精品解析：北京市西城区北京教育学院附属中学2025-2026学年上学期期中练习九年级数学 试题

北京教育学院附属中学2025~2026学年第一学期期中练习 九年级数学 注意事项 1．本试卷共4页，28道题．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸的相应位置上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符题意； B、不是中心对称图形，则此项不符题意； C、是中心对称图形，则此项符合题意； D、不是中心对称图形，则此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 抛物线的顶点坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解析式直接得出顶点坐标. 【详解】∵抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为. 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标. 3. 如图，是上的四点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：B． 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何变换；掌握二次函数的平移不改变二次项的系数；规则为：左加右减，上加下减是解决本题的突破点．根据规则直接写抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，， 新抛物线解析式为，即 故选：A． 5. 如图，已知的半径经过弦的中点D，分别连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理求得，利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径经过弦的中点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、再方程两边同时加上即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min 【答案】B 【解析】 【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答. 【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0）， 根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31）， 将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43, 根据函数性质得t＝－＝13时，s最大， 故选B. 【点睛】本题主要考查求函数最值，可利用配方法，公式法等. 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解成为解题的关键． 将代入一元二次方程得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解得：． 故答案为：1． 11. 如图，点A在上，弦垂直且平分，垂足为D．若半径，则________， ________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，因为弦垂直且平分，故，再根据垂径定理和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵弦垂直且平分，， 故， ∴， ∴， 故答案为：，． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质；根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式； 【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形 又∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 15. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，在点，之间的抛物线在直线下方， ∴时，， 故答案为：． 16. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断； ③根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； ④根据，得出和的大小及其与的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图像可知：，，， ， 所以①错误； ②对称轴为直线， 即，解得，即， 所以②错误； ③抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即， 所以③正确； ， ， 由时，随的增大而减小知时的函数值小于时的函数值，故④正确； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质及点的坐标特征． 三、解答题（共68分，第17－18题每题6分，第19题4分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题4分，第24题7分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即， 开方得，即， ∴，； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得， 即或， ∴，． 18. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：直线BD，使得． 作法：如图， ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径作圆； ③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D； ④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴______． ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 【答案】 （1）如图，直线BD就是所求作的直线 （2）在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可； （2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案. 【详解】解：（1）略 （2）证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴． ∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）． ∴． 故答案为：在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键. 19. 已知二次函数． （1）将函数解析式化为的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是____________； （4）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 【小问3详解】 解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； 【小问4详解】 解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 20. 如图，已知为直径，是弦，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为直径，是弦，， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理证明即可； （2）设的半径为R，利用勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握三个定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为R，根据题意，得 则， 又， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解得， 即：的半径为5． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且，若，求的值． 【答案】（1） 证明： ． 方程有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程根的判别式，即可得出，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）解方程，再由，，即可得到关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程，得， ， ，． ， ． ． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算． 22. 某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）当时，每件的利润是________元，总利润为________元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （3）销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）10；4000 （2） （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数值，求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据售价减去进价得出单件利润，再根据单件利润乘以销售量得出总利润； 对于（2），根据总利润等于单件利润乘以销售量列出关系式，并整理，再根据售价不低于成本价，不高于70元求出自变量取值范围； 对于（3），先将二次函数配方得出顶点式，再根据抛物线的开口方向和对称轴，可得当时，函数值随着x的增大而增大，然后将代入关系式求出最大值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 每件的利润为：（元）；总利润为：（元）； 故答案为：10；4000； 【小问2详解】 解：根据题意，得，且； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数值随着x的增大而增大， ∴当时，元， 所以销售单价定为70元时，此时总利润最大，最大利润是6000元． 23. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 【答案】（1） 作图如下，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到； （2）由（1）中作出的即可得到答案； （3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图形，如图所示： ； 【小问3详解】 解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ． 24. 如图，在四边形中，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接． （1）求的度数； （2）若是等边三角形，且，求的长． 【答案】（1）的度数为 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据等边三角形的判定与性质得到的度数为； （2）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到，再根据全等三角形的性质及勾股定理得到． 【小问1详解】 解：∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的度数为； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____0（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）①4；②是；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【小问1详解】 解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知，是抛物线上的两个点，若对于，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2），分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【小问1详解】 解： 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①如图1，当时， ， ． 当时，随的增大而增大， 且对于，都有， ， ； ②如图2，当时， 记关于的对称点为， ， ． 当时，随的增大而增大， 且对于，都有， ， ． 综上所述，实数的取值范围为或 27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接． （1）依题意，补全图形，并证明：； （2）求的度数； （3）若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形，如图所示． 证明：∵ 线段绕点C顺时针旋转90°得到线段， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）135° （3） ，理由如下： 如图所示，延长至K，使得，连接． ∵为线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由可得， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵在等腰直角中，， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用证明即可证明； （2）连接，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到再证明由全等三角形的性质得到．则可以推出，利用三角形内角和定理即可得到； （3）如图所示，延长至K，使得，连接．证明．得到，，则．进一步证明．得到．由此证明，得到．在等腰直角中，，则，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示． 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴； 由可得． ∴． ∴； 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． （1）已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； （2）已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①点，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形，再关于直线作轴对称图形，得到正方形，则正方形关于点的“关联点”P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标，即可判断点，，是否符合； ②由①点D在正方形上，因此当点D在点，即点D为时，的长为最大值，根据两点间距离公式即可求解； （2）同（1）思路，将正方形平移个单位长度，得到正方形，若，则向下平移；若，则向上平移．将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形，根据“关联点”的定义得到点P在正方形上．根据平移与轴对称的坐标变换，得到正方形各顶点的坐标．由是以点为直角顶点的等腰直角三角形，可求出点P（图中的点，）的坐标．再分别讨论点，在正方形上时，t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，将正方形向下平移2个单位长度，得到正方形， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， 由题意可知，正方形关于点的“关联点”P在正方形上， ∵点与点重合，点在边上， ∴点，是正方形关于点的“关联点”． 故答案为：点， ②由①可知正方形关于点的“关联点”在正方形上， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点D在正方形上， ∴当点D在点，即点D为时，的长为最大值， 最大值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，将正方形平移个单位长度，得到正方形， 若，则向下平移；若，则向上平移， （ ∵， ∴． ∵， ∴将正方形关于直线作轴对称图形，得到正方形， ∴，，，， ∵点是正方形关于点的“关联点”， ∴点P在正方形上． ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴如图，点，为点P的位置． 过点Q作轴于点M，点作轴于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 同理可得． ①∵， 正方形的各顶点为，，， ∴点在直线上， ∴要使点在正方形上，则， 解得． ②若点在正方形上， 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且，无解，不合题意，舍去． 当点在边上时，且， 即且， ∴． 当点在边上时，且， 即且， ∴． ∴点在正方形上，时． 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，平移与轴对称的坐标变换，方程与不等式的应用，通过反向变换，求出符合要求的“关联点”的所有位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京教育学院附属中学2025~2026学年第一学期期中练习 九年级数学 注意事项 1．本试卷共4页，28道题．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸的相应位置上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，是上的四点，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知的半径经过弦的中点D，分别连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　） A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 11. 如图，点A在上，弦垂直且平分，垂足为D．若半径，则________， ________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 13. 请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______． 14. 如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD=________． 15. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 16. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是________． 三、解答题（共68分，第17－18题每题6分，第19题4分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题4分，第24题7分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解一元二次方程： （1） （2） 18. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：直线BD，使得． 作法：如图， ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径作圆； ③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D； ④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴______． ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 19. 已知二次函数． （1）将函数解析式化为的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是____________； （4）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 20. 如图，已知为直径，是弦，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且，若，求的值． 22. 某公司可以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）当时，每件的利润是________元，总利润为________元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是________；自变量的取值范围是________； （3）销售单价定为多少元时，此时总利润最大，最大总利润是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 24. 如图，在四边形中，是对角线，将点绕点逆时针旋转得到点，连接． （1）求的度数； （2）若是等边三角形，且，求的长． 25. 甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____0（填“＞”“＜”或“＝”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知，是抛物线上的两个点，若对于，都有，求实数的取值范围． 27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接． （1）依题意，补全图形，并证明：； （2）求的度数； （3）若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和过点垂直于轴的直线．对于点和图形，给出如下定义：将点关于直线的对称点向上或向下平移个单位长度，得到点，若点在图形上，则称点是图形关于点的“关联点”． （1）已知点，，和点． ①在点中，正方形关于点的“关联点”是___________； ②若点是正方形关于点的“关联点”，直接写出长的最大值； （2）已知点和点．若存在点是正方形关于点的“关联点”，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $