6分 E(2,2,0),F(0,2,1) 所以AB=(4,0,0),DE=(0,2,0),DF=（-2,2,1), 设平面DEF的一个法向量为i=（x,y,z), DE.n=2y=0 DF-i=-2x+2y+2=0'令x=l,则得方=(10,2)， 则 8分 n·AB 设直线BA与平面DEF所成角为O,则sinO 45 AB 4×55’10分 故直线BA与平面DEF所成角的正弦值为√ 5 由（2)可得DP=（-2,0,2),11分 平面DEF的一个法向量为n=(（1,0,2), 所以点P到平面DEF的距离为d= 万-DP_2+4_25 5 512分 在aDEr中，D=2,|D-3,os(DE,DF）= DE.DE 2 DE DF3 13分 所以DE=2.DF=3.ow∠BDF-号所以5m∠EDF=-mBDF= 3 所以aDEF的面积为S=)DE.DF.sin∠BDF=×2x3x5_ =√5，…000000014分 2 3 所以e-m=,s-md-x5x 1 252 3 3 5=3’000000000000000015分 回中高二数学第7页，共20页 回中高二数学第8页，共20页 即三棱锥E-PDF的体积是} 19.(本小题15分)已知圆C经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心在直线y=x上 (1)求圆C的方程： (2)若圆C与直线V3x+y-b=0交于两点E,F, i)求b的取值范围： (i)若在圆C上存在点D,使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值. 解(1)x2+y2=4 (2)(i)(-4,4);(ii)b=±2 【难度】0.65 【来源】北京市西城区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【知识点】由距离求点的坐标、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关 系求参数 【分析】(1)先设圆心坐标，再根据两点间距离计算求参，即可得出圆的方程： (2)()根据圆心到直线的距离小于半径得出范围；()根据平行四边形结合己知得出菱形，再应用点到 直线距离为1得出参数. 【详解】（1)根据圆心C在直线y=x上，设圆心C(a,a). …1分 因为圆C经过A(-2,0),B(0,2),所以川CA曰CB|,.2分 所以V(a+2)2+a2=口2+(a-2)2,解得a=04分 所以圆心C(0,0),所以圆C的方程为x2+y2=4.6分 (2)(1)由题意， 1b1<2,所以bK4, 3+1 8分 即4<b<4,所以b的取值范围是(4,4) .10分 (i)因为四边形OEDF为平行四边形，又因为OE月OF|,所以OEDF为菱形.12分 因为OD2,所以点O到直线EF的距离， ………14分 所以b=2,符合题意. 15分 20.选择条件①：AD⊥BE. 回中高二数学第9页，共20页 回中高数学第10页，共20页 因为侧面ABBA1为正方形， 所以AA⊥AB 1分 又因为平面ABBA1⊥平面ABCD,平面ABBA∩平面ABCD=AB,·....2分 AAC平面ABBA,.… 所以AA⊥平面ABCD. 3分 因为ADC平面ABCD, 所以AA⊥AD. Z A B D M 又因为AD L BE,AA∩BE=E, 所以AD⊥平面ABBA. 4分 所以AD⊥AB. 选择条件②：AC=√6. 连接AC. 因为侧面ABB,A为正方形， 所以AA⊥AB 1分 又因为平面ABB,A⊥平面ABCD,平面ABBA∩平面ABCD=AB,·......2分 AAC平面ABB,A, 所以AA,⊥平面ABCD. .3分 回中高二数学第11页，共20页 回中高二数学第12页，共20页 所以A4⊥AC 所以AC=√AC2-A42=√2. 因为AD=CD=1, 所以AD2+CD2=AC2. 所以AD⊥CD 4分 因为AB∥CD,……… 所以ADAB。4分 【小问2详解】 因为AA⊥平面ABCD,AD LAB, 所以AA,AD,AB两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系A-x,则 5分 A0,0,0),B(0,2,0),C1,1,0),E(0,0,1),B(0,2,2),C1,12),D10,2)..6分 所以BC=1,-1,0),BE=(0,-2,1). 设平面BCE的法向量m=(x,y,z),则 ·BC=0, m.BE=0. x-y=0, 即 -2y+z=0. 令x=1,则y=1,=2. 所以m=(1,1,2). 8分 因为平面ADDA1的法向量n=(0,1,0), 设平面BCE与平面ADDA的夹角为0，则 回中高二数学第13页，共20页 回中高数学第14页，共20页 cosθ=cosi, m-列 6 列 6 ……………………………….10分 所以Y面BCE与平面ADD,4夹角的余弦值为Y6 【小问3详解】 法一： 设M(,h,),CM=CC,∈[0， …11分 所以(x-1,%1-1,5)=2(0,0,2). 所以=1，乃=1,51=21 …12分 所以M1,1,22). 所以EM=(1,1,22-1). 因为BC=(1,-1,0),BB,=(0,0,2), 设平面BCC1B的法向量t=(化，y,5)，则 [f.BC=0,n∫x-y=0, 即 i·BB,=0.222=0. 令x3=1,则y3=1,23=0. 所以t=11,0) …13分 设直线EM与平面BCC1B所成角为B,则 EM.1 sin B=cos EM,7= 2 22 M |√2×√422-42+33 …14分 4或=3 解得1= 4 CM= CM= 3 所 2,或 2 …15分 法二： 回中高二数学第15页，共20页 回中高二数学第16页，共20页 设M(1L,a),则M=(1la-) …11分 因为BC=1,-1,0),BB=(0,0,2), 设平面BCCB的法向量t=(x3,y,2),则 f.BC=0,n∫x-=0, 即 i:BB=0.252=0. 令x3=1,则y3=1,22=0. 所以t=41,0) …………13分 设直线EM与平面BCC,B所成角为阝，则 EM.1 sin B=cos EM,1 2 V2 MV2xV+1+(a-)3 …14分 1 解得a= 3 或a 2 CM=1 CM=3 所以 2或 …15分 21.(本小题14分)已知动点M与两个定点A(-1,),B(-1,4)的距离的比为2，记动点M的轨迹为曲线 下 (1)求曲线「的方程，并说明其形状： (2)己知D(-1,0),过直线x=5上的动点P(5,p)分别作曲线T的两条切线P9,PR(Q,R为切点)，连接 PD交QR于点N,是否存在点P,使△ADN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)(x+1)+y2=4,以(-1,0)为圆心，半径为2的圆 (2)存在，P(5,0) 【分析】(1)根据两点间的距离公式及圆的标准方程求解， (2)根据四点共圆及作差法求出公共弦RQ的方程及恒过的点，结合三角形面积公式、点到直线的距离及 回中高二数学第17页，共20页 回中高数学第18页，共20页 圆的性质求解即可. 详解)1D设Mx,y),则MB=4,即21 (x+1}2+0y-44’…4分 所以3(x+12+4(y-1}2=(y-4)}, 整理得(x++y2=4,即为以(-1,0)为圆心，半径为2的圆.6分 (2)存在，P(5,0),理由如下： 由题设，易知P,R,D,四点共圆，即R,Q在以PD为直径的圆上，7分 而P,D的中点坐标为2号)P0=56+p,8分 以D为直的圆为(-2+-=9+ 9分 又R,Q在(x+1)2+y2=4上，即RQ为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线RQ为6x+py+2=0, 10分 显然该直线恒过定点T -30 12分 由题设，易知N在以DT为直径的圆（除去点D)上，即以（号，0为圆心、半径为的盟（除去点D) 上，且AD⊥x轴， 则AD|=1,E ,0到直线D的距离为… 故N到直线AD的最大距离为 2 13分 所以， 当N与0重合时.。 ADN面积最大，此时P(5,0).14分 回中高二数学第19页，共20页 回中高二数学第20页，共20页