精品解析：北京市北航实验学校中学部2026-2027学年度第一学期八年级数学学科期中练习

北航实验学校中学部2026-2027学年度第一学期 初二年级数学学科期中练习 2026年11月 考生须知： 1．本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，共有26小题，试卷共6页，一张答题纸； 2．考试时间为90分钟，满分为100分； 3．请用黑色签字笔（选择题涂卡和画图题使用2B铅笔），按规定要求在答题纸上作答； 4．请将个人信息完整填写在相应位置． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（共有10小题，每题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题意． 1. 下面的四个云纹图样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，6 C. 4，4，7 D. 5，6，12 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是一边的垂直平分线，若厘米，厘米，则的周长为（ ）厘米． A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 7. 如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，，则的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 8. 若，，则的值为（ ） A. 7 B. 10 C. 32 D. 25 9. 如图，的两内角，的平分线，相交于点I，分别以点B和点I为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点D，连接并延长，交于点E．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，下列关于点C的说法： ①当时，平面内有且只有1个符合题意的点C； ②当时，在第二象限内不存在符合题意的点C； ③对于所有的点B，在y轴右侧都能找到符合题意的C； ④在第三象限内，不存在符合题意的点C． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（共70分） 二、填空题（共有6小题，每题3分，共18分．） 11. 计算：______． 12. 分解因式∶________． 13. 若是完全平方式，则的值是_______． 14. 如图，中，，点E在上，，于E，，若，则的长为______． 15. 已知是等腰一条腰上的高，若，则的顶角度数为______． 16. 如图，点O是边长为3的等边三角形的垂心．过点O的直线分别交，于点D，E．将沿着线段折叠，使点B与点重合，，分别与相交于点F，G．连接，．下面有四个结论： ①； ②； ③当线段绕着点O旋转时，的周长随着的位置改变而发生改变； ④四边形的面积是一个定值． 其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（共52分，17题6分，18题4分，19-24题每题5分，25、26题每题6分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 已知：如图，线段和射线． （1）使用圆规和没有刻度的直尺完成下列作图，并保留作图痕迹（不写作法）． ①在射线上作一点C，使，连接； ②作的角平分线交于点D； ③在射线上作，连接． （2）在（1）所作的图形中，证明线段的过程如下： ∵， ∴（① ）． ∵平分， ∴（ A ）． ∵， ∴（ B ）． 又∵（ C ）， ∴． ∴． ∴（ D ）． 在上述证明过程中，①处所填的推理依据是：______，而它的逆命题恰好可以填在（A）、（B）、（C）、（D）中的______处（仅填字母）． 21. 已知：如图，点D在的边上，，，．求证：． 22. 如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为______； （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示：______________； （3）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向直线两侧作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23. 如图，在等边的边上有一点P，线段与线段关于直线对称，连接并延长交射线于点E． （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）求的度数； （3）若，，直接写出的长度． 24. 小龙在学习整式的过程中发现，当或时，多项式的值为0，此时把x的值称为多项式A的“零点”． 例如，多项式的“零点”是3和． （1）多项式的“零点”为______； （2）若多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为______； （3）小龙研究了，和等多项式，发现每个多项式的“零点”均与3有特定的数量关系，他称这些多项式为“系多项式”，表示为．若多项式是“系多项式”，请你比较当时多项式的值和当时多项式的值的大小，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l是一条经过点且平行于y轴的直线．对于任意一点，先作点P关于直线l的对称点，再将向上平移个单位长度，得到点．我们称点为点P的“轴升点”． 例如：点关于直线l的对称点为，将向上平移3个单位，得到点的“轴升点”为． （1）点的“轴升点”的坐标为______； （2）已知点的“轴升点”位于第二象限，求m的取值范围； （3）已知点，，点Q是线段上的动点，点是Q的“轴升点”．对于平面内的点和点，请直接写出使得最小的点Q坐标． 26. 在中，，点D在的内部，，． （1）如图1，延长线段交于点E，且． ①求的度数； ②直接写出，，之间的数量关系； （2）如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点G，若点G恰为的中点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北航实验学校中学部2026-2027学年度第一学期 初二年级数学学科期中练习 2026年11月 考生须知： 1．本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，共有26小题，试卷共6页，一张答题纸； 2．考试时间为90分钟，满分为100分； 3．请用黑色签字笔（选择题涂卡和画图题使用2B铅笔），按规定要求在答题纸上作答； 4．请将个人信息完整填写在相应位置． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（共有10小题，每题3分，共30分．）每小题只有一个选项符合题意． 1. 下面的四个云纹图样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使图形沿该直线折叠后两部分重合． 【详解】解：根据轴对称图形的定义进行判断． 选项图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形； 选项图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 故选：． 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，6 C. 4，4，7 D. 5，6，12 【答案】C 【解析】 【分析】比较每组线段中较短两边之和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A：，运算错误， B：，运算正确， C：，运算错误， D：，运算错误． 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定因式分解需满足：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A． 右边为，是和的形式，不是整式的积，不符合． B． 变形是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合． C． 左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合． D． 左边是单项式，因式分解的对象为多项式，不符合． 6. 如图，是一边的垂直平分线，若厘米，厘米，则的周长为（ ）厘米． A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵厘米，厘米， ∴的周长厘米． 7. 如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，，则的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出的度数，根据高的定义及直角三角形两锐角互余求出的度数，最后利用角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是的角平分线，， 是的高， 在中，， ， 8. 若，，则的值为（ ） A. 7 B. 10 C. 32 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 9. 如图，的两内角，的平分线，相交于点I，分别以点B和点I为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点D，连接并延长，交于点E．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，平分，可得C正确；由题意可得：是的垂直平分线，进一步可得，则A正确；证明，可得；则D正确，由为三个内角平分线的交点，可得不一定成立，则B错误． 【详解】解：如图，连接， ∵的两内角，的平分线，相交于点I， ∴，，平分， ∴C正确； 由题意可得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，A正确； ∴， ∴， ∴， ∴．D正确， ∵为三个内角平分线的交点， ∴不一定成立，B错误． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，下列关于点C的说法： ①当时，平面内有且只有1个符合题意的点C； ②当时，在第二象限内不存在符合题意的点C； ③对于所有的点B，在y轴右侧都能找到符合题意的C； ④在第三象限内，不存在符合题意的点C． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先确定为直角三角形且为斜边，再结合图形逐一判断结论． 【详解】解：由题意得，，，，则，，， 当时，则， ∴，为等腰直角三角形， 如图， ∵以B，O，C为顶点的三角形与全等， ∴为斜边， ∴当时，平面内有且只有1个符合题意的点C；①正确； 如图，当时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴C在第二象限，②错误； 如图，把沿直线对折，则， ∴， ∴总在轴的右侧， ∴对于所有的点B，在y轴右侧都能找到符合题意的C，故③正确； 如图， 由几何变换可得：是由沿线段的垂直平分线对折得到，或绕线段的中点旋转得到，或沿直线对折得到； 结合②③可得：不可能在第三象限，④正确； 综上，正确结论为①③④． 第Ⅱ卷（共70分） 二、填空题（共有6小题，每题3分，共18分．） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 12. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若是完全平方式，则的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且完全平方式的形式为， ∴比较系数得， 解得， ∴． 故答案为：9． 14. 如图，中，，点E在上，，于E，，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15. 已知是等腰一条腰上的高，若，则的顶角度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据，，结合等腰三角形腰的位置、高的位置分情况，利用直角三角形性质和三角形内角和定理计算顶角度数． 【详解】当，高在三角形内部时， ∵， ∴的顶角度数为； 当，高在三角形外部时， ∵， ∴的顶角度数为； 当，高在三角形外部时， ∵， ∴， ∴根据得到， ∴的顶角度数为， 当，高在三角形内部时， ∵， ∴，， ∴根据得到， ∴此时不存在． 综上所述，的顶角度数为或或． 16. 如图，点O是边长为3的等边三角形的垂心．过点O的直线分别交，于点D，E．将沿着线段折叠，使点B与点重合，，分别与相交于点F，G．连接，．下面有四个结论： ①； ②； ③当线段绕着点O旋转时，的周长随着的位置改变而发生改变； ④四边形的面积是一个定值． 其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接、，证明点O是等边三边垂直平分线的交点，也是三个内角平分线的交点，证明，同理可得，平分，可得，①正确；证明，进一步可得，②正确；由的周长为： ；③错误；连接并延长交于，则，证明，，进一步可得④正确． 【详解】解：连接、， ∵点O是等边的垂心， ∴点O是等边三边垂直平分线的交点，也是三个内角平分线的交点， ∴平分， ∴点O到、的距离相等， 由折叠得：平分， ∴点O到、的距离相等， ∴点O到、的距离相等， ∴平分， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 同理可得，平分， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴的周长为： ；③错误； ∵， ∴， 连接并延长交于，则， ∵点O是等边三边垂直平分线的交点，也是三个内角平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，④正确． 综上：正确的是①②④． 三、解答题（共52分，17题6分，18题4分，19-24题每题5分，25、26题每题6分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以单项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 又，， 则原式 ． 20. 已知：如图，线段和射线． （1）使用圆规和没有刻度的直尺完成下列作图，并保留作图痕迹（不写作法）． ①在射线上作一点C，使，连接； ②作的角平分线交于点D； ③在射线上作，连接． （2）在（1）所作的图形中，证明线段的过程如下： ∵， ∴（① ）． ∵平分， ∴（ A ）． ∵， ∴（ B ）． 又∵（ C ）， ∴． ∴． ∴（ D ）． 在上述证明过程中，①处所填的推理依据是：______，而它的逆命题恰好可以填在（A）、（B）、（C）、（D）中的______处（仅填字母）． 【答案】（1）解：如图，点、、即为所求， （2）等边对等角；D 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图的步骤作图即可； （2）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴（等边对等角）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵， ∴（等边对等角）． 又∵（三角形外角的性质）， ∴． ∴． ∴（等角对等边）． 21. 已知：如图，点D在的边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等式的性质可得出，根据等边对等角并结合已知可得出，证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 22. 如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为______； （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示：______________； （3）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向直线两侧作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据图2，即可得到阴影部分的正方形边长． （2）根据（1），可知阴影部分的正方形边长为，再根据正方形的面积公式，即可得出图2中阴影部分的面积，另一种表示方法为首先算出大正方形的面积，然后再减去四个小长方形的面积，即可得到阴影部分面积，然后列出等式即可． （3）首先设，，根据题意可知：，再根据和完全平方公式，得出的值，然后利用三角形的面积公式，即可得出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：根据图2所示，大正方形的边长为，阴影部分的正方形边长为； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分面积为：， ∵大正方形的面积为：， 又∵四个小长方形的面积为：， 故阴影部分面积还可以表示为：， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，在等边的边上有一点P，线段与线段关于直线对称，连接并延长交射线于点E． （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）求的度数； （3）若，，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，轴对称的性质可求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）利用（1）中，，并结合三角形内角和定理求解即可； （3）过点A作于点T．先求得，得，由得，可得结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作于点T． 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 小龙在学习整式的过程中发现，当或时，多项式的值为0，此时把x的值称为多项式A的“零点”． 例如，多项式的“零点”是3和． （1）多项式的“零点”为______； （2）若多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为______； （3）小龙研究了，和等多项式，发现每个多项式的“零点”均与3有特定的数量关系，他称这些多项式为“系多项式”，表示为．若多项式是“系多项式”，请你比较当时多项式的值和当时多项式的值的大小，并说明理由． 【答案】（1）和 （2） （3）解：，理由如下： ∵ 多项式是“系多项式”， ∴ 设（为常数）， 由平方差公式得， 将代入得， 将代入得， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据多项式的“零点”的含义可得或，进一步求解即可； （2）根据多项式的“零点”的含义可得当时，，再进一步求解即可； （3）设（为常数），由平方差公式得，再进一步证明即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：或， 解得：或， ∴的“零点”为，． 【小问2详解】 解：∵多项式的一个“零点”为2， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为． 【小问3详解】 略 25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l是一条经过点且平行于y轴的直线．对于任意一点，先作点P关于直线l的对称点，再将向上平移个单位长度，得到点．我们称点为点P的“轴升点”． 例如：点关于直线l的对称点为，将向上平移3个单位，得到点的“轴升点”为． （1）点的“轴升点”的坐标为______； （2）已知点的“轴升点”位于第二象限，求m的取值范围； （3）已知点，，点Q是线段上的动点，点是Q的“轴升点”．对于平面内的点和点，请直接写出使得最小的点Q坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“轴升点”的定义求解即可； （2）根据“轴升点”的定义求出，然后根据在第二象限列出关于m的不等式，即可求解； （3）根据“轴升点”的定义求出，根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”确定最小时的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 点关于直线l的对称点为，将向上平移2个单位，得到点的“轴升点”为； 【小问2详解】 解∶ 点关于直线l的对称点为，将向上平移4个单位，得到点的“轴升点”为， ∵位于第二象限， ∴， ∴ 【小问3详解】 解∶ 作点关于x轴的对称点，连接， 则，， ∴， ∴当、、S三点共线时，最小， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵点，， 同理可求直线解析式为， ∵点Q是线段上的动点， ∴设， ∴点关于直线l的对称点为，将向上平移个单位，得到点的“轴升点”为， ∴且， 解得（不符合题意的值已舍去）， ∴． 26. 在中，，点D在的内部，，． （1）如图1，延长线段交于点E，且． ①求的度数； ②直接写出，，之间的数量关系； （2）如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点G，若点G恰为的中点．求证：． 【答案】（1）①； ② （2）证明：延长至点H，使， 点G恰为的中点， ， 又， ， ，， 过B作于M，过D作于N， 则， 又，， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）①利用“”证明，得到，再利用等边对等角求解即可； ②根据全等三角形的性质，得到，，即可证明结论； （2）延长至点H，使，证明，得出，，过B作于M，过D作于N，证明，得出，证明，得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可得证． 【小问1详解】 解：①， ， 又， ， ， ； ②， ，， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $