专题3.7 扇形（专题训练）2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（苏科版）

专题3.7 扇形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1求弧长】 1 【题型·2·求扇形半径和圆心角】 2 【题型·3·求某点的弧形运动路径长度】 3 【题型·4·求扇形面积】 4 【题型·5·求图形旋转后扫过的面积】 6 【题型·6·求弓形面积】 7 【题型·7·求其他不规则图形的面积】 8 【题型·8·求圆锥侧面积】 10 【题型·9·求圆锥底面半径】 10 【题型·10·求圆锥的高】 12 【题型·11·求圆锥侧面展开图的圆心角】 12 【题型·12·圆锥侧面上最短路径问题 13 【题型1求弧长】 1．如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【题型·2·求扇形半径和圆心角】 5．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 7．半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 8．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 9．如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 【题型·3·求某点的弧形运动路径长度】 10．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 11．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在一个长方形的长为3，宽为2，内有一个边长为1的等边三角形．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为（     ） A． B． C． D． 13．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 14．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型·4·求扇形面积】 15．如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 16．如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 17．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 18．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（    ） A． B． C． D． 19．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【题型·5·求图形旋转后扫过的面积】 20．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 21．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则边在旋转过程中扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 22．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 23．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型·6·求弓形面积】 24．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 25．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 28．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【题型·7·求其他不规则图形的面积】 29．如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 30．如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B．π C． D． 32．如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧交边于点，以为圆心，为半径画弧交边于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D．4 34．如图，的半径为1，A，B，C是上三点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【题型·8·求圆锥侧面积】 35．已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 36．如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 37．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【题型·9·求圆锥底面半径】 38．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 39．用一张半径为，圆心角为的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥的底面圆半径是（     ） A． B． C． D． 40．如图，用一张半径为，圆心角为的扇形纸片，围成一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，该生日帽的底面半径是（　　） A． B． C． D． 41．若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 42．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型·10·求圆锥的高】 43．用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 44．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 45．如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 46．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 【题型·11·求圆锥侧面展开图的圆心角】 47．若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 48．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 49．一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 50．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 51．沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线l长为，底面圆的半径，则展开的扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型·12·圆锥侧面上最短路径问题 52．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 53．如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．若是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 54．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 扇形（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1求弧长】 1 【题型·2·求扇形半径和圆心角】 4 【题型·3·求某点的弧形运动路径长度】 6 【题型·4·求扇形面积】 10 【题型·5·求图形旋转后扫过的面积】 13 【题型·6·求弓形面积】 16 【题型·7·求其他不规则图形的面积】 21 【题型·8·求圆锥侧面积】 27 【题型·9·求圆锥底面半径】 28 【题型·10·求圆锥的高】 30 【题型·11·求圆锥侧面展开图的圆心角】 33 【题型·12·圆锥侧面上最短路径问题 35 【题型1求弧长】 1．如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，已知，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意判定为等边三角形，求出圆心角的度数，进而求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， 是半圆的直径，为半圆弧上一点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长为． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形的性质可得，再证明为等边三角形，可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接， 在中，∵，，， ∴， 由作法得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为． 3．如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 4．如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，可求出圆心角的度数．将圆的半径和圆心角度数，代入弧长公式，即可计算劣弧的长度． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵圆半径， ∴ ． 【题型·2·求扇形半径和圆心角】 5．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 6．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解． 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 7．半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的圆心角，掌握弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式，代入已知的弧长与半径，即可求解． 【详解】解：扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为半径） 当，时，则， 解得，即该扇形的圆心角为． 故选：D． 8．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 9．如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 【答案】C 【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案 【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的， ∴ ∴ ∴这条弧长所对的圆心角为 故选：C 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【题型·3·求某点的弧形运动路径长度】 10．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 11．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 12．如图，在一个长方形的长为3，宽为2，内有一个边长为1的等边三角形．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点的运动轨迹由两段弧组成，分别是第一次绕点旋转和第三次绕点旋转产生的，第二次绕点旋转时点为旋转中心路程为0，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，第1次翻转得，第2次翻转得，第3次翻转得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴翻转三次后顶点C经过的路程为． 13．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 路程， 故选：C． 14．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长， ， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 【题型·4·求扇形面积】 15．如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆周角定理求出，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇形的面积为． 16．如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴图中扇形的面积为． 17．如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 18．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积计算，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约． 故选：A． 19．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，，由垂径定理和圆周角定理可得，，则和都是等边三角形．通过直角三角形的性质和勾股定理，计算出的长，使用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 同理，， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 【题型·5·求图形旋转后扫过的面积】 20．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【答案】D 【分析】整体图形由和一个扇形组成，白色部分由与扇形组成，总体面积减去白色部分面积，就是阴影部分面积． 【详解】解： 中，，， ， ，， ， ， ． 21．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则边在旋转过程中扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，进而得出，根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∴边在旋转过程中扫过的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2， ∴， ∴， 线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决本题的关键． 23．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′， ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点， 根据垂径定理，得： AM＝AB＝4，PO⊥AB， OM＝＝3， ∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2， ∴AP＝＝2， ∵将绕点A逆时针旋转90°后得到， 根据旋转的性质可知，，即：， ∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇， 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 【题型·6·求弓形面积】 24．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 25．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 26．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和三角形面积公式． 27．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 28．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据体积不变，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：连接OA，OB，如图， 根据题意得：OA=6cm，弦心距OC=3cm， ∴cos∠AOC=， ∴∠AOC=60°，则∠AOB=120°， ∴AC=3(cm)，AB=2AC=6(cm)， ∴S阴影= S扇形OAB- S△OAB=． 设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h， 依题意得：， ∴(cm) 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，圆柱的体积计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 【题型·7·求其他不规则图形的面积】 29．如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，先得出所在的圆为以点为圆心、长为半径的，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 30．如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点D作于点E，则．证明是等边三角形，得出，，，求出，再结合扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， 则． 四边形为半圆O的内接四边形，， ． 又， ∴是等边三角形， ，， ，， ∵， ∴， ． 31．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】A 【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点，证明是等边三角形，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点， ， ． ∵由图可知，是弧的三等分点， ， 是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ． 33．如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧交边于点，以为圆心，为半径画弧交边于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ． 34．如图，的半径为1，A，B，C是上三点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，，得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 【题型·8·求圆锥侧面积】 35．已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 36．如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斗笠的底面半径、高及斗笠的母线组成直角三角形，利用勾股定理求得其母线长，然后利用扇形面积公式计算得出斗笠的侧面积． 【详解】解：∵这种帽子的底面半径为，高为， ∴母线长为 ， ∴该斗笠帽的侧面积为． 37．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长 ， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 【题型·9·求圆锥底面半径】 38．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 39．用一张半径为，圆心角为的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥的底面圆半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式计算底面圆半径即可． 【详解】解：∵扇形半径为，圆心角为， ∴扇形弧长． ∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为， ∴，解得． 40．如图，用一张半径为，圆心角为的扇形纸片，围成一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，该生日帽的底面半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥底面圆的半径，弧长公式，掌握弧长公式，以及圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键．设底面半径是，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列式进行求解即可． 【详解】解：设底面半径是， 根据题意得：， 解得． 故选：C． 41．若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式及圆的周长公式．熟练掌握圆锥侧面积及圆的周长公式是解题的关键．根据圆锥侧面积公式 ，代入已知侧面积和母线长求解底面半径即可． 【详解】∵圆锥侧面积公式为 ， ，， ∴ ． 两边除以 ， 得 ， ∴ ． 故圆锥底面圆的半径为 ． 故选：A． 42．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为， 根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为； 故选A． 【题型·10·求圆锥的高】 43．用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，根据扇形弧长公式， ， 设圆锥底面半径为， 扇形弧长等于圆锥底面周长， ， 解得， 圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为， 由勾股定理得圆锥的高：. 44．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 45．如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了圆锥的计算的知识，应用的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；设圆锥的底面圆半径为先根据勾股定理求出扇形的半径，再根据圆锥的弧长等于底面周长列方程求出，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】：设圆锥的底面圆半径为 过圆心O作于点D，连接，如图． ∵， ∴． ∴，， ∴ ∴ ∴圆锥的底面圆的半径． ∴圆锥的高为， 故选：A． 46．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】40%圆周一个扇形就是告诉扇形的圆心角是144°，这样就知道了圆锥的底面周长，也就已知了底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高，底面半径正好构成直角三角形，利用勾股定理就可求得． 【详解】∵扇形的圆心角是360°×40%=144°，∴弧长l= 设底面半径是r，则有＝2πr，则r=2， 圆锥的高h=． 故选C． 【点睛】此题是以圆和圆锥之间的相互联系为背景，设置了一个应用性数学问题，主要考查了圆的周长、弧长、勾股定理等基础知识和学生的空间观念，要求考生具有较强的画图分析能力和图形转换能力． 【题型·11·求圆锥侧面展开图的圆心角】 47．若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，根据该关系列方程求解即可 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∵圆锥底面圆半径，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长 ，侧面展开图的弧长为. ∴，解得. ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数为 48．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 49．一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的底面周长、侧面展开图的扇形弧长，设圆锥底面半径为，则母线长为，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合弧长公式求解圆心角. 【详解】解：设圆锥底面半径为，则母线长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长. ∴， 将代入得：， 故选：B. 50．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的圆心角，先求出圆锥的底面圆周长，再根据侧面展开图的弧长等于底面圆周长列出方程即可求解，掌握侧面展开图的弧长等于底面圆周长是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是，, ∴圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角的大小为，则， ∴， 故选：． 51．沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线l长为，底面圆的半径，则展开的扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，熟记弧长公式是解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∵ ， ∴， 解得： 故选：A 【题型·12·圆锥侧面上最短路径问题 52．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 53．如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．若是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据底面周长等于侧面扇形的弧长得出侧面扇形的圆心角，再求的长，最后根据勾股定理求以及的长即可． 【详解】解：如图，将圆锥侧面展开，得到扇形，连接，过作于点． 设圆锥侧面展开图的圆心角为． 圆锥底面圆周长为，， ． ， ． ， ， ， 即这根绳子的最短长度是． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，根据底面周长等于侧面扇形的弧长得出侧面扇形的圆心角是解题关键． 54．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $