精品解析：北京市第十三中学分校2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

2026—2027学年度北京市第十三中学分校 第一学期期中 九年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 6 页． 2．本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，层层递进极具纵深感．如图2是抽象出的几何图形，正方形，正方形，正方形以角交错套叠而成，其中点，，，分别落在正方形的各边上，点，，，分别落在正方形的各边上，则正方形与正方形的相似比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边边长为4，以为圆心作半径为2的圆，分别交边、于、两点．点是上的动点（点不与点，点重合），连接，点为线段的中点．给出下面四个结论： ①连接，的长度为定值； ②连接、，的度数是； ③的长可能是； ④连接，的长不可能是5． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 计算：_______． 10. 已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，随的增大而增大．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式：______． 11. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 12. 如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 13. 如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为_____．（用含的式子表示） 14. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．若该图象与轴的一个交点坐标为，则方程的解为_________． 15. 智能四足机器狗在多场景开展示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，当机器狗前腿直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长_____．（结果精确到）参考数据：，，． 16. 已知抛物线过点和点，与轴一个交点在点的右侧，有以下四个结论： ①； ②； ③当时，方程的两个根为，； ④过点作轴的垂线，交抛物线于点， 交直线于点，若线段的长度随着的增加而增大， 则的取值范围是或． 其中正确的结论是_________________． 三、解答题：（本大题共12小题，其中第17题6分，第18-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分，第28题6分，共68分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数过点 （1）直接写出的值； （2）在坐标系中画出该二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出的取值范围． 19. 如图，在中，，点为中点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，． （1）利用直尺和圆规确定圆形工件的圆心；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求圆形工件的半径． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根和满足，求的值． 22. 据《年中国人工智能计算力发展评估报告》，我国智能算力规模持续高速增长．某智算中心年的智能算力规模为，经过连续两年的扩容，年该智算中心的智能算力规模达到．假设这两年间智能算力规模的年平均增长率保持不变，解决以下问题： （1）求该智算中心年到年智能算力规模的年平均增长率； （2）若年该智算中心的智能算力规模仍按（1）中所求的年平均增长率增长，试通过计算判断：年该智算中心的智能算力规模能否超过？ 23. 如图，已知，以为一边作等边，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）_______；若，，，则_________． 24. 打铁花（如图①）是国家级非物质文化遗产．表演时，艺人用木板将高温铁水击向高空，铁水在空中散开后落下，形成绚丽的火花．铁花飞溅的高度通常在10米以上，部分表演可达十几米． 某次表演中，技术人员记录了铁水的运动轨迹．铁水从升降台上被击出，击出点离地面的高度为．铁水在空中经过的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，该抛物线的最高点离地面，且点与击出点之间的水平距离为．如图②，建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）在铁水飞行的过程中，当铁水离地面的高度不低于时，求铁水在该阶段水平方向上的飞行距离； （3）现将升降台向上抬升，再次进行表演．若铁水飞溅的运动路径形状保持不变，为确保观赏安全，要求铁水落地点与击出点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 25. 已知：如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径是2，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）若，求的值； （2）记抛物线在点、之间的部分（含点、）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 27. 如图，在中，点是边上一点，连接，点为线段延长线上一点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，点为中点，连接，满足． （1）证明：； （2）已知与交于点，连接，满足，．猜想线段，满足的数量关系，并说明理由 28. 在中，是非直径弦，为的中点．将射线绕点逆时针旋转得射线，在上取点，使，若的一条弦以为中点，则这条弦叫作弦的“续转弦”． 已知在平面直角坐标系中，的半径为． （1）如图1，，，．直接写出弦的“续转弦”两个端点的坐标； （2）如图2，若弦的长度为，在图中画出弦的“续转弦”，并直接写出它的长度（用含，的代数式表示）； （3）若，．点在上运动，弦为弦的“续转弦”，点，分别是弦和弦的中点．以为直径作．当点在上或内部时，点也在上或内部，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度北京市第十三中学分校 第一学期期中 九年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 6 页． 2．本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式，可直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，记住二次函数顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线等知识点是解题关键． 3. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，得， 再向上平移3个单位长度，得. 5. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，，证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无需计算参数，利用二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴. 7. 敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，层层递进极具纵深感．如图2是抽象出的几何图形，正方形，正方形，正方形以角交错套叠而成，其中点，，，分别落在正方形的各边上，点，，，分别落在正方形的各边上，则正方形与正方形的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 8. 如图，等边边长为4，以为圆心作半径为2的圆，分别交边、于、两点．点是上的动点（点不与点，点重合），连接，点为线段的中点．给出下面四个结论： ①连接，的长度为定值； ②连接、，的度数是； ③的长可能是； ④连接，的长不可能是5． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据中位线的性质求出，即可判断①正确；分点F在优弧和劣弧上两种情况分别求出的度数，即可判断②错误；求出的最大值和最小值，即可判断③错误；求出的最大值和最小值，即可判断④正确． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴的长度为定值，故①正确； 当点F在优弧上时，如图所示： 此时； 当点F在劣弧上时，如图所示： 此时； 综上，或，故②错误； 根据题意得：的最大值为，最小值为， ∵，，且， ∴， ∴的长不可能是，故③错误； 连接，如图所示： ∵，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴点G在以点E为圆心，1为半径的圆上， ∴的最大值为，最小值为， ∵，，且， ∴， ∴， ∴的长不可能是5，故④正确； 综上，正确的结论有①④． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 计算：_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 10. 已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，随的增大而增大．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合二次函数的增减性、图象过定点的特征，构造同时满足两个约束条件的解析式，写出符合要求的一个解析式即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴该二次函数开口向下，即二次项系数，且对称轴位于直线或其右侧， 不妨取对称轴为直线，设二次函数的解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式，得， 取满足的一个值，如， ∴可得到一个符合条件的解析式为． 11. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=0， ∴4﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为1． 12. 如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 13. 如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为_____．（用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】连接得，利用同弧所对圆周角相等得出，再计算即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 14. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．若该图象与轴的一个交点坐标为，则方程的解为_________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，根据抛物线与轴的交点的横坐标为对应一元二次方程的根，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且该图象与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的解为，． 15. 智能四足机器狗在多场景开展示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，当机器狗前腿直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长_____．（结果精确到）参考数据：，，． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形对边相等得，；过点C作、，构造矩形与双直角三角形．先在中由求得，再计算得；最后在中由列方程，解得． 【详解】解：∵四边形、四边形都是平行四边形， ∴，， 过点C作于点G，于点H，如图： 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 解得， 验证：当时，， ∴是原分式方程的解． 16. 已知抛物线过点和点，与轴一个交点在点的右侧，有以下四个结论： ①； ②； ③当时，方程的两个根为，； ④过点作轴的垂线，交抛物线于点， 交直线于点，若线段的长度随着的增加而增大， 则的取值范围是或． 其中正确的结论是_________________． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】由抛物线上两点纵坐标相等，得对称轴为直线，由推得，结合得．由交点位置推出，故，即可判断①；由对称性，与函数值相等且均小于0，故，即可判断②；代入解方程得两根为4和，即可判断③；，分段并根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为， ∵， ∴． ∵， ∴， 结论①：， 设抛物线与x轴的两个交点横坐标为， ∴，即． ∵一个交点在右侧， ∴， ∴， ∴另一个交点在左侧． ∵抛物线开口向上， ∴当x在两个交点之间时，此时函数值． ∵， ∴在两个交点之间， ∴当时，． ∴，故①错误； 当时，， ∵ ∴与的函数值相同． ∵在两个交点之间， ∴由①可得，此时的函数值小于0， ∴，故②错误； 将、代入方程，得， ∵， ∴ 解得，，故③正确； 由题意得，点M、N的横坐标均为t，点M在抛物线上，点N在直线上， ∴， ∵垂直于x轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵a是正数， ∴的大小变化与的大小变化一致． 当时，， ∵二次项系数， ∴该二次函数开口向下且对称轴为， ∴在对称轴左侧，y随t的增大而增大，即， ∴当时，随t的增大而增大； 当时，， ∵二次项系数， ∴该二次函数开口向上且对称轴为． ∴在对称轴右侧，y随t的增大而增大，即， ∴当时，随t的增大而增大； 综上所述，当线段的长度随t的增大而增大时，t的取值范围是或，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． 三、解答题：（本大题共12小题，其中第17题6分，第18-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25-26题每题6分，第27题7分，第28题6分，共68分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用配方法将原式凑成完全平方式，再开平方求解； （2）移项，提取公因式进行因式分解，令每个因式等于零求出方程的根． 【小问1详解】 解：已知， 则， 即， 可得或， 解得，． 【小问2详解】 解：已知， 则， 可得， 则或， 解得，． 18. 已知二次函数过点 （1）直接写出的值； （2）在坐标系中画出该二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据点即可求解； （）把函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标，再根据列表、描点、连线的步骤作图即可； （）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，即抛物线与轴的交点坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 列表如下： 画图略； 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当时，的取值范围为． 19. 如图，在中，，点为中点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一推出，得到，再结合公共角， 即可得证； （2）在中，由勾股定理得的长， 再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 20. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，． （1）利用直尺和圆规确定圆形工件的圆心；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求圆形工件的半径． 【答案】（1）如图，点即为所求 （2）圆形工件的半径为 【解析】 【分析】（1）根据圆的两条弦的垂直平分线交点为圆心，在圆弧上取一点，作的垂直平分线即可； （2）由垂径定理可得，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：在圆弧上取一点，作的垂直平分线，这条垂直平分线和直线的交点即为圆心； 连接，，，则， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，即点为圆心； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即圆形工件的半径为． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根和满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 22. 据《年中国人工智能计算力发展评估报告》，我国智能算力规模持续高速增长．某智算中心年的智能算力规模为，经过连续两年的扩容，年该智算中心的智能算力规模达到．假设这两年间智能算力规模的年平均增长率保持不变，解决以下问题： （1）求该智算中心年到年智能算力规模的年平均增长率； （2）若年该智算中心的智能算力规模仍按（1）中所求的年平均增长率增长，试通过计算判断：年该智算中心的智能算力规模能否超过？ 【答案】（1） 该智算中心年到年智能算力规模的年平均增长率为 （2） 年该智算中心的智能算力规模能超过 【解析】 【分析】（1）根据题意列一元二次方程，解一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可； （2）按照（1）所求的增长率算出年该智算中心的智能算力规模，进行比较即可． 【小问1详解】 解：设该智算中心年到年智能算力规模的年平均增长率为x，根据题意可得： 即 或 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该智算中心年到年智能算力规模的年平均增长率为； 【小问2详解】 ， ， 答：年该智算中心的智能算力规模能超过． 23. 如图，已知，以为一边作等边，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）_______；若，，，则_________． 【答案】（1） （2）解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∵等边， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）120； 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）证明，即可得证； （3）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理，求出的度数，解直角三角形，求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设交于点，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 24. 打铁花（如图①）是国家级非物质文化遗产．表演时，艺人用木板将高温铁水击向高空，铁水在空中散开后落下，形成绚丽的火花．铁花飞溅的高度通常在10米以上，部分表演可达十几米． 某次表演中，技术人员记录了铁水的运动轨迹．铁水从升降台上被击出，击出点离地面的高度为．铁水在空中经过的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，该抛物线的最高点离地面，且点与击出点之间的水平距离为．如图②，建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）在铁水飞行的过程中，当铁水离地面的高度不低于时，求铁水在该阶段水平方向上的飞行距离； （3）现将升降台向上抬升，再次进行表演．若铁水飞溅的运动路径形状保持不变，为确保观赏安全，要求铁水落地点与击出点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，设顶点式，代入已知点求出a，得到解析式； （2）将代入解析式，求出两个x的值，差值即为水平距离； （3）先根据平移规律得出新抛物线的解析式，然后令，求出，（舍去），结合，得出，最后解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意，顶点B的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，， ∴铁水离地面的高度不低于时，铁水在该阶段水平方向上的飞行距离为； 【小问3详解】 解：由题意可知，新抛物线可由抛物线向上平移n个单位得到， ∴新抛物线对应的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 由题意，得， ∴， 解得， ∴n的最大值为． 25. 已知：如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径是2，，求的长． 【答案】（1）证明∶∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得出，根据等边对等角得出，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）连接，解求出，解求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵是的直径，的半径是2， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）若，求的值； （2）记抛物线在点、之间的部分（含点、）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）的值为 （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线对称轴，然后通过已知条件可知、两点关于对称轴对称，列出等式，求解a并验证即可； （2）先将点P代入抛物线解析式求出点P坐标，然后求直线l的方程，再求直线与抛物线的交点，分类讨论交点情况． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为 ∵，、为不重合的两点， ∴、两点关于对称轴对称， ∴ 解得 验证：当时，、，对称轴，两点不重合且关于对称轴对称，符合条件． 【小问2详解】 将点代入抛物线解析式： ∴点P坐标为． ∵直线垂直于轴， ∴直线的方程为． 令 整理得： 因式分解得： 解得，， ∴直线与抛物线交点为和． ∵，，且两点不重合， ∴，即． 要使直线l与图形G仅有一个公共点，需两个交点中仅有一个在G的横坐标区间内： 情况1：时，抛物线开口向上， ∵， ∴，， ∴点A在y轴负半轴，点P、Q在y轴正半轴，且P在Q右侧， 如图，点B必须在P、Q之间，且不与P重合， ∴ 解得； 情况2：时，抛物线开口向下， ∵， ∴，，恒成立， ∴点B、Q在y轴负半轴，且B在Q左侧，点A在y轴正半轴，且P在Q右侧， 如图，点A必须在P、Q之间，且不与P重合， ∴ 解得； 综上所述，a的取值范围是或． 27. 如图，在中，点是边上一点，连接，点为线段延长线上一点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，点为中点，连接，满足． （1）证明：； （2）已知与交于点，连接，满足，．猜想线段，满足的数量关系，并说明理由 【答案】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 作交于点，设交于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴. 【解析】 【分析】（1）设，易得，根据旋转的性质，等边对等角，得到，进而得到，三角形的外角的性质，得到，进而得到，推出，等边对等角结合角的和差关系，即可得出结论； （2）作交于点，设交于点，证明，得到，进而得到为等腰直角三角形，得到，推出，进而得到，根据等边对等角和三角形的外角的性质，得到，推出，得到，进而得到四边形为平行四边形，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在中，是非直径弦，为的中点．将射线绕点逆时针旋转得射线，在上取点，使，若的一条弦以为中点，则这条弦叫作弦的“续转弦”． 已知在平面直角坐标系中，的半径为． （1）如图1，，，．直接写出弦的“续转弦”两个端点的坐标； （2）如图2，若弦的长度为，在图中画出弦的“续转弦”，并直接写出它的长度（用含，的代数式表示）； （3）若，．点在上运动，弦为弦的“续转弦”，点，分别是弦和弦的中点．以为直径作．当点在上或内部时，点也在上或内部，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）解：如图，弦即为所求； ； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，旋转的性质，推出四边形为矩形，且弦的“续转弦”的其中一个端点为，根据这个结论，得到四边形为矩形，为弦的“续转弦”的一个端点，进而求出另一个端点即可； （2）根据（1）的结论，过点作的垂线段垂足为，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点，延长交于点，即为所求，利用垂径定理求出的长，进而求出的长即可； （3）分点在上半圆和点在下半圆，两种情况进行讨论分析，得到点在上半圆，圆心在以为圆心，1为半径的圆的上半圆上运动，设，求出点恰好在上时的两个临界圆心，再根据题意得到点在这些圆的公共部分，临界状态为点在两个临界圆的公共部分，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：如图，在中，是非直径弦，为的中点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴弦的“续转弦”的其中一个端点为； ∵，，， ∴的中点， 由题意，可知四边形为矩形，为弦的“续转弦”的一个端点， ∴， ∵点为“续转弦”的中点， ∴另一个端点为； 【小问2详解】 解：画图略； 由（1）可知，四边形为矩形，，，连接，则， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在上半圆时，则为矩形， ， ∴的圆心为的中点，且的半径为1， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的圆的上半圆上运动， 当点在下半圆时，则为矩形， 此时点为的中点， ∵， ∴， 此时，即，点在的外部，不符合题意； ∴点只能在上半圆上运动， 设， ∵ ∴，即， 当点恰好在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴两个临界圆心是 其中点为两个圆的一个交点，两圆的另一个交点为； ∵当点在上或内部时，点也在上或内部， ∴Q 必须落在这些圆的公共部分， ∵， ∴点在直线上， 如图，临界条件为点在和的公共部分内， 当点在上或内部时，，解得； 当点在上或内部时，，解得； 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $