福建漳州市联考2026-2027学年九年级上学期11月期中测试数学试题

2026-2027学年上学期期中测试 九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写） 1．ax2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．a＝0 B．a≠0 C．a≤1 D．a为任意实数 2．具有四条边都相等且四个角都是直角的性质的四边形只有（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．b2﹣4ac＞0 4．将方程x2﹣4x+4＝0化成（x﹣2）2＝a的形式，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．4 5．平移抛物线y＝（x﹣1）2使其顶点在原点，可以平移的方法是（　　） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 6．一元二次方程x（x﹣3）＝0的解为（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝10cm，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40cm2 B．80cm2 C．96cm2 D．160cm2 8．观察函数y＝x2的图象，则下列判断中正确的是（　　） A．此图象与y轴有且只有一个交点 B．点（3，﹣9）在该图象上 C．平行于x轴的直线一定与此图象有交点 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 9．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“距”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否互相平分 C．测量是否有三个角相等 D．测量是否有三个角是直角 10．已知点A（﹣5，y1），B（1，y2）在抛物线y＝x2+bx上，若2＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．0＜y1＜y2 B．y2＜0＜y1 C．25＜y1y2＜45 D．2＜y1﹣y2＜10 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写） 11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，请添加条件 __________ ， 使得菱形ABCD为正方形．（只能添加一个条件） 12．已知m是方程x2﹣2x﹣2026＝0的一个根，则m2﹣2m的值为_________ ． 13．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数 关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是_________米 ． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标如表格所示，那么该二次函数图象的对称轴为直线x________ ． x … 0 2 8 … y … 2 0 2 … 15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若菱形ABCD的周长 为16，则OE的长为 _________． 16．我们已经学习过一元二次方程的韦达定理，该结论可以推广到一元三次方程．对于三次项系数 为1的一元三次方程x3+ax2+bx+c＝0，若它的三个实数根为x1，x2，x3，则多项式可以写成因式 形式：，将右侧展开，可得： 比较等式两边多项式对应项的系数，可以得到三次项系数为1的一元三次方程的韦达结论： 对于三次项系数不为1的一元三次方程，可先将方程两边同除以三次项系数，转化为三次项系数为1的一元三次方程，再使用上面的韦达结论． 已知x1，x2，x3是一元三次方程 的三个实数根，有下列说法： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 以上说法正确的是 　 　．（写出所有正确的序号） 三、解答题(共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答) 17．(本小题满分8分)已知关于 x的一元二次方程x2+x+m＝0．请从﹣1，1中选一个数作为m的值，使该方程有解，并求解该一元二次方程． 解：使该方程有解的m的值是　 ，求解该一元二次方程的过程如下： 18．(本小题满分8分) 如图，点E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点，请判断四边形EFMN的形状，并说明理由． 19．(本小题满分8分) 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）该二次函数的图象与x轴的交点坐标是 _________ 、_________ ，顶点坐标是 _________ ； （2）在平面直角坐标系xOy中，直接画出二次函数y＝x2﹣4x+3的大致图象； （3）当y＞3时，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ___________ ； （4）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ___________ ． 20．(本小题满分8分) 漳州古城内某文创店售卖一款“漳州古城”主题纪念冰箱贴． （1）该冰箱贴1月份的销售量为1000件，3月份的销售量为1440件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）若该冰箱贴的进价为每件15元，原售价为每件25元，每天能售出40件．经调查发现，若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若要使销售该冰箱贴每天获利480元，且尽快减少库存，则售价应降低多少元？ 21．(本小题满分8分) 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）依题意可得BC＝ m，花园面积S与x的函数关系式为：　 ， 当x= m时，花园面积S有最大值，最大值为___________ m2． （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17 m和10 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 22．(本小题满分10分) 【阅读】我们已经学习矩形与正方形的相关性质．对邻边不相等的矩形纸片进行一次操作：在当前矩形纸片上剪去一个最大的正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个最大的正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作……依此类推，若第次操作后余下的四边形恰好是正方形，则称原矩形为阶方形．如图1，邻边长分别为1和2的矩形只需第1次操作（虚线为裁剪线），余下的四边形就是正方形，则这个矩形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形． 【探索】 （1）如图3，邻边长分别为1和1.5的矩形是 _____ 阶方形． （2）邻边长分别为2和7的矩形是 _____ 阶方形． 【拓展】 （3）已知矩形的邻边长分别为1和a（a＞1），且这个矩形是3阶方形，请画出矩形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值． （说明：①同一情形只需画一组示意图；②本小题画出1种正确情形得2分，2种得4分，3种及以上得6分，每种情形需写出对应的a值） 23．(本小题满分10分) 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）， 利用根的判别式可以求该多项式的最值． 例题：利用判别式法求x2+2x+3的最小值． 解：令y＝x2+2x+3，整理得x2+2x+3﹣y＝0． ∵x为实数，方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，解得：y≥2， ∴x2+2x+3的最小值为2． 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 【感受新知】利用判别式法求﹣2x2+4x+1的最大值. 任务2 【应用新知】利用已有知识经验，求证：周长为4a的矩形中，正方形的面积最大. 任务3 【拓展迁移】若实数x、y满足（x﹣3）2+y2＝6，求的最大值． 解：令，将y＝kx代入原式得（x﹣3）2+①_________＝6． 将新得到的等式看作关于字母②_______（填x，y，k）的一元二次方程， 整理得：（1+k2）x2﹣6x+3＝0． ∵x为实数，方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×（1+k2）×3≥0． 解得：． ∴的最大值为. （1）解决任务1； （2）解决任务2； （3）请把任务3中①②所缺的过程补充完整． 24．(本小题满分12分) 四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG． （1）如图，若四边形ABCD是正方形，尺规作图：在图中作出点G（保留作图痕迹，不写作法）；直接写出∠CGB的度数； （2）连接CG，取AB的中点，连接．设，，． ①当点落在矩形内部时，求证：； ②请画出示意图，并探究与的数量关系． 25．(本小题满分14分) 已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点A在x轴上． （1）若点A是抛物线最低点，且落在x轴正半轴上，则：a___0，h____0，k___0（填 、、）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两个不同的点，且当=4时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）． 若x1＜x2＜0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0； 若x1＞x2＞0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0． ①求抛物线的解析式； ②若，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 九年级数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2026-2027学年上学期期中测试 九年级数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可器只 (正面潮上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 一、 选择题（共10小题，每小题4分，满分40分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 二、 填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11 12 13 14 15. 16. 三、解答题（共9题，满分86分） 17.(8分) (1) (2) 囚囚■ 18.(8分) D M C E B 19.(8分(1) (2) 87654 32+ 6一4 o 1234367B 224 (3) (4) 囚囚■ ■ 20.(8分) (1) (2) 21.(8分) (1)BC= 1m, X=_ m, 1m2. (2) P。 ■ 22.(10分) (1) (2) (3) 1 2 1.5 图1 图2 图3 I I 23.(10分) (1) I (2) (3)① ② 囚■囚 24.(12分) (1) B (2) 囚■囚 ▣ 25.(14分) (1)a 0,h 0,k 0; (2) ■2026-2027学年上学期期中测试 九年级数学 (满分：150分考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项，请在 答题卡的相应位置填写) 1.ax2-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则() A.a=0 B.a≠0 C.a≤1 D.a为任意实数 2.具有四条边都相等且四个角都是直角的性质的四边形只有() A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（) A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.b2-4ac>0 4.将方程x2-4x+4=0化成(x-2)2=a的形式，则a的值为() A.-2 B.2 C.0 D.4 5.平移抛物线y=(x-1)2使其顶点在原点，可以平移的方法是( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向上平移1个单位 D.向下平移1个单位 6.一元二次方程x(x-3)=0的解为() A.x=3 B.X1=X2=3 C.x1=0,x2=-3 D.x1=0,x2=3 九年级数学试卷 第1页共8页 7.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小丰家有 个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC=16cm,BD=10cm,则菱形ABCD 的面积为() D B 图1 图2 A.40c2 B.80cm2 C.96cm2 D.160cm2 8.观察函数y=x的图象，则下列判断中正确的是() A.此图象与y轴有且只有一个交点 B.点(3，-9)在该图象上 C.平行于x轴的直线一定与此图象有交点 D.当x<0时，y随x的增大而增大 9.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆， “距”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”，木艺活动课上，小明用四根细木条α、b、 c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是 () A.测量对角线是否相等 B.测量对角线是否互相平分 C.测量是否有三个角相等 D.测量是否有三个角是直角 10.已知点A(-5,y1),B(1,y2)在抛物线y=x+bx上，若2<b<4,则下列判断正确的是( A.0<y1<y2 B.y<0<y1 C.25<y1y2<45 D.2<y1-y2<10 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写) 11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O,请添加条件 使得菱形ABCD为正方形.（只能添加一个条件） B 12.已知m是方程x2-2x-2026=0的一个根，则2-2m的值为 九年级数学试卷 第2页共8页 13.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数 关系式：h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是 米. 14.已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标如表格所示，那么该二次函数图象的 对称轴为直线x= 0 2 8 y 2 0 2 15.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,E为AB的中点，连接OE.若菱形ABCD的周长 为16，则0E的长为 D E B 16.我们已经学习过一元二次方程的韦达定理，该结论可以推广到一元三次方程.对于三次项系数 为1的一元三次方程x3+a2+bx+c=0,若它的三个实数根为x1,x2,x3,则多项式可以写成因式 形式：x3+ax2+bx+c=(x-x1)(x-x2)(x-x3),将右侧展开，可得： x3+ax2+bx+c =[x2-(x1+x2)x+x1x2](x-x3) =x3-(x1+X2+X3)x2+(x1x2+X2x3+x1X3)x-X1x2X3 比较等式两边多项式对应项的系数，可以得到三次项系数为1的一元三次方程的韦达结论： x1+x2+X3=-a X1X2+x2X3+x1x3=b X1X2X3=-C 对于三次项系数不为1的一元三次方程，可先将方程两边同除以三次项系数，转化为三次项系数为 1的一元三次方程，再使用上面的韦达结论 已知x1,x2,x3是一元三次方程3x3-5x2-14x+8=0的三个实数根，有下列说法： x1+x2+x3=3 ① 5 ②x1x2+x+xx1=-告 )x1xx3=号 ④(x1-100x2-1)(x3-1)=-号 以上说法正确的是 (写出所有正确的序号) 九年级数学试卷 第3页共8页 三、解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答） 17.(本小题满分8分)己知关于x的一元二次方程x+x+m=0.请从-1,1中选一个数作为m的值， 使该方程有解，并求解该一元二次方程. 解：使该方程有解的的值是，求解该一元二次方程的过程如下： 18.(本小题满分8分)如图，点E,F,M,N分别是菱形ABCD四条边的中点，请判断四边形EFN 的形状，并说明理由. D 19.(本小题满分8分)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系xOy中，直接画出二次函数y=x2-4x+3的大致图象： (3)当y>3时，结合函数图象，直接写出x的取值范围 (4)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 y个 6 4 2 2 九年级数学试卷 第4页共8页 20.(本小题满分8分)漳州古城内某文创店售卖一款“漳州古城”主题纪念冰箱贴. (1)该冰箱贴1月份的销售量为1000件，3月份的销售量为1440件.若1月份到3月份销售量的 月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)若该冰箱贴的进价为每件15元，原售价为每件25元，每天能售出40件.经调查发现，若售 价每降价1元，每天可多售出10件.该店决定降价促销，若要使销售该冰箱贴每天获利480元， 且尽快减少库存，则售价应降低多少元？ 21.(本小题满分8分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）， 用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x,花园的面积 为Sm2. (1)依题意可得BC= ,花园面积S与x的函数关系式为： 当x= 时，花园面积S有最大值，最大值为 2 (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是17m和10，要将这棵树围在花园内（含 边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值 g● D 九年级数学试卷 第5页共8页 22.(本小题满分10分)【阅读】我们已经学习矩形与正方形的相关性质.对邻边不相等的矩形纸 片进行一次操作：在当前矩形纸片上剪去一个最大的正方形，余下一个四边形，称为第1次操作； 在余下的四边形纸片中再剪去一个最大的正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作…依此 类推，若第n次操作后余下的四边形恰好是正方形，则称原矩形为n阶方形.如图1，邻边长分 别为1和2的矩形只需第1次操作（虚线为裁剪线），余下的四边形就是正方形，则这个矩形为 1阶方形；显然，图2是一个2阶方形. 【探索】 (1)如图3，邻边长分别为1和1.5的矩形是 阶方形. (2)邻边长分别为2和7的矩形是 阶方形 【拓展】 (3)已知矩形的邻边长分别为1和a(a>1),且这个矩形是3阶方形，请画出矩形及剪裁线 的示意图，并在图形下方直接写出a的值. (说明：①同一情形只需画一组示意图；②本小题画出1种正确情形得2分，2种得4分，3种 及以上得6分，每种情形需写出对应的a值) 1.5 图1 图2 图3 九年级数学试卷 第6页共8页 23.(本小题满分10分)某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判 别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材， 请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式2+bx+c(a≠0)， 利用根的判别式可以求该多项式的最值. 例题：利用判别式法求x2+2x+3的最小值. 解：令y=x2+2x+3,整理得x2+2x+3-y=0. ,x为实数，方程有实数根， ∴.△=b2-4ac=4-4(3-y)=-8+4y≥0，解得：y≥2， ∴x2+2x+3的最小值为2. 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法 问题解决 任务1 【感受新知】利用判别式法求-2x2+4x+1的最大值. 任务2 【应用新知】利用已有知识经验，求证：周长为4a的矩形中，正方形的面积最大， 任务3 【拓展迁移】若实数、y满足(K-3)2+y=6,求之的最大值. 解：令义=k将y=:代入原式得(x-3)2+① =6. 将新得到的等式看作关于字母②】 (填x,y,k)的一元二次方程， 整理得：(1+k2)x2-6x+3=0. x为实数，方程有实数根， ∴.△=b2-4ac=62-4×(1+k2)X3≥0. 解得：-V2≤k≤V2. :的最大值为V巨 X (1)解决任务1： (2)解决任务2： (3)请把任务3中①②所缺的过程补充完整. 九年级数学试卷 第7页共8页 24.(本小题满分12分)四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD=30°，点G与点D关于 直线AP对称，连接BG, (1)如图，若四边形ABCD是正方形，尺规作图：在图中作出点G(保留作图痕迹，不写作法)； 直接写出∠CGB的度数： (2)连接CG,取AB的中点M,连接MG.设AB=a,AD=b,∠CGB=120°. ①当点G落在矩形内部时，求证：MG=a: ②请画出示意图，并探究a与b的数量关系. p 25.(本小题满分14分)已知抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A在x轴上， (1)若点A是抛物线最低点，且落在x轴正半轴上，则：a0,h0,k0(填>、=、<)： (2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上两个不同的点，且当|y1=4时，△APQ为等腰直 角三角形（其中∠PAQ=90°). 若x1<x2<0,则(x2-x1)(y2-y1)<0: 若x1>x2>0,则(x2-x1)(y3-y1)>0. ①求抛物线的解析式： ②若∠PAQ=90°，直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 九年级数学试卷 第8页共8页 2026-2027学年上学期期中测试 九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A D B A D C 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写） 11．AC=BD (答案不唯一) 12．2026 13．6 14．4 15．2 16．①② 三、解答题(共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答) 17．(本小题满分8分)已知关于 x的一元二次方程x2+x+m＝0．请从﹣1，1中选一个数作为m的值，使该方程有解，并求解该一元二次方程． 解：使该方程有解的m的值是﹣1，求解该一元二次方程的过程如下：…………2分 ∴x2＋x－1＝0 ∴a＝1，b＝1，c＝－1，…………3分 ∴Δ＝b2－4ac＝12－4×1×（－1）＝5＞0，…………4分 ∴x＝＝，…………6分 ∴x1＝，x2＝．…………8分 （备注：其他解法正确同样给满分） 18．(本小题满分8分) 如图，点E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点，请判断四边形EFMN的形状，并说明理由． 结论：四边形EFMN是矩形．…………2分 证明：连接AC、BD， ∵E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点． ∴NE∥BD，MF∥BD．…………3分 ∴NE∥MF．…………4分 ∴同理，得：NM∥AC，EF∥AC． ∴NM∥EF．…………5分 ∴四边形EFMN是平行四边形．…………6分 ∵NE∥BD，AC⊥BD， ∴NE⊥AC．…………7分 ∵NM∥AC， ∴NE⊥NM． ∴平行四边形EFMN是矩形．…………8分 （备注：没判断结论，证明后面有给结论，不扣分，若结论是平行四边形给1分，只证明平行四边形总分给5分） 19．(本小题满分8分) 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）该二次函数的图象与x轴的交点坐标是 _________ 、_________ ，顶点坐标是 _________ ； （2）在平面直角坐标系xOy中，直接画出二次函数y＝x2﹣4x+3的大致图象； （3）当y＞3时，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ___________ ； （4）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ___________ ． 解：（1）（1，0）；（3，0）；（2，﹣1）；…………3分 （2）描点，连线，如图： …………4分 （3）x＜0或x＞4．…………6分（备注：每写正确一个答案给满1分） （4）﹣1≤y＜3．…………8分 20．(本小题满分8分) 漳州古城内某文创店售卖一款“漳州古城”主题纪念冰箱贴． （1）该冰箱贴1月份的销售量为1000件，3月份的销售量为1440件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）若该冰箱贴的进价为每件15元，原售价为每件25元，每天能售出40件．经调查发现，若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若要使销售该冰箱贴每天获利480元，且尽快减少库存，则售价应降低多少元？ 解：（1）设月平均增长率为x．根据题意得，1000（1+x）2＝1440，…………2分 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴月平均增长率为20%；…………4分 （2）设售价应降低y元，根据题意得，（25﹣y﹣15）（40+10y）＝480，…………6分 解得y1＝2，y2＝4，…………7分 ∵为了尽快清理库存， ∴40+10y要尽可能大， ∴售价应降低4元．…………8分 21．(本小题满分8分) 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）依题意可得BC＝ m，花园面积S与x的函数关系式为：　 ， 当x= m时，花园面积S有最大值，最大值为___________ m2． （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17 m和10 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 解：（1）BC＝（30﹣x），…………1分（备注：没加括号不扣分） S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225；…………2分（备注：三种形式均给分） ∴当x＝15时，S取到最大值为225，…………4分 （2）∵S＝﹣（x﹣15）2+225， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和10m， ∵，…………5分 ∴10≤x≤13，…………6分 ∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣15）2+225＝221， 答：花园面积S的最大值为221平方米．…………8分 22．(本小题满分10分) 【阅读】我们已经学习矩形与正方形的相关性质．对邻边不相等的矩形纸片进行一次操作：在当前矩形纸片上剪去一个最大的正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个最大的正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作……依此类推，若第次操作后余下的四边形恰好是正方形，则称原矩形为阶方形．如图1，邻边长分别为1和2的矩形只需第1次操作（虚线为裁剪线），余下的四边形就是正方形，则这个矩形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形． 【探索】 （1）如图3，邻边长分别为1和1.5的矩形是 _____ 阶方形． （2）邻边长分别为2和7的矩形是 _____ 阶方形． 【拓展】 （3）已知矩形的邻边长分别为1和a（a＞1），且这个矩形是3阶方形，请画出矩形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值． （说明：①同一情形只需画一组示意图；②本小题画出1种正确情形得2分，2种得4分，3种及以上得6分，每种情形需写出对应的a值） 解：（1）2．…………2分 （2）4．…………4分 （3）根据3阶方形的定义做出如下4种情况：…………10分 23．(本小题满分10分) 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）， 利用根的判别式可以求该多项式的最值． 例题：利用判别式法求x2+2x+3的最小值． 解：令y＝x2+2x+3，整理得x2+2x+3﹣y＝0． ∵x为实数，方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，解得：y≥2， ∴x2+2x+3的最小值为2． 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 【感受新知】利用判别式法求﹣2x2+4x+1的最大值. 任务2 【应用新知】利用已有知识经验，求证：周长为4a的矩形中，正方形的面积最大. 任务3 【拓展迁移】若实数x、y满足（x﹣3）2+y2＝6，求的最大值． 解：令，将y＝kx代入原式得（x﹣3）2+①_________＝6． 将新得到的等式看作关于字母②_______（填x，y，k）的一元二次方程， 整理得：（1+k2）x2﹣6x+3＝0． ∵x为实数，方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×（1+k2）×3≥0． 解得：． ∴的最大值为. （1）解决任务1； （2）解决任务2； （3）请把任务3中①②所缺的过程补充完整． 解：（1）解：令y＝﹣2x2+4x+1，整理得2x2﹣4x+y﹣1＝0．…………1分 ∵x为实数，方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8（y﹣1）＝24﹣8y≥0，…………2分 解得：y≤3，…………3分 ∴﹣2x2+4x+1的最大值为3．…………4分 （2）证明：设矩形的长为x，则宽为x，面积为S， ∴S＝x（x）＝﹣x2x．…………5分 ∴x2x+S＝0．…………6分 ∴Δ4×S≥0．…………7分 ∴S． ∴当x时，S最大，此时x，即四边形为正方形时，面积最大．…………8分 （3） ① （kx）2或k2x2，…………9分 ② x．…………10分 24．(本小题满分12分) 四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG． （1）如图，若四边形ABCD是正方形，尺规作图：在图中作出点G（保留作图痕迹，不写作法）；直接写出∠CGB的度数； （2）连接CG，取AB的中点，连接．设，，． ①当点落在矩形内部时，求证：； ②请画出示意图，并探究与的数量关系． 解：（1）作图略，…………2分 ∠CGB＝150°；…………4分 （2）连接DG，AG． 在△ADG中，AD＝AG，∠DAG＝∠PAD+∠PAG＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°， 又∵在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠DAB﹣∠DAG＝∠ADC﹣∠ADG， 即∠GAB＝∠GDC＝30°， ∴△GAB≌△GDC（SAS），∴GB＝GC． 当∠CGB＝120°时，点G在矩形ABCD的内部， ∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°， ∴∠GBC30°， ∴∠GBA＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣30°＝60°， 在△ABG中，∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝90°， ∵AB的中点，， ∴．…………8分 （2）连接DG，AG． 当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部． 若点G在矩形ABCD的内部， 由（2）可知，∠AGB＝90°，∠GAB＝30°， ∴在Rt△ABG中，ab．…………10分 若点G在矩形ABCD的外部， 在△BGC中，∠GBC＝30°， ∴∠ABG＝120°， 又∵∠GAB＝30°， ∴∠AGB＝180°﹣30°﹣120°＝30°． ∴BA＝BG， 过点B作BH⊥AG，垂足为H， ∴AHAGb． 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°， ∴ab， 在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°， ∴DPb．…………12分 所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意． 综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为ab或 ab． 25．(本小题满分14分) 已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点A在x轴上． （1）若点A是抛物线最低点，且落在x轴正半轴上，则：a___0，h____0，k___0（填 、、）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两个不同的点，且当=4时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）． 若x1＜x2＜0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0； 若x1＞x2＞0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0． ①求抛物线的解析式； ②若，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 解：（1）a＞0，h＞0，k＝0；…………6分 （2）①x1＜x2＜0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴y2＜y1，a＞0， x1＞x2＞0，则（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0， 当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴y2＜y1，对称轴为直线x＝0，…………7分 ∴h＝0，…………8分 ∵顶点A在x轴上， ∴k＝0， ∴y＝ax2， ∵y1的绝对值为4， ∴y1＝4， ∵△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）， ∴PA＝QA， ∴PQ∥x轴， ∴P（﹣4，4），…………9分 ∴a， ∴yx2；…………10分 ②∵yx2，； 设，， ，由勾股定理：， 代入等式： …………11分 展开右边： 左右两边同时消去，化简得： 提取公因式： 不与原点重合，，即 解得：。…………12分 设直线解析式： 联立 由一元二次方程根与系数的关系： ， …………13分 直线解析式：。 无论取何值，当时，。 直线恒过定点。…………14分 八年级数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $