专题 5.1 等可能条件下的概率全章分层作业【基础巩固+拓展培优+中考链接】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 5.1 等可能条件下的概率全章同步分层作业【基础巩固+拓展培优+中考链接】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】概率公式 2 【题型2】几何概率 2 【题型3】列表法或树状图求概率 3 三.拓展培优 4 【题型1】放回与不放回 4 【题型2】标记重捕法与列方程 6 【题型3】抽签公平与方案设计 7 【题型4】树状图与列表法求概率综合应用 8 四.中考链接 10 五.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1.等可能事件：若一次随机试验所有可能发生的结果共有 n 个，且每个结果出现的______均等，则称这 n 个事件的发生是等可能的，其中每个事件发生的概率都是________。 2.概率公式：若一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率 P（A）＝________（填分数形式）。 3.列举等可能结果的方法：通常用______法和________法，要做到______（不重不漏）。 4.用频率估计概率：当试验次数______时，常用事件发生的______作为该事件概率的估计值。 5.对立事件：若事件 A 发生的概率为 P（A），则事件 A 不发生的概率为 1－________。 二.基础巩固 【题型1】概率公式 1．（2026九年级·广西·专题练习）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 2．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 4．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）有一个正方体，其中个面涂成红色，个面涂成黄色，剩下的面涂成绿色，将其抛出，黄色面朝上的可能性是________． 【题型2】几何概率 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）小明向如图所示的格盘中随意掷一枚小针（若针头落在分界线上，则重新掷），则针头落在三角形内（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【题型3】列表法或树状图求概率 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 三.拓展培优 【题型1】放回与不放回 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）袋中有除颜色以外其余都相同的红球3个，黄球1个．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、摇匀，像这样先后摸球2次，摸到的都是红球，则第3次摸到红球的概率是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． （1）若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； （2）若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； （3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 3．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个不透明袋中装有2个红球、1个黑球、1个白球，每个球除颜色外完全相同． （1）从袋中随机摸出一个球，摸出______球的可能性最大，摸出______球和______球的可能性相同； （2）从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是______； （3）①若从袋中摸出一个球后，放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后______（填“放回”或“不放回”），再摸出一个球； （4）若往袋中再加入x个红球并摇匀，从袋中摸出一个球记录颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，求x的值； （5）从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； （6）从袋中随机摸出一个球，不放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； （7）安安和桃桃两人玩摸球游戏，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球都是红球，则安安获胜；若摸出的两个球是一黑一白，则桃桃获胜．问：这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【题型2】标记重捕法与列方程 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； （2）假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； （3）估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 3．（25-26九年级下·全国·单元测试）一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【题型3】抽签公平与方案设计 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． （1）请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 2．（2026·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 4．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【题型4】树状图与列表法求概率综合应用 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． （1）若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； （2）若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． （1）若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 3．（2026·四川遂宁·模拟预测）为加强学生青春自护教育，校从七八九三个年级各抽取部分学生举行了青春自护知识竞赛，成绩记为，，，，共个等级，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）求这次抽取多少名学生，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）成绩等级为的优秀学生恰为三名男生和两名女生，现从中随机抽取两人在周一升旗仪式上发言，请用列表法或画树状图法，求正好抽到一男一女的概率． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读无处不在．“书香中国万里行”活动走进河南郑州，某学校积极响应号召准备开展“精准送读”活动．为了了解学生的读书爱好，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，并将其阅读情况进行统计，每名学生只能从“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项中选一项，根据结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据信息回答下列问题： 类别 频数（人数） 百分比 小说 戏剧 a 散文 其他 b （1）______，______； （2）扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角的度数是______； （3）若选择“戏剧”类的学生中，只有2名女生，现从选择“戏剧”类的学生中选出2名学生参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图法，求选出的2人恰好都是女生的概率； （4）若全校有名学生，请你估计全校有多少名学生喜欢“小说”类书籍． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 5．（2026·新疆·中考真题）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 6．（2026·安徽·二模）有4张背面完全相同的不透明卡片，正面图案分别是矩形、平行四边形（不是菱形和正方形）、正三角形、圆，洗均匀后，背面朝上放置，从中任意抽出2张，恰好抽出的两张既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 三、解答题 7．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． （1）若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． （2）若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 8．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 等可能条件下的概率全章同步分层作业【基础巩固+拓展培优+中考链接】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】概率公式 2 【题型2】几何概率 4 【题型3】列表法或树状图求概率 6 三.拓展培优 10 【题型1】放回与不放回 10 【题型2】标记重捕法与列方程 16 【题型3】抽签公平与方案设计 20 【题型4】树状图与列表法求概率综合应用 24 四.中考链接 29 五.自我评价 36 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1.等可能事件：若一次随机试验所有可能发生的结果共有 n 个，且每个结果出现的______均等，则称这 n 个事件的发生是等可能的，其中每个事件发生的概率都是________。 2.概率公式：若一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率 P（A）＝________（填分数形式）。 3.列举等可能结果的方法：通常用______法和________法，要做到______（不重不漏）。 4.用频率估计概率：当试验次数________时，常用事件发生的________作为该事件概率的估计值。 5.对立事件：若事件 A 发生的概率为 P（A），则事件 A 不发生的概率为 1－________。 【前置作业参考答案】 1．机会（可能性）； 2． 3．列表法、树状图法 4．很大（足够大）；频率 5．P（A） 二.基础巩固 【题型1】概率公式 1．（2026九年级·广西·专题练习）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率公式进行计算即可． 解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴． 2．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 【答案】/0.25 【分析】根据概率公式，用所求情况数除以总等可能情况数即可计算结果． 解：一共有4种等可能的抽卡片结果，其中抽出标有数字为4的卡片的结果只有1种， ∴抽出标有数字为4的卡片的概率为． 4．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）有一个正方体，其中个面涂成红色，个面涂成黄色，剩下的面涂成绿色，将其抛出，黄色面朝上的可能性是________． 【答案】 【分析】正方体抛出后每个面朝上的可能性相等，用黄色面的数量除以总面数，即可得到所求可能性． 解：∵正方体共有个面，其中黄色面的数量为，每个面朝上的可能性相等， ∴黄色面朝上的可能性为 ． 【题型2】几何概率 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）小明向如图所示的格盘中随意掷一枚小针（若针头落在分界线上，则重新掷），则针头落在三角形内（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设小正方形的边长为1，求正方形和三角形的面积分别为9和3，再用面积比求概率． 解：设小正方形的边长为1，则正方形的面积为9， ∴三角形的面积为， ∴针头落在三角形内（阴影部分）的概率是． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 【答案】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是. 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 【题型3】列表法或树状图求概率 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先计算所有等可能结果数，结合概率得出和为的结果数，再分类讨论第四个球的数字，即可得出答案． 解：设第四个小球上的数字为，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能结果， ∵两人摸得数字之和为8的概率为， ∴和为的结果有（种）， ∵其中三个小球上面分别标有数字，，，仅两次都摸到标的球时和为，对应种结果， ∴要使和为的结果有种时，需， 当时，和为的结果有种，不符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， ∴第四个小球上的数字是或． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好在同一组的概率． 解：如下图所示： 由图可得，共有9种等可能的结果，而小文和小锋恰好分在同一组的情况有三种， ∴小文和小锋恰好分到同一个组的概率为． 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式和游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，解题的关键是熟练掌握概率公式以及列举出所有的等可能情况． 两个骰子同时抛出，列举出所有可能情况，利用概率公式分别求出甲赢和乙赢的概率，再比较即可． 解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知，共有36种等可能的结果，其中出现两个5点的结果有1种，出现一个4点和一个6点的结果有2种， 甲赢的概率为，乙赢的概率为， 这个游戏对乙有利． 故选：C. 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 【答案】 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【分析】先列出表格，得出摸球所有等可能结果，计算小红和小明赢的概率，比较概率大小判断游戏公平性即可． 解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 三.拓展培优 【题型1】放回与不放回 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）袋中有除颜色以外其余都相同的红球3个，黄球1个．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、摇匀，像这样先后摸球2次，摸到的都是红球，则第3次摸到红球的概率是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．从中任意摸出1个球，有4种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，再根据概率公式求解即可． 解：从中任意摸出1个球，有4种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果， 所以第3次摸到红球的概率是， 2．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球． （1）若盒中有个红球和个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明； （2）若先从盒中摸出个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了次．统计结果如下表： 球的颜色 无记号 有记号 红色 白色 红色 白色 摸到的次数 由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几； （3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数． 【答案】（1）解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，从中任意摸出两个球恰好是一红一白的有种情况， ∴（恰好是一红一白）， 即从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是； （2）红球占总球数的，白球占总球数的 （3）个 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中任意摸出两个球恰好是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意得次摸球试验活动中，出现红球次，白球次，继而求得答案； （3）由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次，则可求得总数，继而求得答案． 解：（1）略 （2）解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现红球次，白球次， ∴红球所占百分比为， 白球所占百分比为， 答：红球占总球数的，白球占总球数的； （3）解：由题意可知，次摸球试验活动中，出现有记号的球次， ∴总球数为， ∴红球数为（个）， 答：盒中红球有个． 3．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个不透明袋中装有2个红球、1个黑球、1个白球，每个球除颜色外完全相同． （1）从袋中随机摸出一个球，摸出______球的可能性最大，摸出______球和______球的可能性相同； （2）从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是______； （3）①若从袋中摸出一个球后，放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后______（填“放回”或“不放回”），再摸出一个球； （4）若往袋中再加入x个红球并摇匀，从袋中摸出一个球记录颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，求x的值； （5）从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； （6）从袋中随机摸出一个球，不放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； （7）安安和桃桃两人玩摸球游戏，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球都是红球，则安安获胜；若摸出的两个球是一黑一白，则桃桃获胜．问：这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1）红，黑，白；（2）；（3）①4，②3，③不放回；（4）4；（5）；（6）；（7）这个游戏规则公平，理由如下： 将两个红球分别记作红1，红2，根据题意列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，摸出的两个球是一黑一白的结果有2种， ∴摸出的两个球都是红球的概率为，摸出的两个球是一黑一白的概率为， 即摸出的两个球都是红球的概率等于摸出的两个球是一黑一白的概率， ∴这个游戏规则公平． 【分析】（1）一个不透明袋中装有2个红球、1个黑球、1个白球，从袋中任意摸出一个球，数量最多的球，摸出的可能性最大，数量一样多的球，摸出的可能性相同； （2）利用概率公式直接求解即可； （3）①②根据球的总数即可判断；③直接判断即可； （4）根据概率公式，列出方程，即可； （5）画出表格，共有16种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有6种，由概率公式即可得出答案； （6）画出表格，共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有2种，由概率公式即可得出答案； （7）画出表格，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，摸出的两个球是一黑一白的结果有2种，从而判断是否公平． （1）解：∵， ∴红球的数量最多，黑球的数量和白球的数量一样多， 所以摸出红球的可能性最大，摸出黑球和白球的可能性相同； （2）解：从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是． （3）解：①若从袋中摸出一个球后，放回，有4个球，则第二次再摸出一个球，有4种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，还剩3个球，则第二次再摸出一个球，有3种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后不放回，再摸出一个球； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 所以； （5）解：将两个红球分别记作红1，红2，列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红1，红1） （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （红2，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （黑，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有6种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为； （6）解：将两个红球分别记作红1，红2，列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） 共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有2种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为； （7）略 故选：C． 【题型2】标记重捕法与列方程 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； （2）假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； （3）估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】（1）；（2）；；（3）黑球8个，白球12个 【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个． （1）解：由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近 摸到白球的概率为 摸到黑球的概率为； （3）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 口袋中有白球（个）， 黑球（个）． 2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 解：设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 3．（25-26九年级下·全国·单元测试）一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【答案】22 【分析】利用频率估计概率，根据摸到黑球的频率等于黑球个数与总球数的比值，列方程求解即可． 解：设暗箱里大约有白球个，则暗箱中总球数为个． 用频率估计概率，可得摸到黑球的概率约为， 因此列方程得 交叉相乘化简得， 解得． 即暗箱里大约有白球个． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】（1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为；（2）估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． （1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 【题型3】抽签公平与方案设计 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． （1）请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】（1）；（2）估计游戏设计者可赚元 【分析】（1）通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数，根据概率公式计算得到小兔玩具的概率． （2）先计算每人次游戏设计者的收益，再结合人次的总参与量，用总收费减去总赔付金额，得到设计者的总盈利． （1）解：画树状图为 共有10种等可能的结果数，其中符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数为4， 所以小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）解：（元）， 所以估计游戏设计者可赚1000元． 2．（2026·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 4．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． （1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）略 【题型4】树状图与列表法求概率综合应用 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． （1）若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； （2）若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1）；（2）解：共有12种不同的游玩方案，理由如下： 可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 【分析】（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算； （2）通过画树状图统计总数量． （1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； （2）略 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． （1）若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 【答案】（1）抽到自然景观的概率为；（2）取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． （1）解：（张）， ； （2）解：列表格如下：            D            E       A       B       C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． 3．（2026·四川遂宁·模拟预测）为加强学生青春自护教育，校从七八九三个年级各抽取部分学生举行了青春自护知识竞赛，成绩记为，，，，共个等级，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． （1）求这次抽取多少名学生，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）成绩等级为的优秀学生恰为三名男生和两名女生，现从中随机抽取两人在周一升旗仪式上发言，请用列表法或画树状图法，求正好抽到一男一女的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由等级的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题； （2）求出等级的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，正好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可． （1）解：这次抽取的学生人数为：（名）， 扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为：； （2）解：等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如图； （3）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果，正好抽到一男一女的结果有种， ∴正好抽到一男一女的概率为． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读无处不在．“书香中国万里行”活动走进河南郑州，某学校积极响应号召准备开展“精准送读”活动．为了了解学生的读书爱好，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，并将其阅读情况进行统计，每名学生只能从“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项中选一项，根据结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据信息回答下列问题： 类别 频数（人数） 百分比 小说 戏剧 a 散文 其他 b （1）______，______； （2）扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角的度数是______； （3）若选择“戏剧”类的学生中，只有2名女生，现从选择“戏剧”类的学生中选出2名学生参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图法，求选出的2人恰好都是女生的概率； （4）若全校有名学生，请你估计全校有多少名学生喜欢“小说”类书籍． 【答案】（1）5；；（2）；（3）解：选择“戏剧”类的共有5名学生，其中有2名女生，分别记为，，3名男生，分别记为，，．选出的2人分别为第1人、第2人． 如图，用树状图表示出所有可能出现的结果， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中选出的2人恰好都是女生的结果有2种， （选出的2人恰好都是女生）． （4）有名 【分析】（1）根据散文的频数和对应百分比求出样本容量，再计算，； （2）求出“其他”所占百分比，乘以得到扇形圆心角度数； （3）画树状图列出全部等可能结果，利用概率公式计算； （4）利用样本中喜欢小说的百分比，用样本估计总体求出全校人数． （1）解：选散文的有人，占， 抽取的学生有（人）， ， ； （2）解：由（1）得， ， “其他”所在扇形圆心角的度数为； （3）略 （4）解：由（2）得， （名）， 答：估计全校有名学生喜欢“小说”类书籍． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解． 解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：C 2．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：用A、B、C分别表示《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》， 由题意，可画树状图为： 由树状图，可知共有6种等可能的结果，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种， ∴恰好选中前面两首歌曲的概率为． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种，利用概率公式进行解答即可． 解：依据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种， ∴． 二、填空题 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 5．（2026·新疆·中考真题）如果在一次投米试验中，结果落在区域中的每一点都是等可能的．如图，是一个正方形及其内切圆，且正方形的边长为，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是____________． 【答案】 【分析】先计算正方形的面积，再计算内切圆的面积，最后用内切圆面积除以正方形面积，得到米粒落在圆内的概率． 解：∵正方形边长为， ∴正方形面积 ， ∵正方形的内切圆直径等于正方形边长， ∴圆的半径 ， 圆面积 ， ∴概率． 6．（2026·安徽·二模）有4张背面完全相同的不透明卡片，正面图案分别是矩形、平行四边形（不是菱形和正方形）、正三角形、圆，洗均匀后，背面朝上放置，从中任意抽出2张，恰好抽出的两张既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 【答案】 解：由题可得，矩形和圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，记为，；平行四边形（不是菱形和正方形）和正三角形不符合要求，记为，， 从4张中任意抽取2张，所有等可能的结果为： 共12种等可能的结果，其中恰好两张既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种， 则概率为． 三、解答题 7．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． （1）若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． （2）若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图，再结合树状图求概率即可． （1）解：小明点击一次“运行”按钮，有四种等可能结果，其中色块A发亮的情况只有1种，故色块A发亮的概率是． （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能结果，其中两次都是色块A发亮的情况只有1种，故两次都是色块A发亮的概率是． 8．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． （1）解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $