精品解析：北京市日坛中学2026—2027学年度秋季学期初中期中 八年级数学学科试题"

北京市日坛中学教育集团2026-2027学年度秋季学期 初中期中联考八年级数学学科试题 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，，交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，是角平分线，是中的中线，若的面积是，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 10. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 11. 已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数为___________． 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 13. 若，则的值为___________． 14. 如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ___________． 15. 如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 三、解答题（共52分，17题8分，18-23题5分，24-25题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，． （1）请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，求的面积． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 21. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 22. 如图，在中，，，垂足为，点在上，，． （1）求证：平分； （2）若，，且的面积等于，求的长． 23. 如图，点在线段上，，，．点是中点．直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 25. 在中，，点D在边上，．点E在的边上或内部，连接，． （1）如图1，当点E在边上时，连接． ①________°； ②求证：； （2）如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【附加题】 26. 新定义： 材料一：形如（其中为非负整数）的数叫做幂数，例如1，2，4，8，16都是幂数． 材料二：如果一个三角形的边长都是幂数，即（均为非负整数），则称这个三角形为幂三角形．例如，，，那么，这个三角形就是幂三角形． 材料三：若，则． （1）下列的取值能构成幂三角形的有___________（填序号） ①1，2，4；②4，4，8；③2，2，3；④8，8，8 （2）已知某幂三角形中，， ①请写出第三条边的取值范围______________________； ②___________． （3）是否存在三边均不相等的幂三角形，如果存在，请写出相应的与的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市日坛中学教育集团2026-2027学年度秋季学期 初中期中联考八年级数学学科试题 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理列式求出，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 5. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，，根据平行线的性质得出，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，是的角平分线，，交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义， 先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 在中，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，中，是角平分线，是中的中线，若的面积是，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G， ∵AD是角平分线， ∴DF=DG，设DF=DG=h， S△ABC=S△ABD＋S△ADC，即， ∴5h+3h=48， 解得h=6， ∴， ∵BE是△ABD中的中线， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 8. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 过点分别作、、的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点到、的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ①平分，平分，于点，于点， ，， ， 平分，故①正确，符合题意； ②，， ， ， ， 错误，故②错误，不符合题意； ③在与中， ， ， ， 同理可得， ， ， 故本小题正确，符合题意； ④平分，平分， ，， ， 故本小题正确，符合题意． 综上所述，①③④符合题意． 故选：B． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 【答案】三角形的稳定 【解析】 【详解】由生活经验，易得根据三角形的稳定性. 10. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【解析】 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 11. 已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数为___________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，结合三个内角的度数比例，找到最大内角对应的占比即可求解． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比是，三角形的内角和为， ∴三个内角对应的总份数为， ∵比例中数值最大的项对应三角形的最大内角， ∴最大内角的度数为． 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 【答案】19 【解析】 【详解】①当3为底时，其它两边都为8，3、8、8可以构成三角形，周长为19； ②当3为腰时，其它两边为3和8，∵，∴不能构成三角形，故舍去， ∴周长为19． 13. 若，则的值为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】利用幂的运算性质将待求式拆解为已知幂的组合形式，代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14. 如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键． 根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解． 【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点, ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为． 故答案为：． 15. 如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（共52分，17题8分，18-23题5分，24-25题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键： （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）计算多项式除以单项式即可解答； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 . 18. 如图，在中，，． （1）请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，求的面积． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）16 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径，画弧分别交，于点，再以为圆心，大于长为半径画弧，交内一点P，连接，交于点D． （2）过点D作，由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵，， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】,15 【解析】 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 由， 得 ． 20. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．由得，再证明得，最后同时减去即可． 【详解】略 21. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，属于简单题，熟悉三角形的内角和是是解题关键． 由三角形内角和定理可求得的度数，因是角平分线，有，在中，可求得的度数，再由可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵是高，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，垂足为，点在上，，． （1）求证：平分； （2）若，，且的面积等于，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． （1）根据题意先证明，再根据角平分线的判定定理即可证明的平分； （2）利用，结合，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ，即， ． 23. 如图，点在线段上，，，．点是中点．直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】 证明：∵， ， 在和中，， ， ， 点是的中点， 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用可证明，得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出． 【详解】解：，证明略 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 25. 在中，，点D在边上，．点E在的边上或内部，连接，． （1）如图1，当点E在边上时，连接． ①________°； ②求证：； （2）如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①45； ②证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合题意即可求得； ②根据题意易证，即得出，结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求出．由题意可求出，根据三角形外角性质得出，即得出； （2）在线段上取，易证，得出．设，则，可求出，即得出，从而得． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，即； ②略 【小问2详解】 解：， 证明：如图，在线段上取， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． 【附加题】 26. 新定义： 材料一：形如（其中为非负整数）的数叫做幂数，例如1，2，4，8，16都是幂数． 材料二：如果一个三角形的边长都是幂数，即（均为非负整数），则称这个三角形为幂三角形．例如，，，那么，这个三角形就是幂三角形． 材料三：若，则． （1）下列的取值能构成幂三角形的有___________（填序号） ①1，2，4；②4，4，8；③2，2，3；④8，8，8 （2）已知某幂三角形中，， ①请写出第三条边的取值范围______________________； ②___________． （3）是否存在三边均不相等的幂三角形，如果存在，请写出相应的与的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）④ （2）①8，24②4 （3）解：不存在，理由如下： 设，且x、y、z都是非负整数， ∴ ∴， ∴， ∵，且y、z都为非负整数， ∴， ∴， ∴， ∴这三个数作为三边长不能构成三角形， ∴不存在三边均不相等的幂三角形． 【解析】 【分析】（1）计算出对应的的值，结合构成三角形的条件判断即可； （2）根据构成三角形的条件求解即可； （3）设，且x、y、z都是非负整数，则可证明，再证明得到，据此可得结论． 【小问1详解】 解：①， ∵， ∴此时不能构成三角形； ②， ∵， ∴此时不能构成三角形； ③， ∵， ∴此时不能构成三角形； ④， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，能构成幂三角形的只有④； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴，即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $