5.1-5.4 等可能条件下的概率（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册《知识解读·题型专练》
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内容正文：
5.1-5.4 等可能条件下的概率（知识解读）
【新教材苏科版】
题型归纳
目录
题型·1.列举随机实验的所有可能结果 2
题型·2.根据概率公式计算概率 3
题型·3·已知概率求数量 3
题型·4·几何概率 4
题型·5·列举法求概率 5
题型·6·列表法或树状图法求概率 6
题型·7·游戏的公平性 7
题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 8
【随堂检测】 11
知识点1：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
2.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
题型·1.列举随机实验的所有可能结果
【典例1】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【变式1-2】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
【变式1-3】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个．
题型·2.根据概率公式计算概率
【典例2】从，0，1，2这四个数中任取一个数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在今年“十一”期间，小雅准备从泰山、西湖、故宫三个著名景点中选择一个景点旅游，去泰山景点旅游的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型·3·已知概率求数量
【典例3】一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【变式3-1】在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（ ）黑球．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式3-2】在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( )
A．14 B．26 C．30 D．36
【变式3-3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型·4·几何概率
【典例4】如图，一个圆形飞镖盘被等分成8个扇形，若每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型·5·列举法求概率
【典例5】小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，“朝上的面相同”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型·6·列表法或树状图法求概率
【典例6】某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型·7·游戏的公平性
【典例7】小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．
(1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果；
(2)求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【变式7-1】现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同）
(1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率．
(2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由．
【变式7-2】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3．
(1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________；
(2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【变式7-3】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案：
A方案：猜“是奇数”或“是偶数”；
B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”．
(1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？
(2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由．
题型·8·概率在转盘抽奖中的应用
【典例8】为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元．
(1)求小军妈妈获得购物券的概率；
(2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
【变式8-1】端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题：
颜色
奖品
红色
笔袋
黄色
中性笔
绿色
橡皮
(1)小明获得中性笔的概率是多少？
(2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？
【变式8-2】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券．
(1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会．
①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？
②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？
(2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？
【变式8-3】某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下：
10元消费券
谢谢参与
10元消费券
20元消费券
洗牌
谢谢参与
10元消费券
谢谢参与
谢谢参与
摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条．
翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品．
(1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________．
(2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数．
(3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由．
随堂检测
【随堂检测】
1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（ ）
A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗
4．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（ ）
A． B． C． D．
7．一个六位数密码，每个数位上的数字都是0到9的整数，如果随机输入一个六位数字组合，那么一次就拨对的概率为______．
8．向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________．
9．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______．
10．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．
(1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率．
11．为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，川师实验学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图）
请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；并补全条形统计图；
(2)在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于 度；
(3)学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
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5.1-5.4 等可能条件下的概率（知识解读）
【新教材苏科版】
题型归纳
目录
题型·1.列举随机实验的所有可能结果 2
题型·2.根据概率公式计算概率 3
题型·3·已知概率求数量 5
题型·4·几何概率 6
题型·5·列举法求概率 8
题型·6·列表法或树状图法求概率 10
题型·7·游戏的公平性 12
题型·8·概率在转盘抽奖中的应用 16
【随堂检测】 20
知识点1：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
2.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
题型·1.列举随机实验的所有可能结果
【典例1】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类．
【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态，
∴每纲有种可能，
∴病症的种类共有：（种），
即共有种病症．
故选：B．
【变式1-1】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可．
【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种；
故选：C．
【变式1-2】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
【答案】D
【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解．
【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果，
故选：D．
【变式1-3】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个．
【答案】
【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数．
【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个．
题型·2.根据概率公式计算概率
【典例2】从，0，1，2这四个数中任取一个数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵从，，，中任取一个数，共有种等可能的结果，
其中是偶数的有，，共种结果，
∴任取一个数是偶数的概率为．
【变式2-1】在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵布袋中球的总个数为，
又∵黑球有个，
∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为．
【变式2-2】在今年“十一”期间，小雅准备从泰山、西湖、故宫三个著名景点中选择一个景点旅游，去泰山景点旅游的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从3个景点中任选1个，共有3种等可能的结果，其中选择泰山的结果有1种，代入概率公式求出答案即可.
【详解】解：根据题意得：
从3个景点中任选1个，共有3种等可能的结果，其中选择泰山的结果有1种，
∴去泰山旅游的概率.
【变式2-3】将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】注意抽取为不放回类型，用列举法找出所有等可能结果，结合概率公式计算．
【详解】解：∵ 不放回抽取两张卡片组成两位数，共有6种等可能的结果，分别为12，13，21，23，31，32，其中恰好为12的结果有1种，
∴恰好为“12”的概率为．
题型·3·已知概率求数量
【典例3】一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】利用稳定频率估计摸到黄球的概率，结合总球数计算黄球个数．
【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为，
∴估计摸到黄球的概率为，
∵盒子中共有个乒乓球，
∴估计盒子中黄球的个数为．
【变式3-1】在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（ ）黑球．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设袋子中有x个黑球，
可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
则袋子中有个黑球．
【变式3-2】在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( )
A．14 B．26 C．30 D．36
【答案】B
【分析】本题利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设袋子中有黄球x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出方程，求解即可．
【详解】解：∵多次摸球试验后，摸出红球的频率稳定在左右，
∴估计摸出红球的概率为．
设袋子中有黄球x个，则
，解得，
因此袋子中黄球的个数最有可能是．
【变式3-3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设涂上红色的小扇形的个数为个，根据概率公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设涂上红色的小扇形的个数为个，
由题意得：，
解得，
所以涂上红色的小扇形的个数为3个，
故选：C．
题型·4·几何概率
【典例4】如图，一个圆形飞镖盘被等分成8个扇形，若每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定阴影部分扇形个数与总扇形个数的比值即可求解．
【详解】解：∵ 圆形飞镖盘被等分成8个扇形，其中阴影部分占3个扇形 ，
∴ 恰好扎中阴影部分的概率是．
【变式4-1】“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设太极图的总面积为．
太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等．
白色部分的面积为．
此点取自白色部分的概率．
【变式4-2】“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可．
【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为，
根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为；
小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为；
因此小球停在阴影部分的概率为．
【变式4-3】如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可．
【详解】解：由图可知，总面积为，
其中光伏吸收区的面积为，
小球最终停留在光伏吸收区的概率是，
故选：C．
题型·5·列举法求概率
【典例5】小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 由3、6、9组成的各位数字不同的三位数有369、396、639、693、936、963，共6种等可能的结果，能打开行李箱的结果只有1种．
∴ 一次就能打开行李箱的概率为．
【变式5-1】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用列举法可得同时抛掷两枚质地均匀的硬币所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ．
故选A．
【变式5-2】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，“朝上的面相同”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出树状图，确定基本事件的所有等可能结果，再确定“朝上的面相同”的结果数，根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
如图，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共有正正、正反、反正、反反，共种等可能的结果，其中“朝上的面相同”的结果有正正、反反，共种，所求概率为．
【变式5-3】“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：甲、乙各有3种手势，所有等可能的结果共有种．
乙获胜的情况有3种：甲出石头乙出布，甲出剪刀乙出石头，甲出布乙出剪刀．
乙获胜的概率为．
题型·6·列表法或树状图法求概率
【典例6】某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：画树状图如下：
∴经过两个十字路口共有9种等可能的结果，
∵两次都遇到绿灯的结果仅有1种，
∴所求概率为
【变式6-3】甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种，
则个小球上恰好有个元音字母的概率是．
【变式6-2】色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】正确地画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】
由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，
∴将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为．
【变式6-3】如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，
甲、乙两人座位相邻的概率为．
题型·7·游戏的公平性
【典例7】小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．
(1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果；
(2)求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【答案】(1)根据题意，列表如下：
红
蓝
黄
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，黄）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，黄）
黄
（黄，红）
（黄，蓝）
（黄，黄）
(2)解：游戏不公平．理由如下：
共有种等可能的结果，其中小明胜有种结果，小亮胜有种结果，
（小明胜），（小亮胜），
，
游戏不公平．
【分析】（1）利用列表的方法，解答即可；
（2）根据列表，计算各自获胜的概率，比较判断公平与否即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式7-1】现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同）
(1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率．
(2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)解：公平，理由如下：
共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况，
（小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）；
答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的．
【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案；
（2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答．
【详解】（1）解：（抽到数字2）．
（2）略
【变式7-2】小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3．
(1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________；
(2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏规则公平
理由如下：画树状图如下
共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个，
（小明胜），P（小亮胜），
∴小明胜的概率=小亮胜的概率，
∴这个游戏规则公平．
【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可；
（2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个，
∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为．
（2）略
【变式7-3】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案：
A方案：猜“是奇数”或“是偶数”；
B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”．
(1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？
(2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由．
【答案】(1)解：公平，理由如下：
∵小华猜数时，共有6种等可能的结果，其中，是奇数的结果有3种，是偶数的结果也有3种，
∴A方案猜“是奇数”的概率为，猜“是偶数”的概率为，
∴A方案，小华无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，小晴获胜的概率也均为，双方获胜概率相等，
∴这个方案对双方公平．
(2)解：建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”，理由如下：
同理可得：A方案：小晴无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，
B方案：小晴猜数时，共有6种等可能的结果，其中，猜“是大于3的数”的结果有3种，猜“是小于3的数”的结果有2种，
∴B方案，小晴选择猜“是大于3的数”的概率为，选择猜“是小于3的数”的概率为，
∵，
∴为了让小晴更容易获胜，建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”．
【分析】（1）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式，小华获胜的概率，由此即可得；
（2）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式、B方案中的两种方式，小晴获胜的概率，由此即可得．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
题型·8·概率在转盘抽奖中的应用
【典例8】为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元．
(1)求小军妈妈获得购物券的概率；
(2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
【答案】(1)
(2)∵指针指向红色区域的结果有种，
∴P（获得元购物券）；
∵指针指向黄色区域的结果有种，
∴P（获得元购物券）；
∵指针指向蓝色区域的结果有4种，
∴P（获得元购物券）；
∵，
∴小军妈妈获得元购物券的概率最大
【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率；
（2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大．
【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同，
指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种，
∴（获购物券）．
（2）略
【变式8-1】端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题：
颜色
奖品
红色
笔袋
黄色
中性笔
绿色
橡皮
(1)小明获得中性笔的概率是多少？
(2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？
【答案】(1)
(2)3个
【分析】（1）利用简单概率公式求解；
（2）根据概率求出符合要求的个数．
【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是；
（2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个），
所以（个），
所以需要再将3个空白扇形涂上颜色．
【变式8-2】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券．
(1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会．
①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？
②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？
(2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？
【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是
(2)还需要将2个无色扇形涂成绿色
【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；
（2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个，
指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券，
小刚妈妈获得150元购物券的概率是，
小刚妈妈获得75元购物券的概率是，
小刚妈妈获得30元购物券的概率是；
②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形，
小刚妈妈获得购物券的概率是；
（2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色，
则，
解得：，
若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色．
【变式8-3】某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下：
10元消费券
谢谢参与
10元消费券
20元消费券
洗牌
谢谢参与
10元消费券
谢谢参与
谢谢参与
摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条．
翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品．
(1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________．
(2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数．
(3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高．
【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式；
（2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可；
（3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。
【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为．
（2）设拿走的红球个数为，
原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为，
∵获得元消费券（黄球）的概率为，
∴，
解得，
经检验：当时，，
∴是原方程的解，
答：拿走红球10个．
（3）摸球：总个球，元个，元个，元个，
∴平均收益： ，
翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个，
∴平均收益： ，
∵ ，
∴摸球的平均收益更高，
答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高．
随堂检测
【随堂检测】
1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为．
随机摸出一个球是红球的概率为．
2．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知符合题意的涂法有2种，
则概率为．
3．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（ ）
A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗
【答案】B
【详解】解：∵多次摸取试验后摸到红色幸运星的频率稳定在，
∴可估计摸到红色幸运星的概率为，
∴盒子中红色幸运星的数量约为（颗）．
4．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解．
【详解】解：列表可得：
小新
小颖
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中出现的次数最多，为次，即选择获胜的概率最大，
故如果你是游戏者，你获胜选择的数是．
5．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位，
已经售出，剩余座位为，
所有情况列表如下，
C
共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种，
所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是．
6．如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积．
【详解】解：如图，
过点B作于点E，
∴，
∵菱形边长为，且有一个内角为，
∴，，
∴，
∴菱形的面积，
由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右，
∴阴影部分面积约为．
7．一个六位数密码，每个数位上的数字都是0到9的整数，如果随机输入一个六位数字组合，那么一次就拨对的概率为______．
【答案】
【分析】先计算所有等可能的密码总结果数，注意密码首位可取0，无普通六位数的首位非零限制，再结合拨对的唯一结果，用概率公式计算．
【详解】解：每个数位上的数字可从0到9的整数中任选，每个数位有10种选择，
六个数位组成的密码总共有种等可能的结果，
∵能一次拨对的密码只有1种，
∴一次拨对的概率为．
8．向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________．
【答案】
【分析】我们设每个小正方形的边长为1，可得整个大正方形区域总面积为9，通过切割平移得空白部分的总面积为5，根据几何概型概率公式，用空白部分面积除以总面积即可得到石子落在空白部分的概率．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，那么整个大正方形的总面积为 ．
如图，通过切割平移，阴影部分面积占4块．
空白部分面积 = 大正方形总面积 - 阴影面积 = ．
根据几何概型的概率公式，石子落在空白部分的概率为空白面积除以总面积，即 ．
9．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______．
【答案】
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点处都是等可能情况，从而得到在四个出口也都是等可能情况，然后直接利用概率公式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有四个，小球最终从点落出的情况只有种情况，
所以小球最终从口落出的概率为．
10．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．
(1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率；
（2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率．
【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张，
抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是；
（2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”，
二
一
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种，
两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为．
11．为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，川师实验学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图）
请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；并补全条形统计图；
(2)在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于 度；
(3)学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【答案】(1)，补全条形统计图如下：
(2)108
(3)
【分析】（1）用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，然后再求出C组的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）乘以C组所占的比例即可；
（3）先列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可.
【详解】（1）解：本次调查的总人数为：（人），
则C组的学生数为：（人）．
（2）解：扇形“C”所对应的圆心角等于．
（3）解：画出树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中符合要求的有4种，
故.
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