专题 5.1-5.4 等可能条件下的概率（专题训练）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 5.1-5.4 等可能条件下的概率（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1.列举随机实验的所有可能结果 1 题型·2.根据概率公式计算概率 3 题型·3·已知概率求数量 4 题型·4·几何概率 7 题型·5·列举法求概率 9 题型·6·列表法或树状图法求概率 12 题型·7·游戏的公平性 17 题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 21 题型·1.列举随机实验的所有可能结果 1．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 2．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 3．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 4．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 题型·2.根据概率公式计算概率 5．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴． 6．已知某种品牌的饮料每一箱（每箱24瓶）中都有4瓶饮料的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的饮料，但连续打开4瓶均未中奖，此时小明在剩下的饮料中随机打开一瓶，那么他打开的这瓶饮料中奖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：剩余饮料总瓶数为（瓶）， ∵连续打开的4瓶均未中奖， ∴剩余饮料中印有“奖”字的仍有4瓶， ∴随机打开一瓶中奖的概率为． 7．某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能出现的结果总数，再找到符合要求的结果数量，利用概率定义，用符合条件的结果数除以全部结果总数算出对应概率． 【详解】解：随机抽取1个社团，共有5种等可能的结果，抽中戏剧类社团的结果有1种， 抽中戏剧类社团活动的概率为． 题型·3·已知概率求数量 8．已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知，满足的的值为，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵函数中随增大而增大， ∴，解得， ∵，为整数， ∴的取值为，共7种等可能结果，其中满足的值为，共3种， ∴所求概率． 9．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 10．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 11．一个不透明的盒子里装有个黑色棋子和若干个白色棋子，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后从盒子中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复的试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中白色棋子的数量约为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，结合黑棋数量与总棋子数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设盒子中白色棋子有枚， ∵摸到黑色棋子的频率稳定在， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∵总棋子数为枚，黑色棋子有枚， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴白色棋子约有枚． 12．中秋节期间，小颖妈妈购买了奶黄月饼和五仁月饼共20个，小颖从中随机选择一个月饼，若她选到五仁月饼的概率为，则小颖妈妈购买的奶黄月饼的个数是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握概率公式， 根据概率公式即可解答 【详解】解：设五仁月饼有x个， ， ， 则奶黄月饼为：（个） 故选：A 13．在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，根据摸到黄球的概率等于黄球的个数除以球的总数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故选：C． 题型·4·几何概率 14．如图，这是正方形网格，图中的2个小方格已涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率，轴对称图形，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，所以使整个阴影部分组成轴对称图形的概率． 故选：D． 15．如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识. 【详解】解：设正方形的边长为，则圆的直径为， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=， 故选：C 16．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，利用空白图形的面积除以总面积，进行计算即可． 【详解】解：设小正方形的面积为1，由图可知，向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是； 故选B． 17．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 18．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 题型·5·列举法求概率 19．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意列出点数之和为5，6，7，8的结果数，然后比较即可得出答案， 【详解】解：点数之和为5的结果有，共4种， 点数之和为6的结果有，共5种， 点数之和为7的结果有，共6种， 点数之和为8的结果有，共5种． ∵， ∴点数之和为7的出现可能性最大． 20．将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意抽取为不放回类型，用列举法找出所有等可能结果，结合概率公式计算． 【详解】解：∵ 不放回抽取两张卡片组成两位数，共有6种等可能的结果，分别为12，13，21，23，31，32，其中恰好为12的结果有1种， ∴恰好为“12”的概率为． 21．为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 22．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 23．有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求概率和构成三角形的条件，先列举出所有的取法，再根据构成三角形的条件确定能构成三角形的取法，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能情况有10种：、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、； ∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴只有、、；、、；、、；这三种情况能搭成三角形， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：B． 题型·6·列表法或树状图法求概率 24．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 25．周末，小明一家4口去郊区野餐．如图是他们搭建的临时餐桌，他们坐在每个位置的可能性大小都是相同的．小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记餐桌一侧的座位为A，B，另一侧的座位为C，D，画出树状图，求出所有等可能结果数及小明和爸爸坐在餐桌两侧的等可能结果数，即可根据概率的计算公式计算． 【详解】解：记餐桌一侧的座位为A，B，另一侧的座位为C，D， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中小明和爸爸坐在餐桌两侧的等可能结果是，，，，，，，，共8种，所以小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是． 26．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，，，．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字当指针恰好指在分界线上时，不计，重转，则记录的两个数字都是正数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两个数字都是正数的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两个数字都是正数的结果有4种， 记录的两个数字都是正数的概率为． 27．3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：令“风”为A，“云”为B，“雨”为C，“雪”为D， 画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有2种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是． 28．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率； （2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率． 【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张， 抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； （2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 29．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求接受测评的学生人数； (2)扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为__________度： (3)请补全频数分布直方图； (4)若该校共有学生3200人，请估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有多少人； (5)测评成绩前四名的学生恰好是2个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1)人 (2) (3) (4)人 (5) 【分析】（1）用等级是“中”的人数除以占比即可； （2）用乘以等级“优”的占比即可； （3）先计算出等级“良”的人数，即可补全统计图； （4）用样本估计总体的方法求解即可； （5）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：接受测评的学生人数为人； （2）解：， 答：扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为； （3）解：等级“良”的人数为（人）， 补全统计图见答案； （4）解：（人）， 答：估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有人； （5）解：设数字表示男生，数字表示女生， 画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的结果数有8种， ∴抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是． 题型·7·游戏的公平性 30．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】解：略 31．小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则不公平． 根据题意列表如下： 小明/小亮 2 3 4 2 2 1 2 4 6 3 −6   6 9 观察图表可知共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为无理数的结果有0种，乘积是有理数的结果是16种， ，， ， 该游戏规则不公平． 【分析】（1）根据卡片是负数情况的可能性除以总情况即可求出卡片上的数字是负数的概率． （2）根据列表法，求出乘积是无理数的情况，即可求出小明和小亮分别胜出的概率，从而判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：负数的卡片的个数是2个，总的卡片是4个， 负数抽取的概率是． （2）略 32．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率 ∵ ， ∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【分析】（1）根据题意，画出树状图，即可得到所有等可能的结果，进行解答，即可； （2）根据树状图，得到甲乙双方的获胜概率，进行解答，即可． 【详解】（1）解：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率； （2）略． 33．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； （2）略 题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 34．我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 【答案】(1)不可能事件 (2)得不到购物券的概率大 【分析】（1）由于转盘上没有获得100元的购物券的区域，从而得到答案； （2）转动一次转盘共有16种等可能的结果．其中得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，从而得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，从而即可判断得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券， ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， 转动一次转盘得到购物券的概率为， 得不到购物券的概率为， ， 得不到购物券的概率大． 35．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 36．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． (1)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 【答案】(1)； (2)还需要将个无色扇形涂成绿色． 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，获奖区域一共有7个， ∴甲顾客得到元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 37．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1-5.4 等可能条件下的概率（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1.列举随机实验的所有可能结果 1 题型·2.根据概率公式计算概率 2 题型·3·已知概率求数量 2 题型·4·几何概率 3 题型·5·列举法求概率 4 题型·6·列表法或树状图法求概率 5 题型·7·游戏的公平性 7 题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 9 题型·1.列举随机实验的所有可能结果 1．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 2．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 3．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 4．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 题型·2.根据概率公式计算概率 5．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 6．已知某种品牌的饮料每一箱（每箱24瓶）中都有4瓶饮料的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的饮料，但连续打开4瓶均未中奖，此时小明在剩下的饮料中随机打开一瓶，那么他打开的这瓶饮料中奖的概率是（     ） A． B． C． D． 7．某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（     ） A． B． C． D． 题型·3·已知概率求数量 8．已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 9．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 10．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 11．一个不透明的盒子里装有个黑色棋子和若干个白色棋子，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后从盒子中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复的试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中白色棋子的数量约为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．中秋节期间，小颖妈妈购买了奶黄月饼和五仁月饼共20个，小颖从中随机选择一个月饼，若她选到五仁月饼的概率为，则小颖妈妈购买的奶黄月饼的个数是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 13．在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 题型·4·几何概率 14．如图，这是正方形网格，图中的2个小方格已涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 15．如图是一个正方形及其内切圆，随机往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（   ） A． B． C． D． 16．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是（   ） A． B． C． D． 17．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 18．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 题型·5·列举法求概率 19．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 21．为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 22．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 23．有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 题型·6·列表法或树状图法求概率 24．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 25．周末，小明一家4口去郊区野餐．如图是他们搭建的临时餐桌，他们坐在每个位置的可能性大小都是相同的．小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是（     ） A． B． C． D． 26．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字，，，．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字当指针恰好指在分界线上时，不计，重转，则记录的两个数字都是正数的概率为（    ） A． B． C． D． 27．3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（   ） A． B． C． D． 28．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 29．每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)求接受测评的学生人数； (2)扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为__________度： (3)请补全频数分布直方图； (4)若该校共有学生3200人，请估计该校学生对消防安全知识达到“优”和“良”的学生共有多少人； (5)测评成绩前四名的学生恰好是2个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 题型·7·游戏的公平性 30．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 31．小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为__________________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张，请用列表法或画树状图进行分析，若两人抽取卡片上的数字之积为无理数，则小明胜；否则小亮胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 32．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 33．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 34．我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 35．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 36．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． (1)甲顾客获得购物券的概率是多少？ (2)若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 37．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $