5.2 概率计算中的列举方法与易错问题 2026—2027学年苏科版九年级数学上册

概率计算中的列举方法与易错问题 2026—2027学年苏科版九年级数学上册专题复习 教师解析版 学习导航 题型一、从等可能结果开始列举 1 题型二、两步独立选择与列表法 3 题型三、不放回抽取与同时取出 4 题型四、三步试验与树状图 6 题型五、事件用语与条件变化 8 题型六、用数与形的条件筛选结果 10 A、基础通关 11 B、难点突破 12 C、方法进阶 14 D、中考真题精选 15 题型一、从等可能结果开始列举 【知识要点】列举的对象应是能够区分的基本结果，而不是随意合并后的类别。若每个基本结果等可能，事件A的概率为其中n为全部结果数，m为符合条件的结果数。 【方法说明】同字、同色、同数的物品仍可能是不同的实物，需加下标或编号。先按实物计数，再按题目要求分类，不能先合并再平均分配。 【易错提醒】检查顺序：对象是否能区分；每个对象是否等可能；所求条件是否明确；分子与分母是否使用同一标准。 题型一、从等可能结果开始列举 · 例题与递进 例1 五张大小、形状、质地相同的卡片分别写有“苏、州、苏、园、林”，洗匀后任意抽取一张。小明认为只有四种汉字，所以抽到“苏”的概率为判断这一说法是否正确，并求抽到“苏”及不抽到“苏”的概率。 【解析】将两张“苏”记为苏₁、苏₂，五个等可能结果为苏₁、州、苏₂、园、林。四种汉字并不等可能，小明的说法不正确。抽到“苏”有2个结果，不抽到“苏”有3个结果，两种概率之和为1，可用来检查结果。 实物编号 苏₁ 州 苏₂ 园 林 抽到“苏” 是 否 是 否 否 变式1.1 一个圆形转盘被平均分成8个扇形，其中3个写“A”、2个写“B”、3个写“C”。指针转动后落在各扇形的可能性相同，落在分界线上时重转。求指向字母B以及不指向字母A的概率。 【解析】应以8个等大的扇形为基本结果，不以3个字母为基本结果。指向B有2个，不指向A有5个， 区域类别 A B C 等可能扇形数 3 2 3 不指向A的扇形数 0 2 3 变式1.2 六张除数字外相同的卡片分别写有−2、−1、0、1、2、2，洗匀后抽取一张，数字记为a。求：（1）a²=4的概率；（2）a²=a的概率。 【解析】给两个2分别编号。（1）−2与两张2均满足，共3张，（2）a²=a等价于a(a−1)=0，a=0或1；各有1张，共2张，不能把重复的2只算一次。 卡片 −2 −1 0 1 2₁ 2₂ a² 4 1 0 1 4 4 a²=a 否 否 是 是 否 否 题型一、从等可能结果开始列举 · 易错突破 变式1.3 甲盒有标号1、2的两张除数字外相同的卡片，乙盒有标号3、4、5的三张除数字外相同的卡片。先等可能地选择一个盒子，再从所选盒内随机抽取一张卡片。小红把1、2、3、4、5作为五个等可能结果，得到抽到偶数的概率为她的列举是否合理？请把整个试验细分成等可能结果，求正确概率。 【解析】不合理。抽到甲盒每张卡片的机会与乙盒每张不同。可将选甲后抽1、抽2分别细分为3个等可能小格，选乙后抽3、抽4、抽5分别细分为2个小格，一共12格。偶数2对应3格，偶数4对应2格，因此另一种验证：甲盒抽到偶数贡献乙盒贡献和为 抽中号码 1 2 3 4 5 对应等可能小格数 3 3 2 2 2 巩固1 一个袋中有10个大小、形状相同的球，分别写有1至10。随机摸出一个球，求其号码“是偶数或是3的倍数”的概率。小刚把5个偶数与3个3的倍数直接相加，错误在哪里？ 【解析】偶数为2、4、6、8、10，3的倍数为3、6、9；号码6被重复计算。符合条件的号码为2、3、4、6、8、9、10，共7个， 题型二、两步独立选择与列表法 【知识要点】两步试验的结果应写成有序数对。行代表第一步，列代表第二步，每一个格子表示一个完整结果；两步选项数可以不同。 【方法说明】两人独立选择同一个选项时，第二人仍可选择该选项，不能删除表格的对角线。只有“不放回且不能再次取同一实物”才删除对应位置。 【易错提醒】先填全表格，再逐格检查目标条件。相同、不同、和、积、大小关系对应的格子往往不同，不能沿用上题的标记。 例2 甲从A、B两个展馆中随机选择一个，乙从A、B、C三个展馆中随机选择一个。各自选择等可能且互不影响。（1）列表写出所有可能结果；（2）求两人选择不同展馆的概率；（3）求恰好一人选择A的概率。 【解析】六个等可能结果为(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)。（2）不同展馆为(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)，（3）恰好一人选A为(A,B)、(A,C)、(B,A)，“恰好一人”不包括(A,A)。 第一步＼第二步 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) 请在表中圈出各小问对应的结果，并检查是否重复计数。 题型二、两步独立选择与列表法 · 递进训练 变式2.1 甲、乙两袋分别装有数字为0、1、2与数字为1、3的除数字外相同的卡片。从每袋各随机抽出一张，两次抽取互不影响，数字分别记为a、b。求a+b为偶数的概率。 