甘肃天水市第一中学、第三中学2026-2027学年高三上学期期中质量检测数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A C C A ACD BCD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14．/ 15．【详解】（1）因为，则， 故，得，即， 结合，得. （2）由，，得. 由正弦定理得，即，解得， 所以，解得，则. 又， 由正弦定理得，解得. 所以三角形的面积为 . 16．【详解】（1）记事件为“随机选取的名学生中至少有一名学生非常满意”， 事件为“随机选取的名学生中另一名学生不是非常满意”. 从名学生中随机选取名，基本事件总数为. 事件的对立事件为“两名学生都不是非常满意”， 其中“不是非常满意”的学生共有人， 则. 事件表示“选取的名学生中，一人非常满意，另一人不是非常满意”， 其基本事件数为. 故所求概率. （2）抽到“不满意”学生的频率为. 由题意，从该校高一年级中随机抽取名学生，抽到“不满意”的概率. 现从所有学生中随机抽取4名学生，则， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 17．【详解】（1）由焦距，得，由离心率，得， ， 故椭圆的标准方程为； （2）设在椭圆上，因题设M，N不重合，故， 则　（*） 由且在直线上，得；又为的中点，故， 设，点关于直线的对称点为， 则直线是线段的垂直平分线，即的中点在直线上，且， 直线的方向向量为， 由在直线上，可设，比较纵坐标得，因，故； 再比较横坐标得，整理得　①， 由得，即，整理得　② 联立①②得， 将（*）代入，并两边同乘，得， 整理得，即， 该等式对所有满足，即任意的椭圆上的点恒成立， 因此必须满足，故， 综上，在轴上存在唯一定点，使得点P关于直线的对称点在x轴上. 18．(1)因为平面，，所以以为原点，分别以、、 的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由，，且，得各点坐标： . 由为的中点，为的中点，得. . 因为， 故与共面；又 平面 ，平面 ， 因此 平面. （2）设平面 的法向量为，由， 所以，即，取，则 . 设平面的法向量为.在该平面内取. 所以，即，取，则. 设两平面所成二面角为 ，则. （3）平面过点，其法向量为 ，又， 故点到平面的距离. 19．【详解】（1），则， 不等式， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以， 所以不等式的解集为； （2）的定义域为， ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为； （3）由（2）可知，当时，为函数的极大值点，不合题意； 下面分析的情形： 令，解得或， 当时，在区间上恒成立，不合题意； 当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意； 当时，， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 为函数的极小值点，符合题意； 综上，的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年普通高中高三上学期期中质量检测学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 数 学 1． 选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．已知集合，，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 2．若复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知两定点，，点是轴正半轴上的一动点，则当最大时，的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位后，在区间内恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．一段楼梯共有15级台阶，记第级台阶的高度为，已知第1级台阶的高度，第15级台阶的高度，且，，，是公差为1的等差数列，，，，是公差为3的等差数列，则（      ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．下列结论错误的是（） A．若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D．由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、有关，且该推断犯错误的概率不超过0.1 8．若定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且该垂线与的左支交于点，恰好是线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B． C．的面积为4 D．若，点是右支上的动点，则的最小值为5 10．已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（   ） A．数列是等差数列 B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法中正确的有（   ） A．的图象关于原点对称 B．有5个零点 C．的所有极大值之和为12 D．若方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12．函数在处的切线方程为__________． 13．设函数，若有且只有一个，使得函数取得最小值，则的取值范围是________ 14．若事件、互斥，且、，则________ 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（13分）．在三角形ABC中，． (1)求； (2)，，求AB的长及三角形ABC面积． 16（15分）．某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． (1)从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； (2)若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 17（15分）．已知椭圆的焦距为2，离心率， (1)求椭圆C的标准方程； (2)动点P在椭圆C上，直线与x轴交于点N，于点M（M，N不重合），线段中点为S，试问在x轴上是否存在定点T，使得点P关于直线的对称点在x轴上，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由． 18（17分）．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 19（17分）．已知． (1)若，求不等式的解； (2)若，求函数的单调区间； (3)若是函数的极小值点，求的取值范围 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $