精品解析：北京市正泽学校2026-2027学年第一学期期中试卷 八年级年级数学

北京市正泽学校2026-2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 2026.11 注意事项 1．本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、B、C选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键，根据全等三角形的性质可知是边的对角，然后求出即可． 【详解】解：边的对角度数为：， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解：提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 已知点和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于 x 轴对称的两点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得到，，进而求出式子的值. 【详解】解：点和关于x轴对称， ∴，， 解得，， ， . 6. 若，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握整式乘法的运算． 根据多项式乘以多项式可得，，由题意可得，，代入求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 则，， 则， 故选：A． 7. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，则可证明，结合，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，可利用证明，故此选项不符合题意． 8. 已知锐角，如图，（1）在射线上取点C，E，分别以点O为圆心，，长为半径作弧，交射线于点D，F；（2）连接，交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，正确结论的个数是（ ） ①； ②若，则 ③； ④点P在的平分线上 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，，即可推断结论①；证明即可证明结论③；连接，证明可证明结论④；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 即，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上，故④正确； 若，， 则， 根据题意不能证明， 故不能证明，故②错误， 综上：①③④正确． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】零指数幂有意义的核心要求是底数不为0，据此对本题的底数列不等式即可求解． 【详解】解：初中数学规定，零指数幂有意义的条件是底数不能为0， ∵式子有意义， ∴底数满足， 解得． 10. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的两项存在公共因式，可通过提公因式法完成因式分解． 【详解】解：原式． 11. 请写出“如果两个三角形全等，那么这两个三角形面积相等”的逆命题，用“如果……那么……”的形式___________． 【答案】 如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等. 【解析】 【分析】构造逆命题的核心是交换原命题的题设与结论，同时保留“如果……，那么……”的固定句式。 【详解】解：原命题中，“如果”引导的题设为：两个三角形全等， “那么”引导的结论为：这两个三角形面积相等， 根据逆命题的构造规则，将题设与结论互换，保持“如果……，那么……”的表述形式，即可得到对应的逆命题为：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等． 12. 如图，，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，进一步得到，根据即可求出线段的长． 【详解】解：， ， ，即． ，， ． 13. 已知，，则___________． 【答案】 40 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，将所求式子变形为已知幂的组合形式，再整体代入计算． 【详解】解：． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据垂直平分，得，，然后，根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵的周长为12，， ∴． ∴的周长为． 15. 如图，在中，点D在上，，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据三角形内角和定理得到，则，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 阅读材料：若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（m为常数）有一个因式为，则___________；则因式分解___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】仿照题干求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题． 【详解】解：（为常数）有一个因式为， 当时，有， 即当时，有， 解得， 多项式为， ． 三、解答题（本题共12小题，共68分，其中第17-18题每题8分，第19题4分，第20-21题7分，第22题5分，第23题4分，第24题-26题每题5分，第27题4分，第28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，再进行单项式与单项式的乘法运算． （2）先展开多项式与多项式的乘积，再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提出公因式，再按照平方差公式因式分解； （2）先提出公因式，再按照完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先展开完全平方项化简整式，再将已知的整体代入求值． 【详解】解：， ， ∵， ∴原式． 20. 如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点F；在上取一点E，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ∴___________ 在与中， （___________） ， ，， 且， ___________ ___________ 【答案】（1）如图， 即为所求， （2），，，， 【解析】 【分析】（1）根据题意首先构造角平分线，其次再以点为圆心，为半径，画等线段； （2）由角平分线得，结合，，用证，得；再证明，从而，由同位角相等得． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 平分， ∴， 在与中， ， （）， ， ，， 且， ， ， ． 21. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是、； （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． （2）请画出关于y轴对称的． （3）若O为坐标原点，点P在y轴上，的面积等于2，点P的坐标为___________． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： （2）如图所示： （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知点、的坐标，确定原点位置，建立平面直角坐标系； （2）关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此得到的坐标并画图； （3）设，利用三角形面积公式底高，结合的面积为2列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴的面积为，解得或， ∴点的坐标为或． 22. 如图，为等边三角形，点D在的延长线上，，．求证：． 【答案】证明：∵为等边三角形， ， ， 又， ， 在和中， ，，， 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质得，由得，再结合及角的和差关系得，最后用证明． 【详解】见答案 23. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图． （1）图2中的阴影部分的面积为___________；（用含m、n的代数式表示） （2）观察图2，请写出代数式、、之间的关系式：___________． （3）若x，y都是有理数，且，，求的值． 【答案】（1） （2）或或 （3）6 【解析】 【分析】（1）用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）利用（1）中图2中的阴影部分的正方形面积得到； （3）把，代入公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据正方形的面积公式求图中阴影部分的面积为； 【小问2详解】 解：∵和表示同一个图形的面积, ； 【小问3详解】 解：由（2）得， ， ， ， ． 答：的值为6． 24. 如图，平分，于点E，于点F，若． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，，, 在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 25. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，将军在A地带着马到直线l所在的河边饮马，随后再将马带回军营B，在直线l上找到一点D，使得将军从所走路程最短，请在图1中画出D点．D为所求作点的依据是：___________． （2）如图2，将军要从A地出发渡河前往C地，现要在河上临时搭建一座木桥，M、N分别在、上，且垂直于，使得将军从路程最短，请在图2中画出所在位置，保留作图痕迹． 【答案】（1）在直线l上找到一点D，使得将军从所走路程最短，图形如下： D为所求作点的依据是：两点之间线段最短和轴对称的性质． （2）在图2中画出所在位置如图： 【解析】 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线即为点，连接；根据对称得到，则从所走路程，根据两点之间线段最短可得当点在上时，最小，即所走路程最小； （2）把点向下平移到点，使，连接交于点，再过作交于点，连接，此时从路程最短；根据平移可得，，即可得到向下平移得到，则，此时从路程最短． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图1，在中，，点D在的延长线上，过D作，C，E在直线两侧，连接，过点D作交于点F； （1）求与的度数（用含的式子表示）． （2）如图2，若，，连接，请写出的度数，并证明． 【答案】（1）， （2），证明如下： 如图，延长与交于点， 由（1）知，，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴根据三线合一可得，即． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解； （2）延长与交于点，由可得，，即可证明和是等边三角形，得到，，结合得到，再证明，得到，最后根据三线合一可得，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 27. 阅读材料：对于任意两个实数a、b和正整数n，我们记．例如，． 由完全平方公式可得：．① 又因为，即，所以．② （1）若，，则___________，___________； （2）类比材料中②式的推导过程，猜想并证明：对于任意正整数，与、、、之间满足的关系式． 【答案】（1）7，18 （2）猜想， 证明： ， 故． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中的求解公式解答即可； （2）根据题意，化简可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； ； 【小问2详解】 略． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点Q，先将Q关于直线对称得到，再将关于直线对称得到．称为点Q关于点P的“回称点”． （1）当时：①点的回称点的坐标为___________；②若点是点Q关于P的“回称点”，则Q点坐标为___________． （2）点，，O为坐标原点．点P在线段上，点Q在线段上． ①若点Q与原点重合，请在图1中画出所有可能的点组成的图形； ②若点Q在线段上，则所有点组成的图形的面积为___________． ③正方形的顶点O为坐标原点，，．点在第二、四象限角平分线上．若线段上存在点Q，使得点Q关于P的回称点落在正方形的边上，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①所组成的图形是以、为端点的线段（即直线上的一段），如图所示 ②18；③． 【解析】 【分析】（1）由“回称点”的定义，点先关于直线对称得，再关于直线对称得，代入计算即可；第②问把的坐标用的坐标表示，列方程反求的坐标。 （2）设，，用, 表示的坐标，再由, 的取值范围确定点的轨迹：①时轨迹为线段；②点Q在线段时，轨迹为平行四边形，由此求面积；③按落在正方形的四条边上分类讨论． 【小问1详解】 ①解：由“回称点”的定义，点先关于直线对称得，再关于直线对称得 当时，点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 所以点的回称点的坐标为； ②解：设，则的坐标为． ∵与点重合， ∴，解得， 所以点的坐标为（－2，－4）； 【小问2详解】 ①解：设，点与原点重合，即， 则的坐标为． 令，则， 所以所有点组成的图形是直线上的一段，即以、为端点的线段（如图） ； ②设，则的坐标为． 令，则， ∵， 所以点组成的图形是夹在直线与之间、且的平行四边形，其面积为； ③当时，设，则的坐标为， 正方形的四条边所在直线分别为， （i）若落在边上，则，即， 由得； 此时，由得， ； （ii）若落在边上，则，即， 由得； 此时，由得， （iii）若落在边上，则，即， 由得； 此时，由得，无解， （iv）若落在边上，则，即， 由得； 此时，由得，无解， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题以新定义“回称点”为背景，考查坐标的对称变换与动点轨迹问题．解题的关键是把两次轴对称转化为坐标的代数表达，再借助参数的取值范围研究图形的形状与面积；第（2）③问要注意按正方形的四条边分类讨论，并检验端点是否可取。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市正泽学校2026-2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 2026.11 注意事项 1．本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 7. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角，如图，（1）在射线上取点C，E，分别以点O为圆心，，长为半径作弧，交射线于点D，F；（2）连接，交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，正确结论的个数是（ ） ①； ②若，则 ③； ④点P在的平分线上 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则___________． 10. 分解因式：___________． 11. 请写出“如果两个三角形全等，那么这两个三角形面积相等”的逆命题，用“如果……那么……”的形式___________． 12. 如图，，若，，则线段的长为______． 13. 已知，，则___________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 15. 如图，在中，点D在上，，，则的度数为___________． 16. 阅读材料：若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（m为常数）有一个因式为，则___________；则因式分解___________． 三、解答题（本题共12小题，共68分，其中第17-18题每题8分，第19题4分，第20-21题7分，第22题5分，第23题4分，第24题-26题每题5分，第27题4分，第28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点F；在上取一点E，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ∴___________ 在与中， （___________） ， ，， 且， ___________ ___________ 21. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是、； （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． （2）请画出关于y轴对称的． （3）若O为坐标原点，点P在y轴上，的面积等于2，点P的坐标为___________． 22. 如图，为等边三角形，点D在的延长线上，，．求证：． 23. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图． （1）图2中的阴影部分的面积为___________；（用含m、n的代数式表示） （2）观察图2，请写出代数式、、之间的关系式：___________． （3）若x，y都是有理数，且，，求的值． 24. 如图，平分，于点E，于点F，若． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 25. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，将军在A地带着马到直线l所在的河边饮马，随后再将马带回军营B，在直线l上找到一点D，使得将军从所走路程最短，请在图1中画出D点．D为所求作点的依据是：___________． （2）如图2，将军要从A地出发渡河前往C地，现要在河上临时搭建一座木桥，M、N分别在、上，且垂直于，使得将军从路程最短，请在图2中画出所在位置，保留作图痕迹． 26. 如图1，在中，，点D在的延长线上，过D作，C，E在直线两侧，连接，过点D作交于点F； （1）求与的度数（用含的式子表示）． （2）如图2，若，，连接，请写出的度数，并证明． 27. 阅读材料：对于任意两个实数a、b和正整数n，我们记．例如，． 由完全平方公式可得：．① 又因为，即，所以．② （1）若，，则___________，___________； （2）类比材料中②式的推导过程，猜想并证明：对于任意正整数，与、、、之间满足的关系式． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点Q，先将Q关于直线对称得到，再将关于直线对称得到．称为点Q关于点P的“回称点”． （1）当时：①点的回称点的坐标为___________；②若点是点Q关于P的“回称点”，则Q点坐标为___________． （2）点，，O为坐标原点．点P在线段上，点Q在线段上． ①若点Q与原点重合，请在图1中画出所有可能的点组成的图形； ②若点Q在线段上，则所有点组成的图形的面积为___________． ③正方形的顶点O为坐标原点，，．点在第二、四象限角平分线上．若线段上存在点Q，使得点Q关于P的回称点落在正方形的边上，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $