2.3 二次函数与一元二次方程、不等式常见十种题型同步练习（基础卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式常见十种题型（基础卷）

目　录

题型一　一元二次不等式的解法

题型二　三个二次的关系

题型三　分式不等式与高次不等式

题型四　含参一元二次不等式

题型五　恒成立问题

题型六　二次函数在给定区间上的最值

题型七　一元二次方程根的分布

题型八　一元二次不等式的实际应用

题型九　集合与不等式的综合

题型十　综合解答题

 

 

题型一　一元二次不等式的解法

【解题技巧】（解一元二次不等式三步走：①把二次项系数化为正；②求对应方程的根（能因式分解就分解，否则用求根公式）；③按「大于零取两边、小于零取中间」写解集；Δ＜0时：a＞0则解集为R（不等式＞0）或∅（不等式＜0），a＜0则相反；Δ＝0时解集是去掉一个点的区间或单点集，注意等号；解集端点与方程根、图象与x轴交点三者的对应关系是本章的主线.）

1．不等式 x2－5x＋6＜0 的解集是（　　）

A．{x|x＜2或x＞3}

B．{x|2＜x＜3}

C．{x|－3＜x＜－2}

D．{x|2≤x≤3}

2．不等式 2x2＋x－1≤0 的解集是（　　）

A．{x|－1≤x≤}

B．{x|x≤－1或x≥}

C．{x|－≤x≤1}

D．{x|x≤－或x≥1}

3．不等式 －x2＋4x－3＞0 的解集是______.

4．不等式 x2－2x＋1＞0 的解集是（　　）

A．{x|x＞1}

B．R

C．∅

D．{x|x≠1}

题型二　三个二次的关系

【解题技巧】（「二次函数图象、二次方程根、二次不等式解集」三位一体：解集端点就是对应方程的根，开口方向决定「两根之间还是两根之外」；已知解集求参数：把端点代入方程用根与系数的关系（x1＋x2＝－，x1x2＝）列式，别忘检验开口方向；系数倒序（ax2＋bx＋c与cx2＋bx＋a）时新方程的两根是原两根的倒数，并注意除以a时不等号是否反向.）

5．若不等式 x2＋bx＋c＜0 的解集为{x|－1＜x＜2}，则b＋c＝（　　）

A．1

B．－1

C．－3

D．3

6．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上，与x轴交于点(－1，0)，(3，0)，则不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是（　　）

A．{x|x＜－1或x＞3}

B．{x|－1＜x＜3}

C．{x|－3＜x＜1}

D．R

7．已知关于x的不等式 x2－ax＋b＜0 的解集为{x|2＜x＜5}，则a＋b＝______.

题型三　分式不等式与高次不等式

【解题技巧】（分式不等式先移项通分，再化为「商」与「积」同号的问题：≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；高次不等式用穿根法：把各因式的一次项系数化为正，标出所有零点，从右上方开始「奇次穿过、偶次弹回」；平方因式对应的零点必须挖去（不等式取等号时除外）；最后把各区间的并集写成集合或区间形式.）

8．不等式 ＞0 的解集是（　　）

A．{x|x＜－2或x＞1}

B．{x|－2＜x＜1}

C．{x|x＜－1或x＞2}

D．{x|－1＜x＜2}

9．不等式 ≤0 的解集是（　　）

A．{x|x＜－3或x≥}

B．{x|－3≤x≤}

C．{x|x≤－3或x≥}

D．{x|－3＜x≤}

10．不等式 (x－1)(x－2)(x－3)＞0 的解集是（　　）

A．{x|2＜x＜3}

B．{x|x＜1或2＜x＜3}

C．{x|1＜x＜2或x＞3}

D．{x|x＞3}

题型四　含参一元二次不等式

【解题技巧】（含参讨论的顺序：①二次项系数是否为零（一次不等式）；②开口方向；③判别式与根的存在性；④两根的大小关系（作差或比较）；因式分解后两根含参时，务必分「a＞较大根」「a＝根」「a＜较小根」三类；解集为∅或为R时，往往转化为「开口方向＋判别式」的条件组；每种情形都要写出完整解集，最后不需要合并（分类即结论）.）

11．已知关于x的不等式 x2－3x＋a＜0 的解集为空集，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞

B．a≥

C．a≤

D．a＜

12．已知不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|－2＜x＜1}，求a，b的值，并求不等式 x2－ax＋b＜0 的解集.

13．解关于x的不等式 x2－(2a＋1)x＋a2＋a＜0（a∈R）.

题型五　恒成立问题

【解题技巧】（在R上恒成立：a＞0时ax2＋bx＋c＞0⇔Δ＜0；ax2＋bx＋c＜0⇔a＜0且Δ＜0；二次项系数含参时先讨论它是否为零；在给定区间上恒成立：优先「分离参数」——a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；分离后若最值在端点或顶点取得，可用配方、单调性或基本不等式求；也可用「区间端点函数值＋对称轴」的图象法，注意等号能否取到.）

14．若不等式 x2－2x＋m＞0 对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞1

B．m≥1

C．m＜1