精品解析：北京市第八中学2026-2027学年七年级上学期期中数学试卷

2026－2027学年度第一学期期中练习题 年级：初一年级 科目：数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，27个小题，共100分．考试时间100分钟； 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共20分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　） A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109 3. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元．那么元表示（ ） A. 支出180元 B. 支出80元 C. 收入20元 D. 收入120元 4. 下列整式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 最高次项是 B. 一次项系数是 C. 是四次三项式 D. 常数项是 7. ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式进行的变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 下列去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个大于9的正整数等于它各位数字之和加上各位数字之积，则称这个数为巧数．例如：，所以19是巧数．下列说法中正确的是（ ） ①25是巧数； ②两位数中恰有9个巧数； ③若一个正整数的某一位数字是0，则它一定不是巧数； ④三位数中存在巧数． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 列代数式，x的3倍与y的一半的差为_______. 12. 将5.249精确到0.1所得的近似数是______． 13. 比较大小：_________（填“<”或“>”）． 14. 数轴上与表示－3的点的距离等于4的点表示的有理数是______． 15. 若与的和为单项式，则_______，_______． 16. 已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为_______． 17. 已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小三角形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是______．（用含和的代数式表示） 18. 德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下： ①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行； ②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③各个步骤所需时间如下表所示： 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 _______分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 _______分钟． 三、解答题（19题16分，20题8分，21题4分，22题6分，23题4分，24题5分，25题8分，26题8分，27题5分，共64分） 19. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，正方形的边长为a，线段的长是b，线段的长是3． （1）用含a、b的代数式表示：_______；_______； （2）根据图中数据，阴影部分的面积为_______（用含a、b的代数式表示）； （3）当，时，求图中阴影部分的面积． 22. 已知，． （1）化简； （2）当时，求，及的值； （3）若的值与的取值无关，求的值． 23. 阅读材料，并回答问题． 生活中常用十进制，而计算机中常用二进制． 一般地，n进制数转换为十进制数的方法是： ．（其中，且n为整数，是小于n的自然数） 例如：． 反过来，十进制数也可以改写成二进制．例如： （1）将二进制数转化为十进制数为_______； （2）将十进制数21改写成二进制数为_______； （3）已知八进制数转化为十进制数后的值为189，求的值． 24. 某园区试用智能取餐柜，取餐柜既可以普通存放，也可以在取餐前开启保温功能．运营方提供两种收费方案： 方案甲 不收月管理费；每次普通取餐元，若本次使用保温功能，则另外加收元． 方案乙 每月收元管理费；每次普通取餐元；若本次使用保温功能，则另外加收元． 某月小明在使用智能取餐柜时，普通取餐有次，使用保温功能的取餐次数为次（为非负整数）． （1）请用含的代数式分别表示小明选择方案甲和方案乙时该月的总费用； （2）若小明该月使用保温功能的取餐次数为次，则小明应该选择哪种方案； （3）当两种方案该月的总费用相同时，求的值． 25. 已知数轴上三个点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为b，点C到点A，B的距离相等． （1）若，则点C表示的数为_______； （2）若点C到原点的距离为1，则_______； （3）点M在点N的左侧，点M表示的数为m，且； ①当，若此时点C在线段上，则b的取值范围是_______； ②若，在线段运动的过程中，线段上存在一点P，满足，求m的取值范围． 26. 钟表中蕴含着有趣的数学知识，当采取12小时制时，如果用0时代替12时，则称大于等于0且小于等于11的整数为钟表数．例如：当时间为10时时，4小时以后在表盘上看到的是2时，可以表示为，其中符号“”表示钟表加法；当时间为2时时，4小时之前在表盘上看到的是10时，可以表示为，其中符号“”表示钟表减法． 按照上面的叙述，完成下列问题： （1）________；________； （2）已知钟表数x满足，则钟表数x的值为________； （3）若规定钟表运算中相加得0的两个钟表数互为钟表相反数．则钟表相反数等于它本身的钟表数是________； （4）像这样几个相同钟表数的和可以用符号“”写成乘积的形式，即，其中符号前的数字3为钟表数，符号后的数字4为相同钟表数的个数． ①_______； ②若，则称b是a的钟表倒数（其中a为钟表数，b为自然数），通过计算说明：钟表数6没有钟表倒数． 27. 定义：数轴上不同的两点、，当在的右侧时，若存在点到点的距离恰好为点到点的距离的倍（为正整数），则称是倍友好点．在数轴上，点为原点，点，，分别表示，和． （1）点_______（填“是”或“不是”）倍友好点； （2）点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，则开始运动_______秒后，点为倍友好点，此时的值为______； （3）点为线段上任意一点（不与、重合），点为倍友好点，为倍友好点，且、分别在线段和上，若存在正整数、、，使得为定值，则的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期期中练习题 年级：初一年级 科目：数学 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，27个小题，共100分．考试时间100分钟； 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共20分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（　　） A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108 故选∶A 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确的找到a，n的值． 3. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元．那么元表示（ ） A. 支出180元 B. 支出80元 C. 收入20元 D. 收入120元 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵收入100元记作元，即收入记为正， ∴元表示支出80元． 4. 下列整式中，不是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．据此对各选项判断即可． 【详解】解：A．与，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项不符合题意； B．与是同类项，故此选项不符合题意； C．与，所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项不符合题意； D．与，所含字母不相同，不是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，把代入方程， 得， 即， 解得． 6. 对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 最高次项是 B. 一次项系数是 C. 是四次三项式 D. 常数项是 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于多项式，最高次项为，故A错误； 一次项为，系数为，故B错误； 该多项式最高次数为，共项，是三次四项式，故C错误； 常数项为，故D正确． 7. ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴． 8. 下列各式进行的变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、对两边乘得，变形正确，不符合题意； B、C. 对分别加、减，得、， 变形均正确，不符合题意； D. 对两边乘得，变形错误，符合题意． 9. 下列去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查去括号的规则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变，需逐项检查去括号是否正确 【详解】解：选项A：，但原选项为 ，错误； 选项B：，但原选项为 ，错误； 选项C：，与原选项一致，正确； 选项D：，但原选项为 ，错误； 故选C 10. 若一个大于9的正整数等于它各位数字之和加上各位数字之积，则称这个数为巧数．例如：，所以19是巧数．下列说法中正确的是（ ） ①25是巧数； ②两位数中恰有9个巧数； ③若一个正整数的某一位数字是0，则它一定不是巧数； ④三位数中存在巧数． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】将多位数用各数位数字表示，结合巧数定义列等式化简，逐一判断结论． 【详解】解：① 25的各位数字和为，各位数字积为，， 故25不是巧数，①错误； ② 设两位数为，其中，，为整数， 由巧数定义得， 化简得， ∵， ∴， 即个位为9的两位数是巧数，可取1到9，共9个，故②正确； ③ 若正整数的某一位数字是0，则各位数字之积为0； 假设它是巧数，则该数等于各位数字之和. 对于大于9的两位数，，即数值大于各位数字之和， 三位数及以上的数，数值与各位数字之和的差更大，故数值必大于各位数字之和，矛盾， 因此有一位数字为0的数一定不是巧数，③正确； ④设三位数为，其中，，为整数， 由巧数定义得， 化简得， 两边除以得， ∵，， ∴， 又∵， ∴，矛盾， 故三位数中不存在巧数，④错误；　 综上，正确的是②③． 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 列代数式，x的3倍与y的一半的差为_______. 【答案】 【解析】 【分析】x的3倍表示为，y的一半表示为，然后表示出x的3倍与y的一半的差即可． 【详解】解：由题意得，x的3倍与y的一半的差表示为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，主要是对文字语言转化为数学语言的能力的考查． 12. 将5.249精确到0.1所得的近似数是______． 【答案】5.2 【解析】 【分析】把百分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：5.249≈5.2， 故答案为：5.2． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 13. 比较大小：_________（填“<”或“>”）． 【答案】 【解析】 【分析】两个负数比较大小，先计算两数的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”的规则判断大小． 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴． 14. 数轴上与表示－3的点的距离等于4的点表示的有理数是______． 【答案】1或##-7或1 【解析】 【分析】分①这个点在表示的点的左侧，②这个点在表示的点的右侧两种情况，再根据数轴的性质、有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当这个点在表示的点的左侧时， 则这个点表示的有理数是； ②当这个点在表示的点的右侧时， 则这个点表示的有理数是； 综上，这个点表示的有理数是1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了数轴、有理数加减的应用，正确分两种情况讨论是解题关键． 15. 若与的和为单项式，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ 两个单项式的和为单项式， ∴ 两个单项式是同类项，所含相同字母的指数分别相等， ∴ 对字母，有， 对字母，有， 解，得， 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 16. 已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数和倒数的定义得到，，将其代入代数式完成计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∴． 17. 已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小三角形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是______．（用含和的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据图形正确列代数式是解题关键．由图形可知，四个相同的小三角形的较长直角边长为、较短直角边长为，即可列式． 【详解】解：由图形可知，四个相同的小三角形的较长直角边长为、较短直角边长为， 则阴影部分正方形的边长是， 故答案为：． 18. 德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下： ①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤C、D都完成后进行； ②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤； ③各个步骤所需时间如下表所示： 步骤 A B C D E F G 所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 _______分钟；若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 _______分钟． 【答案】 ①. 61 ②. 31 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据种植要求得出种植步骤是解题的关键． 将所有步骤需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B；然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G；最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，然后可得答案． 【详解】解：由题意，得：(分钟)， 即：一名学生单独完成需要分钟， 假设这两名学生为甲、乙， ∵步骤C，D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B，D都完成后进行，且步骤A，B都需要10分钟完成， ∴甲学生做步骤A，乙学生同时做步骤B，需要10分钟，然后甲学生做步骤D，乙学生同时做步骤C，乙学生步骤C完成后接着做步骤G，需要12分钟，但此时甲同学后面多两分钟剩余，最后甲学生做步骤F，乙学生同时做步骤E，还需要9分钟(减去前面剩余2分钟)， 如下图所示： ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要(分钟)， 故答案为：61，31． 三、解答题（19题16分，20题8分，21题4分，22题6分，23题4分，24题5分，25题8分，26题8分，27题5分，共64分） 19. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则解答即可； （2）把带分数转化为假分数，把除法转化为乘法，再按照乘法运算法则解答即可； （3）用乘法的分配律，解答即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式． 【小问4详解】 解：原式． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； 【小问2详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 21. 如图，正方形的边长为a，线段的长是b，线段的长是3． （1）用含a、b的代数式表示：_______；_______； （2）根据图中数据，阴影部分的面积为_______（用含a、b的代数式表示）； （3）当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2）； （3）41． 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差计算即可； （2）根据阴影部分的面积等于正方形面积减去两个三角形面积计算即可； （3）把a、b的数值代入（2）中所求代数式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意；； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积为； 【小问3详解】 解：当，时， 阴影部分的面积为． 22. 已知，． （1）化简； （2）当时，求，及的值； （3）若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入化简； （2）利用非负性求出和的值，再整体代入； （3）通过令的系数为零求出的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 则，且， 解得，， ； 【小问3详解】 ， 又的值与的取值无关， 所以， 解得． 23. 阅读材料，并回答问题． 生活中常用十进制，而计算机中常用二进制． 一般地，n进制数转换为十进制数的方法是： ．（其中，且n为整数，是小于n的自然数） 例如：． 反过来，十进制数也可以改写成二进制．例如： （1）将二进制数转化为十进制数为_______； （2）将十进制数21改写成二进制数为_______； （3）已知八进制数转化为十进制数后的值为189，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二进制运算规律计算即可； （2）把21拆成的乘方即可转化； （3）根据进制的转换得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， 解得． 24. 某园区试用智能取餐柜，取餐柜既可以普通存放，也可以在取餐前开启保温功能．运营方提供两种收费方案： 方案甲 不收月管理费；每次普通取餐元，若本次使用保温功能，则另外加收元． 方案乙 每月收元管理费；每次普通取餐元；若本次使用保温功能，则另外加收元． 某月小明在使用智能取餐柜时，普通取餐有次，使用保温功能的取餐次数为次（为非负整数）． （1）请用含的代数式分别表示小明选择方案甲和方案乙时该月的总费用； （2）若小明该月使用保温功能的取餐次数为次，则小明应该选择哪种方案； （3）当两种方案该月的总费用相同时，求的值． 【答案】（1）方案甲总费用为元，方案乙总费用为元 （2）小明应该选择甲方案 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）按收费规则，将基础费用和保温附加费相加，列出代数式； （2）把代入两个式子算出费用，比较大小； （3）列一元一次方程，解方程求出费用相等时保温次数． 【小问1详解】 解：根据题意可知， 若小明选择方案甲， 则该月的总费用为元， 若小明选择方案乙， 则该月的总费用为元． 【小问2详解】 解：当该月使用保温功能的取餐次数为次时， 甲方案的费用为元， 乙方案的费用为元， ， 故小明应选择甲方案． 【小问3详解】 解：当两种方案该月的总费用相同时， 可得， 则， 解得， 故当两种方案该月的总费用相同时，的值为． 25. 已知数轴上三个点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为b，点C到点A，B的距离相等． （1）若，则点C表示的数为_______； （2）若点C到原点的距离为1，则_______； （3）点M在点N的左侧，点M表示的数为m，且； ①当，若此时点C在线段上，则b的取值范围是_______； ②若，在线段运动的过程中，线段上存在一点P，满足，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据中点公式求解； （2）若点C到原点的距离为1，则，分别求解即可； （3）①根据点C表示的数在M与N之间（可重合）列不等式即可；②设点P表示的数为x，根据列方程，求出x的值，再根据点P在线段上列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：点C表示的数为：； 【小问2详解】 解：若点C到原点的距离为1，则， 当时，， 当时，， 即或； 【小问3详解】 解：①当时，点M表示的数为0， 点N表示的数为：， 点C表示的数为：， 若此时点C在线段上，则， 解得； ②当时，点B表示的数为9， 设点P表示的数为x， ， ，即， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍）， 点P表示的数为5或21， 点M在点N的左侧，点M表示的数为m，且， 点N表示的数为， 当点P表示的数为5时，， 解得； 当点P表示的数为21时，， 解得； 综上可得m的取值范围为或． 26. 钟表中蕴含着有趣的数学知识，当采取12小时制时，如果用0时代替12时，则称大于等于0且小于等于11的整数为钟表数．例如：当时间为10时时，4小时以后在表盘上看到的是2时，可以表示为，其中符号“”表示钟表加法；当时间为2时时，4小时之前在表盘上看到的是10时，可以表示为，其中符号“”表示钟表减法． 按照上面的叙述，完成下列问题： （1）________；________； （2）已知钟表数x满足，则钟表数x的值为________； （3）若规定钟表运算中相加得0的两个钟表数互为钟表相反数．则钟表相反数等于它本身的钟表数是________； （4）像这样几个相同钟表数的和可以用符号“”写成乘积的形式，即，其中符号前的数字3为钟表数，符号后的数字4为相同钟表数的个数． ①_______； ②若，则称b是a的钟表倒数（其中a为钟表数，b为自然数），通过计算说明：钟表数6没有钟表倒数． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）① ②证明：，，，，， 当，为偶数时，是的倍数， 则， 当，为奇数时，被整除余， 则， 综上，钟表数6没有钟表倒数． 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算求解； （2）由，则，结合即可求解； （3）根据定义可知在钟表中，相加为12的两个数互为相反数，据此求解即可； （4）①根据进行求解； ②由，，，，再总结规律求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：，， ， 又， 所以； 【小问3详解】 解：在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用0时代替12时， 所以在钟表中，相加为12的倍数的两个数互为相反数， 又，又， 则钟表相反数等于它本身的钟表数是或； 【小问4详解】 解：①， ； ②略. 27. 定义：数轴上不同的两点、，当在的右侧时，若存在点到点的距离恰好为点到点的距离的倍（为正整数），则称是倍友好点．在数轴上，点为原点，点，，分别表示，和． （1）点_______（填“是”或“不是”）倍友好点； （2）点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，则开始运动_______秒后，点为倍友好点，此时的值为______； （3）点为线段上任意一点（不与、重合），点为倍友好点，为倍友好点，且、分别在线段和上，若存在正整数、、，使得为定值，则的最小值为_______． 【答案】（1）是 （2）秒， （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）先把新定义翻译成数轴上的距离等式，按点在两点之间与在两点之外两种情形解出所表示的数，再代入具体数值判断； （2）用含的式子表示点、点所表示的数，由（1）的距离等式列出关于、的方程，结合与为正整数取舍； （3）先按定义中在右侧的前提校正有序对，设点所表示的数为，由（1）的推导分别求出、、，代入后令的系数为零，再由正整数条件求最小值． 【小问1详解】 解：设点、表示的数分别为、，且，点表示的数为． ∵是的倍友好点，即． ∴当时，得． ∴当时，得（）． ∴当时只有，即、的中点． ∵表示，表示，表示，且． ∴，，． ∴取，是的倍友好点，故答案为：是． 【小问2详解】 解：设运动秒，则表示，表示，表示． ∵，． ∴，． 由（1）的推导知为的倍友好点，即． ∴，即． ∵为正整数且，时，时，都不合题意． ∴只有，此时． ∴开始运动秒后满足条件，此时． 【小问3详解】 解：设点、、表示的数分别为、、． ∵点在线段上且不与、重合． ∴． 由（1）的推导知的倍友好点满足． ∵点在线段上． ∴，得． ∴． 由（1）的推导知的倍友好点满足． ∵点在线段上． ∴，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵上式为定值，与的取值无关． ∴，即． ∴． ∴． ∵为正整数，为偶数，即、同奇偶． ∴取、时，最小，为． 取、、代入，式子的值为，与的取值无关． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $