第四章 指数与对数 运算综合专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数与对数运算综合（专题练习·原卷版） 专题练习　45 分钟　满分 100 分 人教A版（2019）高中数学必修第一册　第四章　指数函数与对数函数 专题一　指数与对数运算综合 班级：　　　　　　姓名：　　　　　　得分：　　　　　　 本卷共 16 题，满分 100 分，预计用时 45 分钟。考查根式与分数指数幂、对数运算性质、换底公式及整体代换求值。 一、单项选择题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 3．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 4．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 5．里氏震级 ，其中 A 为地震仪记录的最大振幅， 为标准振幅．某次地震的最大振幅是标准振幅的 倍，则这次地震的震级为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，（，），则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 8．下列各式正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 9．下列结论正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 10．计算 ________． 11．计算 ________． 12．已知 ，，则 ________（用 a，b 表示）． 13．声强级 （单位：dB），其中 为基准声强．某设备运行时声强级为 70 dB，则它的声强是基准声强的________倍． 四、解答题（本题共 3 小题，共 44 分） 14．（14 分）计算下列各式： （1）； （2）； （3）． 15．（14 分）已知 ，用 m 表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 16．（16 分）已知 ，且 ． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数与对数运算综合（专题练习·解析版） 专题练习　45 分钟　满分 100 分 人教A版（2019）高中数学必修第一册　第四章　指数函数与对数函数 专题一　指数与对数运算综合 本卷共 16 题，满分 100 分，预计用时 45 分钟。考查根式与分数指数幂、对数运算性质、换底公式及整体代换求值。 本卷共 16 题，满分 100 分，全卷预计用时 45 分钟；基础 10 题、提升 5 题、拓展 1 题。逐题考点、难度与用时见卷末命题说明表。 一、单项选择题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以原式 ． 【点拨】偶次根式开方后取绝对值，不要写成 ． 2．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 【点拨】负指数先交换分子分母，再把指数分别作用于 81 与 16． 3．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以原式 ． 【点拨】同底对数相加时先合并真数，再化简． 4．计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由换底公式，． 【点拨】连乘时中间的真数、底数可依次约去，结果等于首尾之比． 5．里氏震级 ，其中 A 为地震仪记录的最大振幅， 为标准振幅．某次地震的最大振幅是标准振幅的 倍，则这次地震的震级为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即震级为 4.6． 【点拨】，不要把振幅的倍数直接当作震级． 6．已知 ，（，），则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以 ． 【点拨】先把指数化成同一个以 a 为底的对数，再用对数恒等式． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 【点拨】 不是 ，注意底数要平方． 二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 8．下列各式正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】BCD 【解析】A 中根指数 4 为偶数，，不一定等于 ，错误；B 中根指数为奇数，正确；C 中同底数幂相除，指数相减，，正确；D 中同底数幂相乘，指数相加，，正确． 【点拨】偶次根式的结果是绝对值；只有被开方数非负时才能直接去根号． 9．下列结论正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】ABC 【解析】A 中 ，正确；B 中两对数互为倒数，正确；C 中对数恒等式，正确；D 中对数没有“真数之差等于对数之差”的性质，，而 ，错误． 【点拨】只有“同底对数相减＝真数相除”，不能把真数直接相减． 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 10．计算 ________． 【答案】8 【解析】，，，所以原式 ． 【点拨】负指数取倒数，． 11．计算 ________． 【答案】6 【解析】． 【点拨】底数为 时先换底，． 12．已知 ，，则 ________（用 a，b 表示）． 【答案】 【解析】． 【点拨】，系数 2 不要漏写． 13．声强级 （单位：dB），其中 为基准声强．某设备运行时声强级为 70 dB，则它的声强是基准声强的________倍． 【答案】 【解析】由 得 ，所以 ． 【点拨】先由声强级解出对数值，再化为指数式． 四、解答题（本题共 3 小题，共 44 分） 14．（14 分）计算下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1），，，所以原式 ．（2）．（3）分子 ，分母 ，所以原式 ． 【点拨】（1）中 ，不是 ；（3）中先合并对数再作商，不要逐项约分． 15．（14 分）已知 ，用 m 表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）．（2）．（3）由换底公式，． 【点拨】（2）中 ，；（3）换底时底数写在分母． 16．（16 分）已知 ，且 ． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1）将 两边平方，得 ，所以 ．（2）将 两边平方，得 ，所以 ．（3）由立方和公式，，而 ，所以原式 ． 【点拨】（1）平方后中间项是 不是 ；（3）不要直接通分，用立方和公式消去公因式． 附：命题说明表（考点·难度·预计用时） 本表供教师命题与教研核对用，学生用卷不印发．难度：★基础，★★提升，★★★拓展． 1．根式的化简　★　1.5 分钟　｜　2．分数指数幂的运算　★　1.5 分钟　｜　3．对数运算性质　★　1.5 分钟　｜　4．换底公式　★　2 分钟 5．对数在实际问题中的应用　★　2 分钟　｜　6．对数与指数的互化　★　2 分钟　｜　7．指数运算与整体代换　★★　2 分钟　｜　8．根式与幂的运算性质　★★　2.5 分钟 9．对数运算性质辨析　★★　2.5 分钟　｜　10．根式与分数指数幂混合运算　★　2 分钟　｜　11．换底公式　★　1.5 分钟　｜　12．对数的运算与表示　★★　2 分钟 13．对数在实际问题中的应用　★　2 分钟　｜　14．根式、分数指数幂与对数的综合运算　★　6 分钟　｜　15．换底公式与对数运算性质　★★　6 分钟　｜　16．指数的整体代换与立方和公式　★★★　8 分钟 合计：16 题 100 分；基础 10 题、提升 5 题、拓展 1 题；全卷预计用时 45.0 分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $