2.3二次函数综合专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

二次函数综合（专题练习·解析版） 专题练习　45 分钟　满分 100 分 人教A版（2019）高中数学必修第一册　跨章专题 专题三　二次函数综合 本卷共 16 题，满分 100 分，预计用时 45 分钟。考查二次函数在闭区间上的最值、含参分类讨论、零点分布、恒成立与存在性问题。 本卷共 16 题，满分 100 分，全卷预计用时 45 分钟；基础 10 题、提升 5 题、拓展 1 题。逐题考点、难度与用时见卷末命题说明表。 一、单项选择题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1．运动员从跳台起跳后，相对水面的高度 （单位：m，t 的单位：s）．则他达到的最大高度为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】C 【解析】，当 时取最大值 15，即最大高度为 15 m． 【点拨】配方后顶点纵坐标就是最大高度，不要与起跳高度 10 m 混淆． 2．某商品降价 x 元后，日利润 y（百元）满足 （），则日利润的最大值为（　　） A． 百元 B． 百元 C． 百元 D． 百元 【答案】B 【解析】，当 时取得最大值 3，即最大日利润为 3 百元． 【点拨】先配方再判断顶点是否在定义域内，本题 ． 3．若二次函数 的图象关于 y 轴对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图象关于 y 轴对称，说明对称轴 ，所以 ． 【点拨】对称轴为 ，本题 ． 4．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得 ． 【点拨】“两个不相等的实数根”对应 ，不要取等号． 5．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 或 ． 【点拨】零点是自变量的值，不是坐标点． 6．若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 a 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时，f(x) 在 上单调递增，最小值为 ，不合题意；当 时，最小值为 ，得 或 （舍去）；当 时，最小值为 ，得 （舍去）．综上，． 【点拨】求出 后必须用对称轴所在范围检验， 不在 内． 7．若不等式 对任意实数 x 恒成立，则 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次项系数为正，恒成立的条件是 ，解得 ． 【点拨】开口向上且与 x 轴无交点，对应 ，不含等号． 二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 8．关于二次函数 （），下列结论正确的是（　　） A．当 时，图象开口向上　　B．若 ，则 对任意实数 x 恒成立 C．若 ，，则 f(x) 在 内必有零点　　D．图象的对称轴为直线 【答案】ACD 【解析】A 正确；B 中当 且 时， 恒成立，故 B 错误；C 中函数图象连续，端点函数值异号，由零点存在定理知 内必有零点，正确；D 是二次函数对称轴公式，正确． 【点拨】B 选项漏掉了开口方向的限制， 只说明与 x 轴无交点． 9．已知 ，下列结论正确的是（　　） A．当 时，f(x) 在 上的最小值为 　　B．f(x) 在 上单调递增的充要条件是 C．若 f(x) 在 上的最大值为 ，则 a 的取值范围是 　　D．若 对任意实数 x 恒成立，则 【答案】ABC 【解析】A 中 ，最小值为 2，正确；B 中对称轴 ，在 上单调递增需 ，正确；C 中当 时最大值为 ，当 时最大值为 ，故 a 的取值范围是 ，正确；D 中恒成立需 ，即 ，错误． 【点拨】C 选项要分对称轴与区间中点的位置讨论，不能只看端点；D 中判别式的结果是 不是 3． 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 10．函数 在区间 上的最小值为________． 【答案】 【解析】，对称轴 ，所以最小值为 ． 【点拨】先判断对称轴是否落在给定区间内，再取顶点值． 11．若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则 ________． 【答案】 【解析】，解得 或 ． 【点拨】两个相等的实数根对应 ，不要漏掉负值． 12．函数 在区间 上的值域是________． 【答案】 【解析】，最小值 ；又 ，，所以最大值为 6，值域为 ． 【点拨】闭区间上的值域要同时比较两个端点与顶点． 13．若不等式 对任意 恒成立，则 a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】当 时，原不等式等价于 ．因为 （ 时取等号），所以 ，故只需 ． 【点拨】分离参数后要求 a 小于右边式子的最小值，等号取不到． 四、解答题（本题共 3 小题，共 44 分） 14．（14 分）已知函数 ． （1）当 时，求 f(x) 在 上的最大值和最小值； （2）求 f(x) 在 上的最小值 的解析式； （3）若 ，求 a 的值． 【答案】（1）最大值为 ，最小值为 　（2）（），（），（）　（3） 【解析】（1）当 时，，在 上 ，，，所以最大值为 3，最小值为 2．（2）对称轴为 ．当 时，f(x) 在 上单调递增，；当 时，；当 时，f(x) 在 上单调递减，．（3）当 时，；当 时，由 得 或 （舍去）；当 时，由 得 （舍去）．综上，． 【点拨】（2）分类讨论的分界点是对称轴与区间端点的位置关系；（3）求出的 a 必须回到对应范围检验． 15．（14 分）已知函数 ． （1）若 f(x) 的两个零点都大于 1，求 m 的取值范围； （2）若 f(x) 在 上的最小值为 2，求 m 的值； （3）若 f(x) 的两个零点都小于 0，求 m 的取值范围． 【答案】（1）　（2） 或 　（3） 【解析】（1）需同时满足：，即 或 ；对称轴 ；，即 ．取交集得 ．（2）当 时，最小值为 ，得 （舍去）；当 时，最小值为 ，得 或 ；当 时，最小值为 ，得 （舍去）．所以 或 ．（3）需同时满足 ，对称轴 ，，即 ，取交集得 ． 【点拨】零点分布要同时检查判别式、对称轴、端点函数值三个条件，缺一不可． 16．（16 分）已知函数 ． （1）若对任意 ， 恒成立，求 a 的取值范围； （2）若存在 ，使 成立，求 a 的取值范围； （3）若对任意 ，都有 成立，求 a 的取值范围． 【答案】（1）　（2）　（3） 【解析】（1） 即 ．当 时显然成立；当 时，，而 （ 时取等号），所以 ．（2）存在性问题只需最小值 ．当 时，最小值为 ，不合题意；当 时，，得 ；当 时，，得 ，符合 ．综上，．（3） 对任意 成立，等价于 f(x) 在 上的最大值与最小值之差不超过 4．当 时，差为 ，不合题意；当 时，差为 ，得 ；当 时，差为 ，得 ；当 时，差为 ，不合题意．综上，． 【点拨】（1）是“恒成立”求参数上界，（2）是“存在性”求参数下界，两者方向相反；（3）先转化为最值差． 附：命题说明表（考点·难度·预计用时） 本表供教师命题与教研核对用，学生用卷不印发．难度：★基础，★★提升，★★★拓展． 1．二次函数的最值（实际问题）　★　1.5 分钟　｜　2．二次函数的最值（实际最优化）　★　1.5 分钟　｜　3．二次函数的对称轴　★　1.5 分钟　｜　4．二次方程根的判别式　★　2 分钟 5．二次函数的零点　★　1.5 分钟　｜　6．含参二次函数在闭区间上的最值　★★　2.5 分钟　｜　7．二次不等式恒成立　★　2 分钟　｜　8．二次函数的图象与性质　★　2.5 分钟 9．二次函数的单调性、最值与恒成立　★★　2.5 分钟　｜　10．二次函数在闭区间上的最值　★　1.5 分钟　｜　11．二次方程根的判别式　★　1.5 分钟　｜　12．二次函数在闭区间上的值域　★★　2 分钟 13．二次不等式在给定区间上恒成立　★★　2.5 分钟　｜　14．含参二次函数在闭区间上的最值　★★　6 分钟　｜　15．二次函数零点的分布　★★　6 分钟　｜　16．二次函数恒成立与存在性问题　★★★　8 分钟 合计：16 题 100 分；基础 10 题、提升 5 题、拓展 1 题；全卷预计用时 45.0 分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数综合（专题练习·原卷版） 专题练习　45 分钟　满分 100 分 人教A版（2019）高中数学必修第一册　跨章专题 专题三　二次函数综合 班级：　　　　　　姓名：　　　　　　得分：　　　　　　 本卷共 16 题，满分 100 分，预计用时 45 分钟。考查二次函数在闭区间上的最值、含参分类讨论、零点分布、恒成立与存在性问题。 一、单项选择题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 1．运动员从跳台起跳后，相对水面的高度 （单位：m，t 的单位：s）．则他达到的最大高度为（　　） A． m B． m C． m D． m 2．某商品降价 x 元后，日利润 y（百元）满足 （），则日利润的最大值为（　　） A． 百元 B． 百元 C． 百元 D． 百元 3．若二次函数 的图象关于 y 轴对称，则 （　　） A． B． C． D． 4．若关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的零点是（　　） A． B． C． D． 6．若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 a 的值为（　　） A． B． C． D． 7．若不等式 对任意实数 x 恒成立，则 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分） 8．关于二次函数 （），下列结论正确的是（　　） A．当 时，图象开口向上　　B．若 ，则 对任意实数 x 恒成立 C．若 ，，则 f(x) 在 内必有零点　　D．图象的对称轴为直线 9．已知 ，下列结论正确的是（　　） A．当 时，f(x) 在 上的最小值为 　　B．f(x) 在 上单调递增的充要条件是 C．若 f(x) 在 上的最大值为 ，则 a 的取值范围是 　　D．若 对任意实数 x 恒成立，则 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 10．函数 在区间 上的最小值为________． 11．若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则 ________． 12．函数 在区间 上的值域是________． 13．若不等式 对任意 恒成立，则 a 的取值范围是________． 四、解答题（本题共 3 小题，共 44 分） 14．（14 分）已知函数 ． （1）当 时，求 f(x) 在 上的最大值和最小值； （2）求 f(x) 在 上的最小值 的解析式； （3）若 ，求 a 的值． 15．（14 分）已知函数 ． （1）若 f(x) 的两个零点都大于 1，求 m 的取值范围； （2）若 f(x) 在 上的最小值为 2，求 m 的值； （3）若 f(x) 的两个零点都小于 0，求 m 的取值范围． 16．（16 分）已知函数 ． （1）若对任意 ， 恒成立，求 a 的取值范围； （2）若存在 ，使 成立，求 a 的取值范围； （3）若对任意 ，都有 成立，求 a 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $