山东省烟台市2026-2027学年第一学期期中学业水平诊断高三数学

2026~2027学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.“a>b>0”是1<”的 a b A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知集合A={xy=l(-x2+2x+3)},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= A.{-1,0} B.{0,2} C.{0,2,3} D.{-1,0,2} 3.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a-b)⊥a,则x= A.1 B.2 C.3 D.4 4.己知函数f(x)的导函数为∫'(x),且满足f(x)=2xf'(I)+elnx,则f'(I)= 1 A.-e C. D.e e 5,湖泊富营养化评价指数E=M一 是湖泊水质的一个评价指标，其中M,N分别表示湖泊中 InN 浮游植物种类数与水体叶绿素浓度（单位：μgL).某湖泊经生态修复前后，浮游植物种 类数M没有变化，其叶绿素浓度由N变为N2,富营养化评价指数由1.8提高到3.0，则 A.3N=5N2 B.5N1=3N2 C.= D.N3=N 6.已知cos(a-)=3sin(a+), 1 tanB=2,则cos2a= 4.、24 12 24 B.- 2 25 13 3 D 25 7.已知函数f(x)及其导函数f'(x)都是定义在R上的连续函数，且f'(x)只有有限个零点. 则函数g(x)=f(x2-2x)的极值点个数可能为 A.0 B.2 C.3 D.4 高三数学试题（第1页，共4页） 8.已知等差数列{b,}的公差d≠0，记集合Bn={他，b2,b,…,b,}(n∈N且n24).从B,中 任取3个不同的元素，若这3个元素能构成一个等差数列，则称这3个元素构成的集合为B, 的一个三元子集，设B,的所有三元子集构成集合M,,则M2n的元素个数为 1.3 B.n2-n 0h2 +n D.n2+n 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,都有f(x+y)+f(x-y)=2∫(x)+ 2fy),则 A.f(0)=0 B.若f四)=2，则f()=1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)是增函数 10.己知函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<元)，若将函数f(x)的图象向右平移3p个单位长度， 得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的有 A若函数f()的图象关于y轴对称，则p= B.若函数f()的图象关于点(5,0)对称，则口= 6 C.若函数g(x)的图象关于原点对称，则满足条件的P的个数为4 D,若函数g(x)与∫(x)的图象关于x轴对称，则满足条件的P的个数为3 11.已知数列{a}的前n项和为Sn,且a1=3,an1=2a,-l,n∈N.定义数列{Tn}:当n为 奇数时，令Tn=Sn，当n为偶数时，令T,=an·则下列结论正确的有 A.an=2"+1 B.S+S2>2S C.数列亿}的前2n项和为（2a的-8)+n2-n D.存在正整数P,9,使得T,+T,=T*g 高三数学试题（第2页，共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{an}满足a,a,a=8,则a2a4的值为 13.在三角形ABC中，D为线段BC上异于B,C的动点，若AD=xAB+yAC,其中x,y 为实数，则二+一的最小值为 x y 14.已知函数f(x),将f(x)求导n次后所得到的函数记为f(x),并规定fo(x)=f(x) 若函数f(x)=e2x-ax,且对任意x∈[0，+o)以及任意自然数k,均有f)(x)≤k+)(x), 则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某生态公园有一块长方形地块ABCD,其中AB=2km,AD=4m.地块的一 角是天然湖泊（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称 轴的抛物线的一部分.现要经过曲线AC上一点P(异于A,C两点)铺设一条笔直的隔离 带MN,点M,N分别在边AB,BC上，隔离带占地面积忽略不计且 D厅 C 不能穿过湖泊.设点P到边AD的距离为t(单位：km),△BMN 的面积为S()(单位：km2).若以A为坐标原点，分别以AB,AD 所在的直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，求解以下问题： (1)求曲线段AC的方程和S(t): (2)求当t为何值时，S(t)取得最大值，并求出S(t)的最大值， B 16.(15分)在数列{an}中，41=1，a2=2,2an+2+an=3an1· (1)证明：{an+1-an}是等比数列，并求an: (2)设cn=n(3-an),求数列{cn}的前n项和S,. 高三数学试题（第3页，共4页） 1。（15分)已知函数因-=号n(@m+骨，0>0，且f)在区间[-名上单调道增 (1)求ω的取值范围： (2)若0eN,∈[0，，且对次eR,冈Sf(x).在平面直角坐标系x0中， 过点M(xo,f(x)作x轴的垂线且与x轴交于点N,P为线段MN上的一个动点，设 ∠PON=0,L=MP+2OP,写出L关于0的函数解析式，并求L的最小值及此时0的值. 18.(（17分)已知△ABC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且csin B=bcos 4+B, 2 点D为边AB上一点. (1)求角C的大小： (2)若AD=CD=1BD=1,求△ABC的面积 2 (3)若a<b,BD=mDA(m为常数且m>0),|CB|=t|CD,求实数t的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=ae-lnx（a∈R)存在最小值. (1)求a的取值范围： (2)证明：当a=1时，对任意x∈(0，+oo),f(x)>x+1: (3)设数列a,=e-lnn,neN,证明：】<n(n+. k=i ak 高三数学试题（第4页，共4页）2026~2027学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学参考答案 一、选择题： 1.A2.B3.C4.A5.D6.C7.C8.B 二、选择题 9.AC 10.ACD 11.ABC 三、填空题 12.413.914[-2,1] 四、解答题 15.解：(1)由题知，A(0,0),B(2,0),C(2,4),D(0,4), 设抛物线AC的方程为y=x,0<x<2, 代入C(2,4)得4=a:22,解得a=1, …2分 所以曲线段AC的方程为y=x2,0<x<2 …3分 设点P的坐标为(t,t),0≤t≤2，则函数y=x点P处的切线的斜率为2t, 所以切线MN的方程为y-t=2t(x-),整理得y=-t+2x. …4分 所以M(0,241-f),故M=2BN=4-f, …6分 所以s0-支MBN-e孕-(4--4-0,0<1<2.8分 2)由(1)知.s0=4-),0<<2, 所以50-=4-0X430: …9分 所当tE0,.s020,S0单调递增，当正2的.s020,S0单调 递减， …11分 所以当1=子m时，S)取得最大值 7am2 …13分 16.解：(1)证明：因为2a+2+a=3a+1,所以2(a+2-a+1)=a41-a, …1分 又43-41=1≠0，所以4+1-4≠0， 所以3，-01=1 2 …3分 4,+1- 所以{aH-an}是以1为首项， 二为公比的等比数列， 所以a-&,=(分 …5分 所以-4=1,4-4,4-a=分，，a,-41=(分n22) 高三数学试题答案（第1页，共5页） 白gg …7分 所以a=3-(白)-2(n≥2)： …8分 又4=1，符合上式，故a,=3-(台)”-2(n21) …9分 2)由1)可得，6=0-a)=” 10分 ++n-1n 2次？ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2n-1, …12分 两式作差得 1,1,1 22=4-42 n 2*)2=4 27，…14分 所以Sn=8- n+2 23 …15分 -解：因e名时0mg碧君婴月 …2分 6 66’46 4 。。。。。。。 …4分 所以0伯束强范日为Q争 …5分 (2)因为oeN,又由(1)知，@e0,, 所以0=1 …6分 即飞吉，e)g剂最大值，版M写.NCo) …8分 因为∠PON=g,所以9e[0,孕： 所以Np=tam0,MP=a-tam),Op= 1 …10分 2 2 3cos0 所以L=a-tam6t,。=a+2sn9 …12分 3c0s03 cosθ 令8(0)=1+2-sin 2,0e0,,故g0= 2sin0-1 cose cos20 所以当日∈[0，时，g(0)<0,g(⊙)在[0，上单调递减，当6∈区，乃时，g(O)>0, 6 6’4 高三数学试题答案（第2页，共5页） gO在爱孕1单调造湘，所当0-若时80n-8孕-1+5 ..…14分 所以当0=石时，Z的最小值为1+ …15分 3 解：)圆为csim8=6a4,4B+C-元 C 所以csin B=bsin二 …1分 C 由正弦定理得，sin Csin B=sin Bsin …2分 2 因为sinB≠0，所以sinC=sinS,即co C …3分 2 22 因为C∈(0，，所以S=,所以C= 2π …4分 23 3 (2)因为C=2π， 3 所以B= 3A, 因为4D=CD,所以∠4CD=A,∠BCD-27-A: 3 BD CD 2 在△BCD中，由 得，即 ,2π in(3 2兀 sin∠BCD sinB -A)sin(-A)' …6分 3 所以cosA=V5nA,即amA- 3 因为A∈(0，)，所以A= …8分 6 ，所以B=π 6 3 a 在△ABC中，由 a 得， 2π 元，所以a=√5， …9分 sinC sinA sin sin 3 6 所以△4BC的面积S=absinC=35 10分 2 4 (3)因为BD=mDA,所以AD=1AB, +1 cD=C4+AD=C4+1C-C=mC+1CB,…1分 1m+1 m+1 m+1 所以 ICDP=(mCA+-I CB)=(1 ay++2x-1 ax mbxcos 2π +1 +1 +1 +1 m+1m+1 =(1)(a2+m2b2-mab, ……12分 m+1 高三数学试题答案（第3页，共5页） 2(m+1)2 所以t (m+1)2 …14分 CD a2+m2b2-mab b2-( 1+m2( 设x=b,则x>l,则=m+D a m2x2-x+1 设f)=mx-c+1,其图象对称轴为x= 2m 所以当1≤1，即m≥时，f)在1，+0)上单调递增，所以f)>f0=m2-m+1, 21m 2 此时P=m+)m+1) f(x)m2-m+1 又因为当x→+0时，→0，且t<0,所以0<t< m+1 …15分 m2-m+1 2m 2m 此时t2≤4m+少.且当x→时，F→0，所以0<t≤23+D …16分 3 综上，当0<m<时，te(025Gm+山1： 1 3 7m+1 当m≥5时，t∈(0， 2 …17分 √m2-m+1 19解：(1)由题知，f9=e- ,x>0, …1分 所以当a≤0时，f(x)<0,函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，无最小值.…2分 当a>0时，令f'(x)=0,即are-1=0,即=xe a 令g(x)=xe,x>0,则g(x)=(x+1)e,当x>0时，g(x)>0,故g(x)在(0，+o)上 单调递增，且g(0)=0,当x→+0时，g(x)→+0，故当a>0时，存在唯一>0， 使得二=x,e5,所以当x∈(0，x)时，g()<0,g()在(0，)上单调递减，当 a x∈(x,十o)时，g'(x)>0,g(x)在(x,+oo)上单调递增，所以当x=x时，g(x)取得 最小值.… …4分 综上，的取值范围是(0，十0).…5分 高三数学试题答案（第4页，共5页） (2)当a=1时，f(x)=e-nx. 令M)=e-lnx-x-l,x>0,所以G)=e-1-1, 因为)-。>0在01)上恒成立，所以)在0.oj上牛衬道， 又因为H(分)=V6-3<0,h0=e-2>0,所以存在唯一的x∈（宁D,使得 h(x)=0, …7分 即e=当+l,所以当x∈(0，)时，h(9)<0,()单调递减，x∈(：，+o)时， h(x)>0,(x)单调递增，所以当x=x时，(x)取得最小值. …8分 此时0)=e-nx-x-1=当中1-nx-5-1=-血5-5 因为ge.所n0,是，所以片a等0， …9分 x 即h(x)≥h(x)>0,所以e-lnx>x+1,得证.…10分 (3)由(2)知，令x=k,k∈N,则e-nk>k+1, 因为a=e*-血k,所以a,>k+1>0,故L<,1 4k+1 所以1<1 …12分 台a.台k+1 因为nx≤x-1,令x=,kk>0.则n(k)<,k1=,-1 1+k 1+k1+k1+k 有0即立片. n+马 …15分 台a台k+1台 又因为∑n大 n+马=n2+ln3t.+hn+l k=1 12 n In 2-In1+In3-In2+...+In(n+1)-Inn=In(n+1), 所以22<hn+D. …17分 d 高三数学试题答案（第5页，共5页）