【解析】六个有序结果对应的和为1、3；2、4；3、5。只有(1,1)、(1,3)满足和为偶数，共2个，两个袋选项数量不同，应画3行2列的表。 变式2.2 分别转动两个均分为3个扇形的转盘，甲盘标数1、1、2，乙盘标数1、2、2。各扇形等可能且两次转动互不影响，落在分界线上时重转。求两盘所指数字相等的概率。 【解析】甲盘两个1编号为1₁、1₂，乙盘两个2编号为2₁、2₂。3×3=9个等可能格子。数字均为1有2格，均为2有2格，共4格，只列(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)四类会丢失权重。 第一步＼第二步 1 2₁ 2₂ 1₁ 相同 不同 不同 1₂ 相同 不同 不同 2 不同 相同 相同 题型二、两步独立选择与列表法 · 易错突破 变式2.3 甲、乙各随机从−1、0、2三个数中取一个数，分别记为a、b，选择等可能且互不影响。（1）求ab=0的概率；（2）求a+b>ab的概率。 【解析】九个有序结果等可能。（1）a=0或b=0：整行与整列共5格，(0,0)只算一次，（2）逐格检查，符合的为(−1,2)、(0,2)、(2,−1)、(2,0)，共4格。注意(2,2)时和与积都为4，不满足严格大于。 第一步＼第二步 −1 0 2 −1 不满足 不满足 满足 0 不满足 不满足 满足 2 满足 满足 不满足 巩固2 数字0、2、5分别写在三张除数字外相同的卡片上。随机抽取一张并放回，洗匀后再抽一张。第一次的数字作十位，第二次作个位。求得到一个两位偶数的概率。 【解析】全部试验结果仍是9种，不能因十位为0就把它们从分母删除。符合条件的两位偶数为20、22、50、52，共4个， 题型三、不放回抽取与同时取出 【知识要点】不放回时，第二步可选对象少一个。n个可区分的实物依次抽两个，有n(n−1)个等可能有序结果；同一实物与自身的配对不能出现。 【方法说明】同时取出两个实物，可以列不计顺序的配对，也可以人为分先后列举。后一种方法把每一对都重复计算两次，分子、分母同步加倍，概率不变。 【易错提醒】同一个数字或颜色可以出现两次，关键在于是否存在两件这样的实物。“不放回”不等于“不能同色”或“不能同数”。 例3 四张除数字外相同的卡片分别写有1、1、2、3。洗匀后依次随机抽取两张，不放回，所得数字为a、b。列表求：（1）a=b的概率；（2）a+b=4的概率。 【解析】两个1记为1₁、1₂，全部有序结果4×3=12种。（1）相同数字为(1₁,1₂)、(1₂,1₁)，（2）和为4的结果为(1₁,3)、(3,1₁)、(1₂,3)、(3,1₂)，只有一张2，所以(2,2)不能出现。 第一步＼ 第二步 1₁ 1₂ 2 3 1₁ — (1₁,1₂) (1₁,2) (1₁,3) 1₂ (1₂,1₁) — (1₂,2) (1₂,3) 2 (2,1₁) (2,1₂) — (2,3) 3 (3,1₁) (3,1₂) (3,2) — “—”表示同一张卡片不能再次抽出。 题型三、不放回抽取与同时取出 · 递进训练 变式3.1 从2、3、5、7四张除数字外相同的数字卡片中同时随机抽取两张，每一对被抽到的可能性相同。求两数之和为质数的概率。 【解析】无序配对为{2,3}、{2,5}、{2,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，和依次为5、7、9、8、10、12。只有前两对满足，也可按先后列12种、有利4种。 无序配对 2与3 2与5 2与7 3与5 3与7 5与7 两数之和 5 7 9 8 10 12 是质数 是 是 否 否 否 否 变式3.2 五名学生甲、乙、丙、丁、戊中随机选出两名，每一对被选中的可能性相同。求：（1）甲、乙中恰好一人被选中的概率；（2）甲、乙都没有被选中的概率。 【解析】10个无序配对等可能。（1）甲与丙、丁、戊的3对，加乙与丙、丁、戊的3对，共6对，（2）只从丙、丁、戊中取2人，有丙丁、丙戊、丁戊3对，甲乙同时被选中另有1对，三类合计10对。 事件 无序配对数 占全部10对 恰好甲乙之一 6 甲乙都未选中 3 甲乙都选中 1 题型三、不放回抽取与同时取出 · 易错突破 变式3.3 袋中有2个白球、2个黑球和1个灰球，球除颜色外均相同。一次随机取出两个，每一对等可能。求：（1）两球异色的概率；（2）两球中有白球但没有灰球的概率。 【解析】给同色球编号，10个无序配对等可能。（1）同色只有白₁白₂、黑₁黑₂两对，异色8对，（2）两白1对、白黑4对，共5对，条件“有白球但没有灰球”允许两个白球，不能只算白黑。 两球颜色 白白 黑黑 白黑 白灰 黑灰 无序配对数 1 1 4 2 2 异色 否 否 是 是 是 巩固3 三张除数字外相同的卡片标有0、1、2，依次随机抽取两张且不放回，第一次的数作十位，第二次作个位。（1）求得到两位数的概率；（2）求得到两位奇数的概率。 【解析】六个等可能结果为01、02、10、12、20、21。（1）四个两位数10、12、20、21，（2）只有21符合，两位奇数的概率为01不是两位数。 第1次＼第2次 0 1 2 0 — 01 02 1 10 — 12 2 20 21 — 题型四、三步试验与树状图 【知识要点】按步骤画树，每一层表示一次选择。必须数从起点到末端的完整路径，不能把第一层、第二层与第三层的节点相加。 【方法说明】每一步在已有结果下可选数固定且各选项等可能时，完整路径等可能。若某一步会提前结束，长短不同的末端路径通常不等可能；可补齐为固定步数再计数。 【易错提醒】对于三步结果，先固定第一个位置，再固定第二个位置，最后列第三个位置。按这个顺序书写能减少遗漏。 例4 甲、乙、丙三人各自从A、B两个劳动项目中随机选择一个，选择等可能且互不影响。画树状图，求：（1）三人选择相同项目的概率；（2）恰好两人选择A的概率；（3）至少一人选择B的概率。 【解析】八条等可能路径为AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB。（1）AAA、BBB共2条，（2）AAB、ABA、BAA共3条，（3）除AAA外其余7条均满足， 题型四、三步试验与树状图 · 递进训练 变式4.1 将一枚均匀硬币连续抛掷三次。求三次中相邻两次的朝上面始终不同的概率，并写出符合条件的完整结果。 【解析】八个结果等可能。相邻均不同只可能为正反正、反正反，仅要求第一、二次不同会误计正反反、反正正。 第1次 第2次 第3次 是否符合 正 正 正或反 均不符合 正 反 正 符合 正 反 反 不符合 反 正 正 不符合 反 正 反 符合 反 反 正或反 均不符合 变式4.2 甲从A、B两个场地中随机选择一个，乙从A、B、C三个场地中随机选择一个，丙也从A、B两个场地中随机选择一个，各选择等可能且互不影响。求三人恰好使用两个场地的概率。 【解析】共有2×3×2=12条等可能路径。同场为AAA、BBB共2条；三个场地均使用为ACB、BCA共2条；其余8条恰好使用两个场地，分类依据是“使用场地数”，不是“选A人数”。 甲的选择 全部可能路径 A AAA，AAB，ABA，ABB，ACA，ACB B BAA，BAB，BBA，BBB，BCA，BCB 题型四、三步试验与树状图 · 易错突破 变式4.3 连续抛掷一枚均匀硬币，第一次出现正面时停止；若前两次都为反面，则抛第三次后无论结果如何均停止。小明列出“正、反正、反反正、反反反”，认为停止前恰好抛两次的概率是结论和理由是否都正确？请说明。 【解析】结论正确，理由不正确：四条长短不同的路径并不等可能。补齐为三次抛掷后，共8个等可能结果；停止前恰抛两次对应反正正、反正反，共2个，概率为第一条“正”对应4个结果，第二条“反正”对应2个，最后两条各对应1个，不能直接平均。 变式4.3结果核对表 实际停止路径 补齐三次后的结果 个数 正 正正正、正正反、正反正、正反反 4 反正 反正正、反正反 2 反反正 反反正 1 反反反 反反反 1 巩固4 从标有1、2、3的三张除数字外相同的卡片中依次随机抽出全部三张，不放回，按抽取顺序组成三位数。求所组成三位数大于200且为奇数的概率。 【解析】六个排列为123、132、213、231、312、321。大于200且为奇数的是213、231、321，共3个，树状图每层可选数依次为3、2、1。 百位 全部排列 大于200且为奇数 1 123，132 无 2 213，231 213，231 3 312，321 321 题型五、事件用语与条件变化 【知识要点】“至少一个”包括一个、两个及更多；“恰好一个”只包括一个；“至多一个”包括零个和一个。把文字先转为明确的可计数条件。 【方法说明】事件含“或”时，交集只能计算一次；含“且”时，每一个条件都须满足。可用补集减少计数，但要准确写出相反事件。 【易错提醒】若题目增加“已知某条件成立”，应只在符合该条件的结果中重新计数。条件“第一位是A”与“至少一位是A”保留的结果不同。 例5 甲、乙各自从A、B、C、D四个选项中随机选一个，选择等可能且互不影响。分别求：（1）至少一人选A；（2）恰好一人选A；（3）至多一人选A的概率。 【解析】共有16个等可能结果。（1）甲选A的4格与乙选A的4格中，(A,A)重复，应计7格，（2）剔除(A,A)，余6格，（3）只有(A,A)不满足，15格满足，三个事件不能相互替代。 第一步＼ 第二步 A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 请在表中圈出各小问对应的结果，并检查是否重复计数。 题型五、事件用语与条件变化 · 递进训练 变式5.1 两枚质地均匀的正方体骰子各掷一次，分别记录点数a、b。求“a≤2或b≤2”的概率。 【解析】36个等可能结果。两个点数都大于2有4×4=16个；其余20个满足，若用相加法：12+12−4=20，减去的是a、b都不超过2的四格。 分类 b≤2 b>2 a≤2 4种，符合 8种，符合 a>2 8种，符合 16种，不符合 变式5.2 甲、乙各自随机从A、B、C中选一个，选择等可能且互不影响。（1）已知甲选择了A，求两人选择相同的概率；（2）已知至少一人选择了A，求两人选择相同的概率。 【解析】（1）只剩(A,A)、(A,B)、(A,C)三种等可能结果，其中1种相同，（2）剩(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(C,A)五种等可能结果，其中仍仅(A,A)相同，不同的信息不能使用相同分母。 补充信息 保留的结果数 其中相同结果数 甲选A 3 1 至少一人选A 5 1 题型五、事件用语与条件变化 · 易错突破 变式5.3 从写有−2、−1、1、2的四张除数字外相同的卡片中不放回依次抽出两张，数分别为a、b。已知ab<0，求a+b>0的概率。 【解析】原有12个等可能结果，已知乘积为负后留下8个异号结果。和为正要求正数的绝对值较大，只有(−1,2)、(2,−1)，共2个，和为0的4个结果不能计入。 异号数对的和 负 零 正 等可能结果数 2 4 2 巩固5 三人各自等可能且独立地选择A、B两个项目。已知不是三人都选A，求三人恰好两人选A的概率。 【解析】原有8条等可能路径，去掉AAA后保留7条。恰好两人选A为AAB、ABA、BAA，仍有3条， 选A人数 0人 1人 2人 3人 原结果数 1 3 3 1 给定条件下保留 1 3 3 0 题型六、用数与形的条件筛选结果 【知识要点】列表完成后，概率问题常转化为一个熟悉的数学判断：点在哪个象限、方程根是否符合要求、三条线段能否组成三角形等。 【方法说明】先写出筛选条件，再逐格判断。象限不含坐标轴；严格不等号不含等号；三角形要满足最短两边之和大于最长边。 【易错提醒】列举负责保证“不重不漏”，数学条件负责保证“筛选正确”。不能只凭数值正负、图形看起来相似或经验猜测。 例6 从标有−2、0、1的三张除数字外相同的卡片中随机抽取一张，记录后放回并洗匀，再随机抽取一张，所得数字分别作为点P的横、纵坐标。求：（1）P在坐标轴上的概率；（2）P在第二象限的概率；（3）P在直线y=x上的概率。 【解析】9个有序结果等可能。（1）横或纵坐标为0，共5个结果，（2）横负纵正，只能为(−2,1)，（3）(−2,−2)、(0,0)、(1,1)共3个，第二象限不含坐标轴，直线y=x却包含原点。 例6：九种等可能坐标 题型六、用数与形的条件筛选结果 · 递进训练 变式6.1 甲、乙两个袋中各有标号1、2、3的三张除数字外相同的卡片。从两袋各随机取一张，数字分别为a、b。求关于x的方程ax+b=0的解为整数的概率。 【解析】a不为0，解为x=9个结果中，a=1时b=1、2、3均可；a=2时仅b=2；a=3时仅b=3，共5种， a＼b 1 2 3 1 −1 −2 −3 2 −1 3 −1 变式6.2 有长度分别为2、3、4、6的四根细棒，从中随机选三根，每组三根被选中的可能性相同。求所选三根能围成三角形的概率。 【解析】四组为(2,3,4)、(2,3,6)、(2,4,6)、(3,4,6)。第一组与第四组满足最短两边之和大于最长边；第二组2+3<6；第三组2+4=6只能排成直线。 三根细棒 能否构成三角形 判定 2，3，4 能 2+3>4 2，3，6 不能 2+3<6 2，4，6 不能 2+4=6 3，4，6 能 3+4>6 题型六、用数与形的条件筛选结果 · 易错突破 变式6.3 从标有−2、−1、1、2的四张除数字外相同的卡片中不放回依次抽取两张，数字为a、b。求函数y=ax+b的图象同时经过第一、第二、第三象限的概率。 【解析】图象经过第一、二、三象限要求a>0且b>0。12个等可能有序结果中，仅(1,2)、(2,1)满足， a的符号 b的符号 经过的象限 正 正 第一、第二、第三 正 负 第一、第三、第四 负 正 第一、第二、第四 负 负 第二、第三、第四 巩固6 正方形四个顶点依次为A、B、C、D，从中随机选两个顶点，每一对等可能。求所连线段长度大于正方形边长的概率。 【解析】六条线段AB、AC、AD、BC、BD、CD等可能，只有两条对角线AC、BD长于边长， A、基础通关（1） A1 一袋中5个球分别写有1、2、2、3、4，球除号码外相同。随机取一个，求号码大于2的概率。 【解析】符合条件的是号码3、4两球，共2个；全部5个球等可能， A2 甲盘均分成2格，标1、2；乙盘均分成3格，标1、2、3。独立转动两盘，各格等可能，求两数字之积为偶数的概率。 【解析】六个结果中(1,1)、(1,3)的积为奇数，其余4个为偶数， A3 四张除数字外相同的卡片写有1、2、3、4，随机抽出一张放回，洗匀后再抽一张。求两数差的绝对值为2的概率。 【解析】16个等可能结果中，(1,3)、(3,1)、(2,4)、(4,2)满足， a＼b 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0 A、基础通关（2） A4 从红、黄、蓝、绿四张除颜色外相同的色卡中随机不放回抽两张，求抽到红卡且没有抽到蓝卡的概率。 【解析】无序配对6种，红黄、红绿2种符合，红蓝不符合“没有蓝卡”。 A5 连续抛掷一枚均匀硬币三次，求第一次与第三次的朝上面相同的概率。 【解析】8个等可能结果中正正正、正反正、反正反、反反反满足，共4个，第二次不限。 A6 从数−3、0、2中等可能且有放回地随机抽取两次，组成点(a,b)。求该点在第四象限的概率。 【解析】9个结果中仅(2,−3)满足横正纵负， B、难点突破（1） B1 袋内有写着1、1、2、2、3的五张除数字外相同的卡片，不放回随机取两张，求数字相同的概率。 【解析】两张1组成1对，两张2组成1对；全部10个无序配对，数字3只有一张。 同号配对 1₁与1₂ 2₁与2₂ 含3的同号对 无序结果数 1 1 0 B2 甲可选择周一、周二、周三，乙可选择周二、周三、周四，各天等可能且两人选择独立。求两人的日期相邻的概率。 【解析】9个结果中，相邻为(一,二)、(二,三)、(三,二)、(三,四)，共4个， B3 从1、2、3中随机有放回抽两次数a、b。已知a+b为偶数，求a=b的概率。 【解析】和为偶数的结果为(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(3,3)共5个，其中相同3个， 符合已知条件的有序结果 (1,1) (1,3) (2,2) (3,1) (3,3) a=b 是 否 是 否 是 B、难点突破（2） B4 甲、乙、丙各自等可能且独立选择左、右两条路线。求“甲乙同路且乙丙不同路”的概率。 【解析】8条等可能路径中，左左右、右右左满足，共2条， B5 从2、3、4、5四张除数字外相同的卡片中不放回抽两张，两数作为直角三角形两条直角边。求斜边长为整数的概率。 【解析】无序配对6种，平方和依次为13、20、29、25、34、41；只有3、4的平方和25为完全平方数， 两条直角边 2、3 2、4 2、5 3、4 3、5 4、5 斜边的平方 13 20 29 25 34 41 B6 将标号0、1、2的三张除数字外相同的卡片不放回全部抽出，按顺序排成三个位置。求形成三位偶数的概率。 【解析】六种排列012、021、102、120、201、210中，符合三位且偶数的是102、120、210，共3种，不能先删去以0开头的排列再计算原试验概率。 C、方法进阶（1） C1 两个相同袋各有四张除数字外相同的卡片，标号分别为−1、0、1、2。从每袋各随机取一张，数字为a、b。求方程ax=b有唯一非负解的概率。 【解析】a≠0且≥0。a=−1时b=−1、0两种；a=1或2时b=0、1、2各三种，总8种。全部16种，a=b=0时有无数解，不计入。 a＼b −1 0 1 2 −1 1 0 −1 −2 0 无解 无数解 无解 无解 1 −1 0 1 2 2 0 1 C2 从0、1、2、3四张除数字外相同的卡片中不放回取两张，数分别为a、b。已知它们组成的点在坐标轴上，求a+b≥2的概率。 【解析】12个有序结果中，轴上为(0,1)、(1,0)、(0,2)、(2,0)、(0,3)、(3,0)，共6个；后4个符合和至少2， C3 甲、乙、丙分别独立选择A、B两个项目，选择等可能。已知三人没有全选同一项目，求甲、乙选择相同项目的概率。再求甲、乙选择不同项目的概率。 【解析】八条等可能路径中，去掉AAA、BBB，保留AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA六条。甲乙相同为AAB、BBA两条，概率为甲乙不同有其余4条，概率为已知条件改变了样本空间，不能仍按原试验得到各 C、方法进阶（2） C4 四张除数字外相同的卡片写有−1、1、2、3，不放回依次抽取两张a、b。求关于x的方程x²−ax+b=0有两个不相等实数根的概率。 【解析】判别式a²−4b>0。a=−1时，b=1、2、3均不符合；a=1时只有b=−1符合；a=2时只有b=−1符合，b=1时判别式为0应排除；a=3时b=−1、1、2均符合。合计5种， a＼b −1 1 2 3 −1 — −3 −7 −11 1 5 — −7 −11 2 8 0 — −8 3 13 5 1 — C5 四张除数字外相同的卡片标有1、2、3、4，不放回抽出两张。以两数和为a，差的绝对值为b。求长度a、b、5能组成三角形的概率。 【解析】六个配对(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)分别给出(3,1,5)、(4,2,5)、(5,3,5)、(5,1,5)、(6,2,5)、(7,1,5)。中间四组均满足两短边和大于最长边，首末不满足， C6 甲、乙、丙各自等可能且独立地从A、B、C三个项目中选一个。求三人恰好选择两个不同项目的概率。请按“谁与谁同项目”分类列举，不得只给答案。 【解析】27条完整路径等可能。甲乙同、丙不同：同项目有3种，丙另选2种，共6种；甲丙同、乙不同也有6种；乙丙同、甲不同也有6种。三类互不重叠，共18种，三人全同与全不同不计入。 D、中考真题精选（1） D1（2025·苏州中考·第20题） 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为_________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【解析】（1）3部电影中选择A有1种结果，概率为 （2）用有序数对表示（甲的选择，乙的选择），列表如下： 第一步＼第二步 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能结果，其中不同电影有(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。因此所求概率为 【关键检查】甲选完并没有移走电影，乙仍有3种选择。分母不是3×2；两人选择同一电影也是试验可能出现的结果。 D、中考真题精选（2） D2（2026·苏州中考·第20题） 为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影—革命事迹影展 B 红色工坊—袖章主题手作 C 红色出发—重走红色五卅 D 红色讲述—苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． （1）甲同学选择项目C的概率为_________； （2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【解析】（1）四个项目中选C有一种，概率为 （2）用有序数对表示（甲的选择，乙的选择），列表如下： 第一步＼ 第二步 A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 16种结果等可能，其中相同项目为(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种，所求概率为 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率计算中的列举方法与易错问题 2026—2027学年苏科版九年级数学上册专题复习 学生版 学习导航 题型一、从等可能结果开始列举 1 题型二、两步独立选择与列表法 4 题型三、不放回抽取与同时取出 7 题型四、三步试验与树状图 10 题型五、事件用语与条件变化 13 题型六、用数与形的条件筛选结果 16 A、基础通关 19 B、难点突破 21 C、方法进阶 23 D、中考真题精选 25 题型一、从等可能结果开始列举 【知识要点】列举的对象应是能够区分的基本结果，而不是随意合并后的类别。若每个基本结果等可能，事件A的概率为其中n为全部结果数，m为符合条件的结果数。 【方法说明】同字、同色、同数的物品仍可能是不同的实物，需加下标或编号。先按实物计数，再按题目要求分类，不能先合并再平均分配。 【易错提醒】检查顺序：对象是否能区分；每个对象是否等可能；所求条件是否明确；分子与分母是否使用同一标准。 题型一、从等可能结果开始列举 · 例题与递进 例1 五张大小、形状、质地相同的卡片分别写有“苏、州、苏、园、林”，洗匀后任意抽取一张。小明认为只有四种汉字，所以抽到“苏”的概率为判断这一说法是否正确，并求抽到“苏”及不抽到“苏”的概率。 解： 实物编号 苏₁ 州 苏₂ 园 林 抽到“苏” 变式1.1 一个圆形转盘被平均分成8个扇形，其中3个写“A”、2个写“B”、3个写“C”。指针转动后落在各扇形的可能性相同，落在分界线上时重转。求指向字母B以及不指向字母A的概率。 解： 变式1.2 六张除数字外相同的卡片分别写有−2、−1、0、1、2、2，洗匀后抽取一张，数字记为a。求：（1）a²=4的概率；（2）a²=a的概率。 解： 题型一、从等可能结果开始列举 · 易错突破 变式1.3 甲盒有标号1、2的两张除数字外相同的卡片，乙盒有标号3、4、5的三张除数字外相同的卡片。先等可能地选择一个盒子，再从所选盒内随机抽取一张卡片。小红把1、2、3、4、5作为五个等可能结果，得到抽到偶数的概率为她的列举是否合理？请把整个试验细分成等可能结果，求正确概率。 解： 巩固1 一个袋中有10个大小、形状相同的球，分别写有1至10。随机摸出一个球，求其号码“是偶数或是3的倍数”的概率。小刚把5个偶数与3个3的倍数直接相加，错误在哪里？ 解： 题型二、两步独立选择与列表法 【知识要点】两步试验的结果应写成有序数对。行代表第一步，列代表第二步，每一个格子表示一个完整结果；两步选项数可以不同。 【方法说明】两人独立选择同一个选项时，第二人仍可选择该选项，不能删除表格的对角线。只有“不放回且不能再次取同一实物”才删除对应位置。 【易错提醒】先填全表格，再逐格检查目标条件。相同、不同、和、积、大小关系对应的格子往往不同，不能沿用上题的标记。 例2 甲从A、B两个展馆中随机选择一个，乙从A、B、C三个展馆中随机选择一个。各自选择等可能且互不影响。（1）列表写出所有可能结果；（2）求两人选择不同展馆的概率；（3）求恰好一人选择A的概率。 解： 第一步＼第二步 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) 请在表中圈出各小问对应的结果，并检查是否重复计数。 题型二、两步独立选择与列表法 · 递进训练 变式2.1 甲、乙两袋分别装有数字为0、1、2与数字为1、3的除数字外相同的卡片。从每袋各随机抽出一张，两次抽取互不影响，数字分别记为a、b。求a+b为偶数的概率。 解： 变式2.2 分别转动两个均分为3个扇形的转盘，甲盘标数1、1、2，乙盘标数1、2、2。各扇形等可能且两次转动互不影响，落在分界线上时重转。求两盘所指数字相等的概率。 解： 题型二、两步独立选择与列表法 · 易错突破 变式2.3 甲、乙各随机从−1、0、2三个数中取一个数，分别记为a、b，选择等可能且互不影响。（1）求ab=0的概率；（2）求a+b>ab的概率。 解： 巩固2 数字0、2、5分别写在三张除数字外相同的卡片上。随机抽取一张并放回，洗匀后再抽一张。第一次的数字作十位，第二次作个位。求得到一个两位偶数的概率。 解： 题型三、不放回抽取与同时取出 【知识要点】不放回时，第二步可选对象少一个。n个可区分的实物依次抽两个，有n(n−1)个等可能有序结果；同一实物与自身的配对不能出现。 【方法说明】同时取出两个实物，可以列不计顺序的配对，也可以人为分先后列举。后一种方法把每一对都重复计算两次，分子、分母同步加倍，概率不变。 【易错提醒】同一个数字或颜色可以出现两次，关键在于是否存在两件这样的实物。“不放回”不等于“不能同色”或“不能同数”。 例3 四张除数字外相同的卡片分别写有1、1、2、3。洗匀后依次随机抽取两张，不放回，所得数字为a、b。列表求：（1）a=b的概率；（2）a+b=4的概率。 解： 第一步＼ 第二步 1₁ 1₂ 2 3 1₁ — (1₁,1₂) (1₁,2) (1₁,3) 1₂ (1₂,1₁) — (1₂,2) (1₂,3) 2 (2,1₁) (2,1₂) — (2,3) 3 (3,1₁) (3,1₂) (3,2) — “—”表示同一张卡片不能再次抽出。 题型三、不放回抽取与同时取出 · 递进训练 变式3.1 从2、3、5、7四张除数字外相同的数字卡片中同时随机抽取两张，每一对被抽到的可能性相同。求两数之和为质数的概率。 解： 变式3.2 五名学生甲、乙、丙、丁、戊中随机选出两名，每一对被选中的可能性相同。求：（1）甲、乙中恰好一人被选中的概率；（2）甲、乙都没有被选中的概率。 解： 题型三、不放回抽取与同时取出 · 易错突破 变式3.3 袋中有2个白球、2个黑球和1个灰球，球除颜色外均相同。一次随机取出两个，每一对等可能。求：（1）两球异色的概率；（2）两球中有白球但没有灰球的概率。 解： 巩固3 三张除数字外相同的卡片标有0、1、2，依次随机抽取两张且不放回，第一次的数作十位，第二次作个位。（1）求得到两位数的概率；（2）求得到两位奇数的概率。 解： 题型四、三步试验与树状图 【知识要点】按步骤画树，每一层表示一次选择。必须数从起点到末端的完整路径，不能把第一层、第二层与第三层的节点相加。 【方法说明】每一步在已有结果下可选数固定且各选项等可能时，完整路径等可能。若某一步会提前结束，长短不同的末端路径通常不等可能；可补齐为固定步数再计数。 【易错提醒】对于三步结果，先固定第一个位置，再固定第二个位置，最后列第三个位置。按这个顺序书写能减少遗漏。 例4 甲、乙、丙三人各自从A、B两个劳动项目中随机选择一个，选择等可能且互不影响。画树状图，求：（1）三人选择相同项目的概率；（2）恰好两人选择A的概率；（3）至少一人选择B的概率。 解： 题型四、三步试验与树状图 · 递进训练 变式4.1 将一枚均匀硬币连续抛掷三次。求三次中相邻两次的朝上面始终不同的概率，并写出符合条件的完整结果。 解： 变式4.2 甲从A、B两个场地中随机选择一个，乙从A、B、C三个场地中随机选择一个，丙也从A、B两个场地中随机选择一个，各选择等可能且互不影响。求三人恰好使用两个场地的概率。 解： 题型四、三步试验与树状图 · 易错突破 变式4.3 连续抛掷一枚均匀硬币，第一次出现正面时停止；若前两次都为反面，则抛第三次后无论结果如何均停止。小明列出“正、反正、反反正、反反反”，认为停止前恰好抛两次的概率是结论和理由是否都正确？请说明。 解： 巩固4 从标有1、2、3的三张除数字外相同的卡片中依次随机抽出全部三张，不放回，按抽取顺序组成三位数。求所组成三位数大于200且为奇数的概率。 解： 题型五、事件用语与条件变化 【知识要点】“至少一个”包括一个、两个及更多；“恰好一个”只包括一个；“至多一个”包括零个和一个。把文字先转为明确的可计数条件。 【方法说明】事件含“或”时，交集只能计算一次；含“且”时，每一个条件都须满足。可用补集减少计数，但要准确写出相反事件。 【易错提醒】若题目增加“已知某条件成立”，应只在符合该条件的结果中重新计数。条件“第一位是A”与“至少一位是A”保留的结果不同。 例5 甲、乙各自从A、B、C、D四个选项中随机选一个，选择等可能且互不影响。分别求：（1）至少一人选A；（2）恰好一人选A；（3）至多一人选A的概率。 解： 第一步＼ 第二步 A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 请在表中圈出各小问对应的结果，并检查是否重复计数。 题型五、事件用语与条件变化 · 递进训练 变式5.1 两枚质地均匀的正方体骰子各掷一次，分别记录点数a、b。求“a≤2或b≤2”的概率。 解： 变式5.2 甲、乙各自随机从A、B、C中选一个，选择等可能且互不影响。（1）已知甲选择了A，求两人选择相同的概率；（2）已知至少一人选择了A，求两人选择相同的概率。 解： 题型五、事件用语与条件变化 · 易错突破 变式5.3 从写有−2、−1、1、2的四张除数字外相同的卡片中不放回依次抽出两张，数分别为a、b。已知ab<0，求a+b>0的概率。 解： 巩固5 三人各自等可能且独立地选择A、B两个项目。已知不是三人都选A，求三人恰好两人选A的概率。 解： 题型六、用数与形的条件筛选结果 【知识要点】列表完成后，概率问题常转化为一个熟悉的数学判断：点在哪个象限、方程根是否符合要求、三条线段能否组成三角形等。 【方法说明】先写出筛选条件，再逐格判断。象限不含坐标轴；严格不等号不含等号；三角形要满足最短两边之和大于最长边。 【易错提醒】列举负责保证“不重不漏”，数学条件负责保证“筛选正确”。不能只凭数值正负、图形看起来相似或经验猜测。 例6 从标有−2、0、1的三张除数字外相同的卡片中随机抽取一张，记录后放回并洗匀，再随机抽取一张，所得数字分别作为点P的横、纵坐标。求：（1）P在坐标轴上的概率；（2）P在第二象限的概率；（3）P在直线y=x上的概率。 解： 题型六、用数与形的条件筛选结果 · 递进训练 变式6.1 甲、乙两个袋中各有标号1、2、3的三张除数字外相同的卡片。从两袋各随机取一张，数字分别为a、b。求关于x的方程ax+b=0的解为整数的概率。 解： 变式6.2 有长度分别为2、3、4、6的四根细棒，从中随机选三根，每组三根被选中的可能性相同。求所选三根能围成三角形的概率。 解： 题型六、用数与形的条件筛选结果 · 易错突破 变式6.3 从标有−2、−1、1、2的四张除数字外相同的卡片中不放回依次抽取两张，数字为a、b。求函数y=ax+b的图象同时经过第一、第二、第三象限的概率。 解： 巩固6 正方形四个顶点依次为A、B、C、D，从中随机选两个顶点，每一对等可能。求所连线段长度大于正方形边长的概率。 解： A、基础通关（1） A1 一袋中5个球分别写有1、2、2、3、4，球除号码外相同。随机取一个，求号码大于2的概率。 解： A2 甲盘均分成2格，标1、2；乙盘均分成3格，标1、2、3。独立转动两盘，各格等可能，求两数字之积为偶数的概率。 解： A3 四张除数字外相同的卡片写有1、2、3、4，随机抽出一张放回，洗匀后再抽一张。求两数差的绝对值为2的概率。 解： A、基础通关（2） A4 从红、黄、蓝、绿四张除颜色外相同的色卡中随机不放回抽两张，求抽到红卡且没有抽到蓝卡的概率。 解： A5 连续抛掷一枚均匀硬币三次，求第一次与第三次的朝上面相同的概率。 解： A6 从数−3、0、2中等可能且有放回地随机抽取两次，组成点(a,b)。求该点在第四象限的概率。 解： B、难点突破（1） B1 袋内有写着1、1、2、2、3的五张除数字外相同的卡片，不放回随机取两张，求数字相同的概率。 解： B2 甲可选择周一、周二、周三，乙可选择周二、周三、周四，各天等可能且两人选择独立。求两人的日期相邻的概率。 解： B3 从1、2、3中随机有放回抽两次数a、b。已知a+b为偶数，求a=b的概率。 解： B、难点突破（2） B4 甲、乙、丙各自等可能且独立选择左、右两条路线。求“甲乙同路且乙丙不同路”的概率。 解： B5 从2、3、4、5四张除数字外相同的卡片中不放回抽两张，两数作为直角三角形两条直角边。求斜边长为整数的概率。 解： B6 将标号0、1、2的三张除数字外相同的卡片不放回全部抽出，按顺序排成三个位置。求形成三位偶数的概率。 解： C、方法进阶（1） C1 两个相同袋各有四张除数字外相同的卡片，标号分别为−1、0、1、2。从每袋各随机取一张，数字为a、b。求方程ax=b有唯一非负解的概率。 解： C2 从0、1、2、3四张除数字外相同的卡片中不放回取两张，数分别为a、b。已知它们组成的点在坐标轴上，求a+b≥2的概率。 解： C3 甲、乙、丙分别独立选择A、B两个项目，选择等可能。已知三人没有全选同一项目，求甲、乙选择相同项目的概率。再求甲、乙选择不同项目的概率。 解： C、方法进阶（2） C4 四张除数字外相同的卡片写有−1、1、2、3，不放回依次抽取两张a、b。求关于x的方程x²−ax+b=0有两个不相等实数根的概率。 解： C5 四张除数字外相同的卡片标有1、2、3、4，不放回抽出两张。以两数和为a，差的绝对值为b。求长度a、b、5能组成三角形的概率。 解： C6 甲、乙、丙各自等可能且独立地从A、B、C三个项目中选一个。求三人恰好选择两个不同项目的概率。请按“谁与谁同项目”分类列举，不得只给答案。 解： D、中考真题精选（1） D1（2025·苏州中考·第20题） 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为_________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 解： D、中考真题精选（2） D2（2026·苏州中考·第20题） 为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影—革命事迹影展 B 红色工坊—袖章主题手作 C 红色出发—重走红色五卅 D 红色讲述—苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． （1）甲同学选择项目C的概率为_________； （2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 解： 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $