培优第12讲 对数及其复合函数的图像与性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第12讲 对数及其复合函数的图像与性质 目 录 题型01 对数函数图像与定点问题 题型02 解对数不等式 题型03 对数型函数的值域 题型04 对数型函数的单调性与参数问题 题型05 对数型函数的奇偶性与对称性 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 对数函数图像与定点问题 题型点拨 涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m,b). 【典例1】（25-26·天津）函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是 【答案】2 【分析】依据对数的性质可得，然后利用基本不等式“1”的代换计算即可. 【详解】由题可知：函数的图象过定点，所以. 所以，即，则， 所以，当且仅当，即取等号. 故答案为：2. 【典例2】（25-26·安徽亳州）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 题型2 解对数不等式 题型点拨 解简单对数不等式的方法 （1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； （2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式：可利用图象求解． 【典例1】（25-26·上海）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为时，， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【变式1】（24-25·浙江温州）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把不等式两边化为同底数的形式，再利用函数的单调性列出条件，求解即可. 【详解】因为， 所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为： 题型3 对数型函数的值域 题型点拨 (1)对数函数的值域为(-∞,+∞). (2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的值域. 【典例1】（25-26·重庆）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可. 【详解】，，解得. 故答案为：. 【变式1】（25-26·湖南岳阳）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 题型4 对数型函数的单调性与参数问题 题型点拨 1、对数值比较大小的常用方法 （1）同底：可直接利用单调性求解； （2）不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； （3）不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； （4）底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； （5）如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏． 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 （1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； （2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可． 注意：研究对数型复合函数的单调性，一般要注意先研究函数的定义域． 【典例1】（25-26·广东广州）若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， 所以在R上单调递增，则需满足，解得， 即a的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（25-26·广东佛山）若在区间内单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法求函数的单调递增区间，由条件列不等式求结论. 【详解】由，可得， 故函数的定义域为， 设，， 因为函数为减函数， 函数的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 由已知，且， 所以，且， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型5 对数型函数的奇偶性与对称性 【典例1】已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得． 【变式1】（25-26·浙江）已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由令，判断奇偶性，然后由初等函数的单调性，判断单调性，进而解不等式. 【详解】由可知函数定义域为， 令， 则， 故为奇函数， 由则， 即, 由初等函数可以得到在定义域上单调递增， 故,即,解得或. 故的范围为. 故选：B. 【变式2】（25-26·海南）已知函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】2 【分析】求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果. 【详解】∵函数的定义域为，即，解得或， 即函数的定义域. ∵函数图像关于直线对称，∴， ∵则，即，即，∴， ∴. 故答案为：2. 强化训练（共10题） 1．（25-26·云南昭通）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 2．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质求得，然后妙用“1”可得. 【详解】当时，， 所以，函数过定点，得， 所以，， 因为，， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，的最小值为8. 故选：B 3．（25-26·陕西咸阳）在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 【答案】D 【分析】先由指数函数的图象确定函数底数的取值范围，再由此推断对数复合函数的图象性质，并与已知图象比较，若矛盾则排除. 【详解】对于选项A，由图可知为减函数，故，此时 为上的增函数，与图象矛盾，排除A 对于选项B，由图可知为减函数，故，此时为上 的增函数，与图象矛盾，排除B 对于选项C，由图可知为减函数，故，此时为上的减函数，与图象矛盾，排除C 故选：D． 4．（25-26·重庆）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 5．（25-26·山东青岛）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题构造函数，判断的单调性，从而得到，依次判断各个选项. 【详解】令，由在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增. 若，则，即， . 对于AB，由，得，即，所以，故A错误，B正确； 对于CD，由，得，所以，故选CD错误. 故选：B. 6．（25-26·湖北）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式为，分析可知函数的图象关于直线对称，利用复合函数法分析函数在上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以，函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取、且，即，故， 所以，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26·河北邯郸）（多选）已知函数的图象关于原点对称，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数在上单调递减 C．函数的值域为R D．若，则 【答案】AC 【分析】由题意知函数的奇函数，定义域关于原点对称，求出a的值判断A；利用复合函数的单调性判断B；由对数函数的性质及的值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，定义域关于原点对称， 由，可得， 令，得或，所以，解得，正确； 对于B，因为，， 因为在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，又为奇函数， 所以函数在上单调递增，错误； 对于C，因为， 当x趋于时，趋于0，(-∞,1/3)∪[3,+∞)趋于； 当x趋于1时，趋于，(-∞,1/3)∪[3,+∞)趋于； 所以函数的值域为R，正确； 对于D，由，可得，所以，解得， 又，所以，错误． 故选：AC 8．（25-26·上海）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】单调递增， , 则原不等式为,所以, 所以解集为. 故答案为：. 9．（25-26·江苏镇江）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用给定条件结合对数函数的性质求解值域即可. （2）利用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故， 故，故函数的值域为. （2）因为的最小值为， 所以的最小值为， 令，所以的最小值为， 由二次函数性质，得的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，解得 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得(负根舍去)； 当时，在上单调递减， 所以，解得(不在范围内，舍去)， 综上，实数的值为或. 10．（25-26·云南昆明）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数(-∞,1/3)∪[3,+∞)的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 知识小测（共5题） 1．（25-26·四川绵阳）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 2．（25-26·山东菏泽）若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由于，， 所以函数与函数单调性相反，故排除A，C. 再由可排除B. 故选：D 3．（25-26·辽宁盘锦）函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域判断即可. 【详解】由，得，解得或， 则的定义域为或， 可知在处处无意义，故ABC错误；D正确. 故选：D. 4．（25-26·黑龙江牡丹江）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据对数型函数的定义域、复合函数的单调性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 5．（25-26·天津北辰）已知函数，则函数的定义域为 ； 【答案】 【分析】根据根式、分式列不等式组，结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】令，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $第12讲对数及其复合函数的图像与性质 目录 题型01对数函数图像与定点问题 题型02解对数不等式 题型03对数型函数的值域 题型04对数型函数的单调性与参数问题 题型05对数型函数的奇偶性与对称性 强化训练（共10题) 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1对数函数图像与定点问题 题型点拨 涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律：若fx)klog.g(8+b(a>0,且a≠1)，且g(m)=1,则fx) 图象过定点Pm,b) f(x)=log.(2x-3)+1(a>0且a≠1) A(m,n) 【典例1】(25-26·天津)函数 的图象恒过定点 若对任意正数 12 xy都有mx+w=4,则xy的最小值是 【典例2】(25-26安徽毫州)函 f=h1+） x-1)的图象大致为() B -10 题型2解对数不等式 题型点拨 解简单对数不等式的方法 (1)形如log。x>log。b的不等式：借助y=log。x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1 或0<a<l两种情况讨论； (2)形如log。x>b的不等式：应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=l0g。x的单调性求 解； (3)形如l0g,x>l0g6x的不等式：可利用图象求解。 【典例1】(25-26上海)若0<r<1时，对数函数 =-)的值总大于0，则实数a的取值范围是- 1 【变式1】(24-25浙江温州)若og:2-)>10g53x一2，则实数x的取值范围是 题型3对数型函数的值域 题型点拨 (1)对数函数的值域为(-0，+o) (2)求形如y=-log f(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成 y=log.u(a>0,且a≠1)，u=fx)两个函数；③由定义域求u的取值范围：④利用函数y=-log.u(a>0,且a≠1)的单调性 求值域.同理可求y=f(log.x)(a>0,且a≠1)型复合函数的值域. (x)=lgx2+3x-a) 【典例1】(25-26重庆)已知函数 的值域为R,则“的取值范围是 【变式1】(25-26湖南岳阳)己知函数(=2+1og,x,x(,9],则函数y=[/(]+/()的值域为 题型4对数型函数的单调性与参数问题 题型点拨 1、对数值比较大小的常用方法 (1)同底：可直接利用单调性求解： (2)不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量： (3)不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行 比较： (4)底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较： (5)如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 (1)y=log。f()型：函数y=log,f(x)的单调性与函数=f(x)f()>0)的单调性在a>1时相 同，在0<a<1时相反： (2)y=fog。)型：一般用换元法，即令t=log。x,则只需要研究1=l0g。x及y=f(0的单调性 即可 注意：研究对数型复合函数的单调性，一般要注意先研究函数的定义域. x-2,x≤2， 【奥例1】(25-26广东广州若a>0且g已知儿) log(x2-ax,x>2是R上的单调函数，则实 数a的取值范围为 【变式1】(25-26广东佛山)若（因）=0e:t+4+5)在区间（3m-2,m+2)内单调递增，则实数m的 取值范围为 题型5对数型函数的奇偶性与对称性 【典例1】已知f()=ln1+)+ln(1-x),若f(2a-)<f(-a),则实数a的取值范围是() B.c. D.(0,1) 【变式11(2526浙江)已知函数f()=1o3:(+1+）+2,若f(2-3)+f3x-1)>4则实数x的取 值范围为() 3-173+V17 A.(-4,1） B.(-,-40u+w)C.22D.（13) 【变式2】(25-26海南)已知函数f(y)=(c+a)nx-b 的图像关于直线x=2对称，则a+b=一 强化训练（共10题） 1.(2526云南昭通)设”=29,6=10g1.Lc=1og,2.4,bc ，则“的大小关系是() A.a>b>c B a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 之.医数y=g,x+a+2(4>0且a1)的图象恒过定点化，），若m+n=b-k且m≥0，n>0,则 9n+m mn的最小值为() A.9 B.8 c.2 3.(25-26陕西咸阳)在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（) 秦 A.y=a和y=log.(←) B.y=a和y=og.x C.y=a和y=log。x D.y=a和'=log,( 32+ 4（25:26重庆)函数()= -2 3 的值域为() A.(2g2,+∞) B.(0,+o) c.（l,+o) D.[lg2.+) 5.(25-26山东青岛)若2-2”<3-3’，则（) A.In(y-x+1)<0 B.In(y-x+1)>0 C.e*>e D.e*<1 6(25.26期北)已知函数/)=l0e,(9+9)-,若a+22f2a-l)成立，则实数“的取值范围为 () A.（-00,3] e D.(-o,1/3)U[3,+o) 7.(25-26河北邯郸)（多选）已知函数)=hn+ ”1一x的图象关于原点对称，则下列结论正确的是( A.a=1 B.函数()在(1，)上单调递减 C.函数f(x)的值域为R D.若f>h2,则x>号 8.(25-26上海)不等式 2"+log3x>9 的解集为 9.(25-26江苏镇江)已知函数 ((o. f(x) (①)当a=0时，求函数 的值域： (2)若函数 (x) 的最小值为6，求实数“的值 10,(25-26云南昆明)已知函数f0=log,?-2ax+3) (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)若函数(x)的值域为R,求实数a的取值范围： (3)若函数)的值域为-，-，求实数a的值. 知识小测（共5题） 1.(25-26四川绵阳)函数f()r+n 的大致图象为() 2.(25-26山东菏泽)若a>0且a≠1，则函数fx)=a-1与函数8()=1og.在同一坐标系中的图象 可能是() x+1 3.(25-26辽宁盘锦)函数f()=1og,的图象简图可能是（) O 4.(2526累龙江牡丹江《多速)已知函数f四)=n(x-2列+血8-，则() A四的定义拨为28】 B.f冈在2,4)上单调递增 C.闪在48)上单调递减 D.f的值诚为，2h 5.(2s6天弹北辰)已知函数儿)8：4-可+5x4,则函数的定义域为一：