精品解析：山东省牟平第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 山东省烟台市牟平一中2025-2026学年高三上学期期中 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据并集的概念进行求解即可. 【详解】因为集合，所以. 因为集合，所以. 所以. 故选：D. 2. 如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为平行四边形中，是的中点，，， 所以 . 故选：D． 3. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系，作正方体，根据正方体的特征结合反例一一判定选项即可. 【详解】 作正方体， 对于A，不妨设为底面，显然符合条件，，但不成立，故A错误； 对于B，不妨设为底面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，因为是不重合，所以，又，不重合，所以，故C正确； 对于D，不妨设分别为下底面与上底面，显然符合条件，但，故D错误； 故选：C 4. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用二倍角公式及齐次法求解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：A 6. 已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 因为， 所以， 又， 所以， 故选：A 7. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数为偶函数，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数关于轴对称 B. 函数关于中心对称 C. 若，则 D. 若当时，，则当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义及复合函数求导得出轴对称和中心对称，进而求出周期求解判断各选项. 【详解】对于A，由函数的定义域为，函数为偶函数，得， 即，因此函数的图象关于轴对称，A正确； 对于B，由函数为偶函数，得，由是函数的导函数， 得，即，则， ，因此函数的图象关于，即中心对称，B正确； 对于C，由选项A得，由选项B得， 则，即，因此 ，即函数是周期为12的周期函数，又， 即，函数是周期为12的周期函数，则， 又，于是， 由，得，则，， 因此，C错误； 对于D，当时，， ，D正确. 故选：C 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ，使 D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，配方法即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当，满足，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：ABC 10. 已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若事件，则 C. 若，是对立事件，则 D. 若，是互斥事件，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式，结合条件概率公式、互斥事件的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为A，B相互独立，所以也互相独立，于是，正确； B：因为，所以，，错误； C：因为A，B是对立事件，所以，于是，错误； D：因为A，B是互斥事件，所以，于是，正确, 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则称为函数的不动点，则下列函数一定存在不动点的是（　　） A. B. （a为常数） C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由不动点定义直接求出判断；对B，令，转化为判断方程有无解；对C，根据零点存在性定理可判断；对D，令，解方程判断. 【详解】对于A，由，所以是函数的不动点，故A正确； 对于B，令，得，， 当，即时，方程无实数解，故无不动点，故B错误； 对于C，令，得，令，， 函数在上的图象是连续不断的曲线，且，， 所以函数在上存在零点，即有解， 所以函数存在不动点，故C正确； 对于D，令，得，即，， 所以存在，使得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知,且,则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用即可得出． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，当且仅当时等号成立， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 13. 已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】解题的关键在于分别计算出所有可能的非空子集选取情况以及满足条件的选取情况，然后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】因为集合， 故集合的非空子集个数为个， 因为独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），所以所有可能的选取情况数种. 当中最大元素为1时： 是，此时可以是共7种情况， 当中最大元素为2时： 可以是，此时可以是共种情况。 当中最大元素为3时： 可以是，此时可以是，共种情况， 当中最大元素为4时： 可以是，此时没有满足条件的子集，共0种情况， 故满足条件的子集选取情况总数为 根据古典概型概率公式， 事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率, 故答案为：. 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，结合条件和余弦定理求出，然后将代入函数解析式即可得出答案. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以即， 因为，点在递减区间内，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. （1）求证：； （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为是的直径，所以， 又，且，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，且，，平面，所以平面， 因为平面，所以. 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直和线面垂直的相互转化即可得出； （2）可以直接作出线线角，然后再用余弦定理计算得出，也可以直接用空间向量来求线线角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解法一：因为，所以在等腰直角三角形中，，得. 又在直角三角形中，，得. 因为为等腰直角三角形，M为的中点，且，得，所以， 取的中点为S，连接，则，且， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 在中，，，，所以， 故直线与直线所成角的余弦值为. 解法二：当时，，分别是和的中点，所以. 又与所在的平面垂直，所以平面，平面，所以. 此时，，两两垂直. 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图： 得，，，， 故，. 则， 故直线PC与直线AM所成角的余弦值为. 16. 已知函数为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2） ∵，∴， ∴， ∴， ∵， 故． 【解析】 【分析】（1）根据和的关系即可求解； （2）利用裂项相消求和即可证明. 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， ∴的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. （1）现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； （2）现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. （3）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】（1） （2）的分布列为： 7 12 （3）【解析】 【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可； （2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可； （3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解. 【小问1详解】 记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. 【小问2详解】 每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 【小问3详解】 ， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，证明：当时，； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）由（1）知，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以当时，. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证. （3）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对，， 令，依题意，在上恒成立，且， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 当，即时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【答案】（1）； （2）直线与椭圆相切，理由如下： 由题，，，所以， 所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点， 所以直线与椭圆相切； （3） 证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 【解析】 【分析】（1）利用中垂线性质可得，从而可得椭圆的方程； （2）利用判别式法来确定直线与椭圆的位置关系即可； （3）引入动点，利用先求交点纵坐标，再证明纵坐标之积为定值即可. 【小问1详解】 由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 山东省烟台市牟平一中2025-2026学年高三上学期期中 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则 4. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数为偶函数，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数关于轴对称 B. 函数关于中心对称 C. 若，则 D. 若当时，，则当时， 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ，使 D. ， 10. 已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若事件，则 C. 若，是对立事件，则 D. 若，是互斥事件，则 11. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则称为函数的不动点，则下列函数一定存在不动点的是（　　） A. B. （a为常数） C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知,且,则的最小值为______. 13. 已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. （1）求证：； （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值. 16. 已知函数为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. （1）现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； （2）现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. （3）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，证明：当时，； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $