3.3.2 抛物线的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

3.2 抛物线的简单几何性质 一句话总纲 🔍 摸透抛物线几何特征，用好数形结合，轻松拿下各类相关考题。 新课标依据 1. 掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的性质解决相关解析几何问题。 2. 经历探究抛物线几何性质的过程，体会数形结合的思想方法。 3. 发展直观想象、数学运算与逻辑推理素养。 学习目标 1. 能掌握不同标准形式下抛物线的范围、焦点坐标、准线方程、对称轴等基本几何性质，能准确写出给定抛物线的相关性质参数。 2. 会比较同一坐标系下不同抛物线的开口大小差异，能准确判断抛物线的对称性。 3. 能运用抛物线的对称性解决简单的抛物线上点的对称、相关弦的问题。 4. 理解抛物线几何性质与标准方程的对应关系，能迁移抛物线几何性质的探究方法解决各类性质应用问题。 重点 1. 掌握抛物线标准方程对应的基本几何性质，能准确确定对应抛物线的焦点坐标与准线方程。 2. 明确抛物线开口大小与焦参数的关系，掌握越大抛物线开口越大的规律。 3. 能运用抛物线的对称性结合焦点、准线性质解决抛物线相关几何应用问题。 难点 1. 混淆不同开口方向抛物线的范围、焦点坐标与准线方程，对不同形式抛物线的性质边界记忆混淆，更换开口方向后极易出现错误。 2. 比较抛物线开口大小时，忽略“仅开口方向共轴时才能直接通过值比较开口宽窄”的方法边界，误认为任意抛物线都可直接通过值判断开口大小，容易记错与开口宽窄的对应关系。 3. 应用抛物线对称性解决问题时，无法准确结合抛物线的范围限制推导对称点的坐标关系，容易出现漏解或增解。 一、抛物线几何性质 🎯 核心内容 💡 四种标准形式的抛物线都仅有一个顶点、一条对称轴，离心率恒为，无对称中心。 所有抛物线的几何性质都可以结合开口方向与对应标准方程推导，无需死记硬背。 解决抛物线基础性质类问题时，优先结合开口方向用数形结合分析，比纯代数计算更快捷准确。 ▸ 考点 1 抛物线范围 🎯 核心内容 💡 本考点要求根据抛物线标准方程确定横、纵坐标的取值范围，所得范围常用来限定抛物线上动点的坐标，求解最值、交点存在性类问题。所有抛物线的范围都可以结合开口方向与标准方程的不等关系推导，无需死记硬背，结合图形就能快速判断。 ✍️ 答题技巧 看到给定标准形式的抛物线求范围，先结合开口方向直接写结论：开口沿x轴正方向时，沿x轴负方向时，沿y轴正方向时，沿y轴负方向时，另一变量范围为全体实数。 遇到抛物线上动点的最值问题，先根据抛物线范围确定动点坐标的取值区间，再代入目标函数求解。 遇到判断直线与抛物线交点问题，联立方程得到根后，先结合抛物线范围验证根是否符合要求，排除增根。 授课要点：🎬 课堂引导 我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，接下来就从方程和图形出发，探究抛物线上点的坐标取值范围 😄 课堂趣话 抛物线这就好比学校的单向跑道，只能顺着开口方向往前跑，反向可就出了界，不算抛物线上的点哦 ❓ 预设问题 你能直接说出开口沿x轴正方向的抛物线横纵坐标的取值范围吗？ 直线与抛物线联立得到交点坐标后，为什么要验证是否符合抛物线范围？ 求抛物线上动点的最值问题时，为什么要先确定坐标的范围？ • 例题剖析 例题1.1　抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为2，则 ______. 解析/答案：答案：4 解析：根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。抛物线的准线方程为，设动点，由抛物线方程可得，当且仅当时取等号。因此点到焦点的距离，当且仅当时距离取最小值。由题意最小值为2，可得，解得。 例题1.2　判断正误，正确的写正确，错误的写错误 (1) 抛物线没有渐近线.( ) (2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为.( ) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.( ) (4) 抛物线的图象上任意一点的横坐标的取值范围是.( ) 解析/答案：(1) 答案：正确 (1) 解析：渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线，因此该命题正确。 (2) 答案：错误 (2) 解析：过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长度为，不是，因此该命题错误。 (3) 答案：错误 (3) 解析：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时二者不相切，因此该命题错误。 (4) 答案：正确 (4) 解析：对于抛物线，由，，可得，因此该命题正确。 例题1.3　已知过点的直线与抛物线相交于、两点，直线是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 且 D. 解析/答案：答案：BD 解析：设，，，。联立，得，由韦达定理得，，因此AB中点为。 因为是AB的中垂线，中点M在上，代入得，整理得。 联立与方程解得交点坐标，，即，，因此m不是定值，n是定值，A错误，B正确。 直线与抛物线有两个交点，故判别式，代入化简得，即或，C错误。 由结合，可得，因此，即，D正确。综上选BD。 例题1.4　已知圆. (1) 若直线平分圆，求的最小值 (2) 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值. 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：将圆的方程化为标准方程得，得圆心，半径。直线平分圆说明直线过圆心，代入直线方程得，即，且。变形得，当且仅当时等号成立，因此的最小值为。 (2) 答案： (2) 解析：设抛物线方程为，准线为，由准线与圆相切得，结合解得，得抛物线方程为，焦点。由抛物线定义得，，，代入得：当时，，当且仅当时等号成立；当时，计算得。因此的最大值为。 例题1.5　在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点，过的直线交于、两点。当直线的斜率为1时，。 (1) 求抛物线的方程 (2) 若直线、与抛物线的另一个交点分别为、，，求的值 (3) 若，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：由题意得焦点，直线斜率为1时方程为，设，联立直线与抛物线方程得，由韦达定理得，根据抛物线定义，焦点弦长，解得，因此抛物线的方程为。 (2) 答案： (2) 解析：由(1)知，设，设直线，联立抛物线得，由韦达定理得。设直线，联立抛物线得，由韦达定理得，即，同理得。由得，代入和化简得，结合得。 (3) 答案： (3) 解析：由斜率与倾斜角关系得，，当时，，计算得，因此，即，设，则，当且仅当即时取等号，因此的最大值为。 ▸ 考点 2 焦点准线 🎯 核心内容 🔹本考点是抛物线最核心的基础性质，是所有抛物线综合问题求解的前提。 p的几何意义为焦点到准线的距离，根据抛物线开口方向和标准形式可以直接确定焦点坐标与准线方程，是解决焦点弦、距离最值等问题的核心基础。 ✍️ 答题技巧 看到给出标准形式的抛物线，先判断一次项所属变量确定焦点所在轴，再根据一次项系数的符号确定开口方向，对应写出焦点坐标和准线方程。 看到给出焦点坐标或准线方程求抛物线标准方程，先根据已知条件确定对称轴和开口方向，再计算出的值，最后写出标准方程。 给出非标准形式或时，先计算得，再结合的符号确定开口后代入公式写性质。 看到抛物线上一点到焦点的距离问题，先结合抛物线定义转化为该点到准线的距离，简化计算。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚才探究完抛物线的坐标范围，接下来就来学习抛物线最核心的基础性质 😄 课堂趣话 焦点和准线就像是抛物线的官配CP，从诞生起就牢牢绑定，谁也拆不开 ❓ 预设问题 你能快速写出y²=-6x的焦点坐标和准线方程吗？ 已知抛物线的准线方程是x=1，该抛物线的标准方程是什么？ 抛物线上一点到准线的距离为5，该点到焦点的距离是多少？ • 例题剖析 例题1.1　抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（ ） A. B. C. -8 D. -4 解析/答案：答案：A 解析：将抛物线方程化为标准形式得，由此可得准线方程为。根据抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此列出方程：，解方程可得。 例题1.2　抛物线的焦点到准线的距离为______． 解析/答案：答案： 解析：对于开口沿轴的抛物线，标准形式为，其中焦点到准线的距离等于。将题目方程与标准形式对比，得，解得，因此抛物线焦点到准线的距离为。 例题1.3　已知抛物线的焦点为，点在的准线上且位于第二象限内，线段与交于点，且，，则____。 解析/答案：答案： 解析：设准线与轴交于点，过点作于点。由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此。由，可得，根据相似三角形性质得。由题意得，代入得，因此。抛物线中，焦点到准线的距离，故。 例题1.4　已知抛物线的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，，则______(用，表示 解析/答案：答案： 解析：设准线与轴交于点，过点作于点。由抛物线的定义得，且，根据相似三角形性质得，代入，，得，又，因此 例题1.5　抛物线的焦点为，准线为，上的一点在上的射影为，已知线段的垂直平分线方程为，则________; ________. 解析/答案：答案：2; 4 解析：抛物线的焦点为，准线。设点，则，可得线段的中点为。根据抛物线定义，，因此点也在线段的垂直平分线上。将中点和点代入垂直平分线方程得方程组，解得。将代入抛物线方程，计算得。再由抛物线定义得。 ▸ 考点 3 抛物线开口比较 🎯 核心内容 ✨ 本考点考查抛物线开口大小与参数的定量关系，用于快速比较不同抛物线开口的宽窄，解决相关判断与参数范围问题。对于任意标准形式的抛物线，开口宽窄只和有关，和开口方向无关；越大，抛物线开口越宽，越小，开口越窄。 ✍️ 答题技巧 看到比较两个抛物线开口宽窄的问题，先将两个抛物线整理为标准形式，分别提取出和。 比较和的大小，直接得出开口宽窄结论，无需额外讨论开口方向。 看到已知开口范围求参数取值范围的问题，先根据开口大小关系列出关于的不等式，再结合方程系数限制求解参数。 授课要点：🎬 课堂引导 我们已经学完抛物线的坐标范围、焦点与准线性质，接下来我们一起来探究抛物线开口宽窄的变化规律 😄 课堂趣话 抛物线开口宽窄就像奶茶杯的杯口，只和杯口本身的大小有关，和杯子放左放右朝上朝下没有关系 ❓ 预设问题 比较抛物线y²=4x和y²=12x开口的宽窄。 若抛物线y²=ax的开口比y²=6x宽，求a的取值范围。 • 例题剖析 例题1.1　下列抛物线中，开口最小的是 A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：对于开口向右的抛物线标准方程，x的一次项系数绝对值越小，抛物线的开口越窄（即开口越小）。对比四个选项的一次项系数绝对值：A为，B为1，C为2，D为4，其中A的系数绝对值最小，因此对应抛物线开口最小，答案选A。 例题1.2　对于抛物线，下列说法正确的是（）. A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程是 解析/答案：答案：AC 解析：将抛物线方程与标准形式对比，可得，解得。抛物线开口向上，焦点坐标为，代入得焦点为，因此A正确，B错误。根据抛物线几何性质，焦点到准线的距离等于，即距离为4，C正确。该抛物线的准线方程为，因此D错误。综上正确选项为AC。 ▸ 考点 4 抛物线对称轴 🎯 核心内容 本考点考查抛物线对称轴的判定与应用，是简化抛物线相关解析几何计算的常用工具。所有抛物线都是轴对称图形，四种标准形式抛物线的对称轴均为过焦点且垂直于准线的直线。标准形式下的抛物线对称轴方程可直接根据方程形式快速写出，无需额外推导。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到给定标准形式抛物线求对称轴方程，先看平方项在哪个变量上：平方项为时，对称轴为轴，对应方程；平方项为时，对称轴为轴，对应方程。 看到求抛物线上某点关于对称轴的对称点坐标，先确定对称轴，再将垂直于对称轴方向的坐标变号，即可直接得到结果，无需重新代入抛物线方程计算。 看到已知抛物线上两点纵坐标（横坐标）相同求对称轴相关问题，先推出两点关于对称轴对称，直接取横坐标（纵坐标）平均值得到对称轴方程。 授课要点：🎬 课堂引导 刚刚我们探究完抛物线开口宽窄的变化规律，接下来我们一起学习抛物线又一个能大幅简化计算的核心几何性质 😄 课堂趣话 抛物线的对称轴就像奶茶杯的中轴线，把抛物线分成完全对称的两半，找起来一点不费劲 ❓ 预设问题 写出抛物线y²=10x的对称轴方程。求抛物线x²=-8y上点(2,-1/2)关于对称轴的对称点坐标。若抛物线上有两点(-1,2)和(3,2)，求该抛物线的对称轴方程。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线C与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（） A. 抛物线C的焦点坐标是 B. 抛物线C关于轴对称 C. 抛物线C的准线方程为 D. 抛物线C的焦点到准线的距离为4 解析/答案：答案：AC 解析：因为抛物线C与抛物线关于轴对称，将原方程中的替换为，可得抛物线C的方程为。该抛物线对应标准形式，对比得，即。其焦点坐标为，准线方程为，因此A、C正确；抛物线的对称轴为轴，并非轴，故B错误；抛物线焦点到准线的距离为，不是4，故D错误，最终选AC。 例题1.2　平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时，点到直线的距离 解析/答案：答案：AC 解析：根据抛物线定义，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，焦准距，因此方程为，故A正确；抛物线开口向上，关于轴对称，不关于轴对称，故B错误；由可得，故C正确；当点在原点时，到直线的距离最小，最小值为，因此，故D错误。因此正确选项为AC。 例题1.3　已知平面内到定点比它到定直线的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是 A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时，点到直线的距离 解析/答案：答案：AB 解析：由题意可知，动点到定点的距离比到定直线的距离小1，等价于动点到的距离与到定直线的距离相等。根据抛物线定义，曲线是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为，故A正确；该抛物线对称轴为轴，因此曲线关于轴对称，故B正确；由可得，因此C错误；点到直线的距离，由得，因此D错误。 例题1.4　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。 解析/答案：答案：抛物线的标准方程为或，准线方程分别为和。 解析：1. 整理椭圆方程：将化为标准形式，可得椭圆的短轴在x轴上，因此抛物线的对称轴为x轴。 2. 设抛物线方程：由于对称轴为x轴且顶点在原点，设抛物线方程为或。 3. 求解参数p：由抛物线焦点到顶点的距离为3，可得，解得。 4. 代入得到结果：将p=6代入所设方程，得抛物线标准方程为或，对应的准线方程分别为和。 例题1.5　已知A,B两点的坐标分别为,，M为坐标平面内的动点，直线MA,MB的斜率分别为，且满足（a为定值），设动点M的轨迹为C。则（） A. 轨迹C关于原点对称 B. 轨迹C关于直线对称 C. 当时，轨迹C为一条直线 D. 当时，轨迹C存在最高点 解析/答案：答案：BD 解析：设动点，由斜率公式得，，代入条件，整理得： 通分化简后得到，其中，即。逐一分析选项：1. 选项A：将代入轨迹方程，等式不恒成立，故轨迹不关于原点对称，A错误。2. 选项B：将代入轨迹方程，等式恒成立，故轨迹关于y轴对称，B正确。3. 选项C：当时，轨迹方程为，且，是x轴去掉点和，不是完整的一条直线，C错误。4. 选项D：当时，抛物线方程开口向下，顶点为，是轨迹的最高点，D正确。综上答案为BD。 ▸ 考点 5 抛物线对称性应用 🎯 核心内容 本考点利用抛物线本身的对称性简化解析几何计算，常应用于对称点推导、对称轴求解、焦点弦等问题的处理。合理利用对称关系可以规避复杂的联立计算，大幅提升解题效率，是抛物线性质类题目中常用的提速技巧。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到抛物线上存在两点关于某条直线对称的问题，先利用对称点连线垂直对称轴、中点在对称轴上两个条件列关系式。 看到焦点弦问题中已知一个端点坐标，先利用抛物线的对称性结合焦点弦的坐标性质，快速推导另一个端点的参数关系，无需重复代入抛物线方程计算。 看到求过对称轴上定点的弦的定值问题，先利用对称性取特殊位置（弦垂直于对称轴）算出定值，再验证一般情况即可。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们已经认识了抛物线对称轴的基本性质，接下来我们学习怎么利用对称性简化抛物线相关问题的计算 😄 课堂趣话 抛物线的对称轴就像手里奶茶杯的中轴线，两半匀匀称称，看着就舒服 ❓ 预设问题 写出抛物线y²=10x的对称轴方程。 求抛物线x²=-8y上点(2,-1/2)关于对称轴的对称点坐标。 若抛物线上有两点(-1,2)和(3,2)，求该抛物线的对称轴方程。 • 例题剖析 例题1.1　已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为______。 解析/答案：答案：6 解析：由抛物线关于x轴对称，结合等边三角形的对称性，可知另外两个顶点关于x轴对称。设等边三角形边长为，则第一象限内的顶点A的坐标为，即。将点A代入抛物线方程得：，整理得，解得，舍去无意义的零解，因此等边三角形的边长为6。 例题1.2　已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于于点、直线与抛物线相交于、两点，若，则 A. B. C. D. 解析/答案：答案：C 解析：过点作于点，设准线与轴的交点为。由，得。由抛物线定义知，，则。在中，，则。由，得，又由抛物线定义知，则，所以。 例题1.3　已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上。若，则当取得最大值时，______。 解析/答案：答案：或4 解析：1. 在中，由余弦定理可得。 2. 代入，，对目标式变形可得： 3. 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，此时取得最大值。 4. 抛物线的准线为，焦点，结合抛物线对称性和焦半径公式，可解得或4。 例题1.4　如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美。，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接的焦点，线段分别交于点G，H，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：由正方形ABCD的面积为64，可得正方形边长为8，根据图形对称性得，，，。将代入，解得，因此抛物线的方程为，的方程为。可得的焦点，的焦点，直线的方程为。联立与，整理得，解得或，舍去不符合图形位置的大根，得G点横坐标。由抛物线焦半径公式，。由图形对称性可得，又，因此，故选B。 例题1.5　已知曲线C上的点满足：到定点与定直线y轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则 A. 若，则曲线C的图象为一条抛物线 B. 若，则曲线C的方程为 C. 当时，对于任意的，，都有 D. 当时，对于任意的，，都有 解析/答案：答案：AC 解析：设曲线C上任意点，根据题意列方程，分和两种情况化简后逐一判断选项： 1. 对选项A：当时，方程为。当时化简得，为抛物线；当时化简得，因时右侧恒小于0，与矛盾，无实解，因此曲线C的图象为一条抛物线，A正确。 2. 对选项B：当时，方程为。当时化简得，为抛物线；当时化简得，对应x负半轴的一条射线，因此曲线C不是只有，B错误。 3. 对选项C：当时，化简方程得：时，，是开口向右的抛物线的一部分；时，，是开口向左的抛物线的一部分。两点、纵坐标相同，且B恒在A右侧，由图形关于对称可得，C正确。 4. 对选项D：由不等式恒成立，当时方程无实解，不存在这样的曲线C，D错误。 综上答案为AC。 ▸ 考点 6 抛物线通径问题 🎯 核心内容 本考点考查抛物线通径的定义与长度计算，常结合抛物线标准方程、焦点弦类问题命题。 🔹 对于任意标准形式的抛物线，通径长度恒为，可直接代入简化计算。 通径是抛物线所有过焦点的弦中长度最短的弦，该结论常用于快速求解最值类问题。 ✍️ 答题技巧 💡 看到题干给出过抛物线焦点且垂直对称轴的弦，先直接得出弦长为，无需联立方程重新计算。 看到求抛物线过焦点的弦长的最小值问题，先直接确定最小值为，对应弦即为通径。 看到已知通径长度求抛物线标准方程，先由等于通径长算出参数，再结合开口方向写对应方程。 看到需要判断抛物线焦点弦的位置关系，若弦长为，先确定该弦垂直于抛物线对称轴。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们已经学完了抛物线对称性的应用，接下来我们一起来探究抛物线中一类特殊的过焦点弦的相关性质 😄 课堂趣话 通径就像所有过抛物线焦点的弦里的身高基准线，它就是最矮的那一个，其他弦都比它长 ❓ 预设问题 求抛物线y²=6x的通径长度。求抛物线x²=-8y的通径端点坐标。若抛物线焦点弦长的最小值为10，求该抛物线的参数p。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为F，且抛物线C过点，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（） A. 线段AB长度的最小值为4 B. 的形状为锐角三角形 C. 三点共线 D. M的坐标可能为 解析/答案：答案：ACD 解析：将点代入抛物线方程，得，解得，因此抛物线方程为，焦点，准线方程为。 对选项A：过抛物线焦点的弦AB的长度最小值为通径，长度为，因此A正确。 对选项B：由抛物线定义，，且轴，因此，同理，可得，因此是直角三角形，B错误。 对选项C：设直线AB的方程为，，，联立，消去x得，由韦达定理得。计算斜率，又，因此，故三点共线，C正确。 对选项D：设AB中点，则，代入直线方程得，取时，，，即，D正确。 综上正确选项为ACD。 例题1.2　已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析/答案：答案：B 解析：由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离等于参数p，因此p=2，可得抛物线方程为，焦点坐标为。分两种情况讨论：1. 当直线l平行于x轴时，直线方程为，代入抛物线方程解得，此时弦长。2. 当直线l不平行于x轴时，设直线方程为，联立抛物线方程，整理得，判别式，由韦达定理得。根据抛物线焦点弦长公式，代入p=2得，由于，故，因此。综上可得的最小值为4。 例题1.3　已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C. 若，，则 D. 解析/答案：答案：AB 解析：1. 验证选项A：由抛物线焦半径公式，点的焦半径，代入得，解得，A正确。 2. 验证选项B：当时，抛物线方程为，焦点，代入得，即，直线方程为，联立抛物线方程得，解得另一交点的纵坐标为，对应坐标为，由两点距离公式得，B正确。 3. 验证选项C：当时，焦点弦性质满足，结合，解得，，故，C错误。 4. 验证选项D：，故，抛物线焦点弦长，当为通径时取等号，故，D错误。 综上正确选项为AB。 例题1.4　某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线C，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大。若抛物线C的方程为，焦点为F，过F的直线交C于M，N两点，当直线MN垂直于x轴时，。 (1) 求C的方程 (2) 光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角。如图，从点F发出的光线经过抛物线C上的点A（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为AH，证明：AH所在直线平行于x轴。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：当直线MN垂直于x轴时，线段MN为抛物线的通径，通径长度为，由题知，因此，解得，代入抛物线标准方程得C的方程为。 (2) 答案：证明见解析 (2) 解析：因为A不是顶点，故抛物线在A处的切线斜率存在且不为0，纵截距也不为零。设抛物线在A处的切线l的方程为，联立切线与抛物线方程：消去x整理得，由切线与抛物线仅有一个交点，判别式，可得。将代回方程，解得，因此A点坐标为。过点A作直线AP垂直于切线l，AP与x轴交于点P，直线AP的斜率为切线斜率的负倒数即，因此AP的方程为。令，解得P点坐标为。已知抛物线焦点，因此，同时由抛物线焦半径公式得，因此，可得。根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，因此，内错角相等，故AH所在直线平行于x轴。 二、抛物线性质应用 🎯 核心内容 🔍 应用抛物线性质解题时，首先要根据给定方程判断开口方向，提取参数得到焦点、准线的准确信息。 不同标准形式的抛物线对应性质不同，不要混淆焦点坐标和准线方程的符号。 复杂的对称、定值问题，可先利用特殊位置结合性质推出结果，再验证一般情况即可。 ▸ 考点 1 性质应用 🎯 核心内容 本考点考查抛物线几何性质的综合应用，是高考解析几何板块的核心考点之一，常命制范围求解、弦长计算、定值证明、对称存在性判断类问题。解题的核心是依托抛物线的标准形式确定基础参数，再结合几何性质转化所求问题，简化复杂的代数运算。 ✍️ 答题技巧 看到给出抛物线方程求性质类题目，先化为或的标准形式，提取参数p并确定开口方向，再推导对应焦点、准线等性质。 ⚠️ 比较不同抛物线开口大小，先得到各自的参数p，p越大开口越大，直接比较p的大小即可得到结论。 看到抛物线上的点关于直线对称的存在性问题，先利用对称关系得到坐标满足的方程，再结合抛物线范围判断方程是否有实根。 看到焦点弦相关计算问题，先利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，再计算弦长即可。 授课要点：🎬 课堂引导 我们已经梳理完抛物线的基本几何性质，今天就来学习怎么用这些性质解决高考中的各类常见问题 😄 课堂趣话 要说圆锥曲线里谁性格最直爽，那肯定是抛物线，认准一个方向就开口，从不拐弯抹角 ❓ 预设问题 请写出抛物线y²=8x的焦点坐标和准线方程？ 抛物线y²=2x和y²=6x哪一个的开口更大？ 如何判断抛物线上是否存在两个点关于给定直线对称？ • 例题剖析 例题2.1　已知点在抛物线上，为坐标原点，则__________; 解析/答案：答案： 解析：将点的横坐标代入抛物线方程，得。根据两点间距离公式，。 例题2.2　已知抛物线的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______ . 解析/答案：答案： 解析：将抛物线化为标准形式，可得，解得，因此抛物线的准线方程为。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离，即。代入，得，解得。因为点位于第一象限，将代入原抛物线方程，得，即，解得，因此点的坐标为。 例题2.3　设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为______，点的坐标为______ . 解析/答案：答案：， 解析：第一步求点坐标：因为直线平行于抛物线的对称轴轴，且过点，因此直线的方程为。将代入抛物线方程，得，因此点坐标为。 第二步求点坐标：根据抛物线光学性质，平行于对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线焦点。抛物线的焦点坐标为，因此反射线过点。设点坐标为，由三点共线，斜率相等可得：，整理得，因式分解得。结合图形可知，因此取，计算得Q点横坐标为，因此Q点坐标为。 例题2.4　在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为抛物线的焦点，且，则 A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 解析/答案：答案：ABD 解析：由题可知抛物线的焦点，可得，因此，且，故A正确。 由，结合，得，同理可得，故B正确。 不妨设，则，代入得，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不正确。 由，平方整理得，再计算，代入化简得： 故D正确，因此选ABD。 例题2.5　直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则______ . 解析/答案：答案：1 解析：由抛物线焦点得，故，抛物线的方程为。设，由抛物线定义可得，。 当直线斜率不存在时，，代入得。 当直线斜率存在时，设直线斜率为，由点斜式得直线方程为，联立，整理得。由韦达定理得，，代入化简得： 。 综合两种情况，得。 课堂总结 四种开口方向抛物线的核心性质都围绕焦准距p展开，可从范围、焦点、准线、对称性四个维度梳理。 ✅ 只有共轴同向的抛物线才能直接通过p值比较开口宽窄，p越大开口越宽。 利用对称性求解点坐标或交点问题时，必须结合抛物线的取值范围验证结果，避免漏解或增解。 调用抛物线性质前先确认标准形式与开口方向，就能避开大部分概念类错误。 ✦ 学科加油站 ✦ 【本讲义小结】 先把这几个考点过一遍。 抛物线范围：先写清定义和适用条件。 焦点准线：整理判定方法或公式，注意使用范围。 抛物线开口比较：做一道典型题，检查代入和结论。 【素养小贴士】 做题常踩的坑，我们整理好了避雷清单 对称性应用易错：对 ，若 在抛物线上，则 也在抛物线上，交点问题不要漏解 性质应用易错：求解抛物线性质前必须先化为标准方程，再确定 和开口方向，不能直接把非标准系数当 选填秒杀结论：过 焦点的弦端点满足 擦亮眼睛，绕开命题人的陷阱 【生活中的应用】 抛物线藏在生活的各个角落里 探照灯反光罩设计：用到抛物线光学性质，焦点发出的光反射后平行于对称轴 铅球斜抛射程计算：铅球运动轨迹为抛物线，用到抛物线最值性质计算最大射程 学好抛物线，生活也能秒算 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 抛物线的简单几何性质 一句话总纲 🔍 摸透抛物线几何特征，用好数形结合，轻松拿下各类相关考题。 新课标依据 1. 掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的性质解决相关解析几何问题。 2. 经历探究抛物线几何性质的过程，体会数形结合的思想方法。 3. 发展直观想象、数学运算与逻辑推理素养。 学习目标 1. 能掌握不同标准形式下抛物线的范围、焦点坐标、准线方程、对称轴等基本几何性质，能准确写出给定抛物线的相关性质参数。 2. 会比较同一坐标系下不同抛物线的开口大小差异，能准确判断抛物线的对称性。 3. 能运用抛物线的对称性解决简单的抛物线上点的对称、相关弦的问题。 4. 理解抛物线几何性质与标准方程的对应关系，能迁移抛物线几何性质的探究方法解决各类性质应用问题。 重点 1. 掌握抛物线标准方程对应的基本几何性质，能准确确定对应抛物线的焦点坐标与准线方程。 2. 明确抛物线开口大小与焦参数的关系，掌握越大抛物线开口越大的规律。 3. 能运用抛物线的对称性结合焦点、准线性质解决抛物线相关几何应用问题。 难点 1. 混淆不同开口方向抛物线的范围、焦点坐标与准线方程，对不同形式抛物线的性质边界记忆混淆，更换开口方向后极易出现错误。 2. 比较抛物线开口大小时，忽略“仅开口方向共轴时才能直接通过值比较开口宽窄”的方法边界，误认为任意抛物线都可直接通过值判断开口大小，容易记错与开口宽窄的对应关系。 3. 应用抛物线对称性解决问题时，无法准确结合抛物线的范围限制推导对称点的坐标关系，容易出现漏解或增解。 一、抛物线几何性质 🎯 核心内容 💡 四种标准形式的抛物线都仅有一个顶点、一条对称轴，离心率恒为，无对称中心。 所有抛物线的几何性质都可以结合开口方向与对应标准方程推导，无需死记硬背。 解决抛物线基础性质类问题时，优先结合开口方向用数形结合分析，比纯代数计算更快捷准确。 ▸ 考点 1 抛物线范围 🎯 核心内容 💡 本考点要求根据抛物线标准方程确定横、纵坐标的取值范围，所得范围常用来限定抛物线上动点的坐标，求解最值、交点存在性类问题。所有抛物线的范围都可以结合开口方向与标准方程的不等关系推导，无需死记硬背，结合图形就能快速判断。 ✍️ 答题技巧 看到给定标准形式的抛物线求范围，先结合开口方向直接写结论：开口沿x轴正方向时，沿x轴负方向时，沿y轴正方向时，沿y轴负方向时，另一变量范围为全体实数。 遇到抛物线上动点的最值问题，先根据抛物线范围确定动点坐标的取值区间，再代入目标函数求解。 遇到判断直线与抛物线交点问题，联立方程得到根后，先结合抛物线范围验证根是否符合要求，排除增根。 • 例题剖析 例题1.1　抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为2，则 ______. 例题1.2　判断正误，正确的写正确，错误的写错误 (1) 抛物线没有渐近线.( ) (2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为.( ) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.( ) (4) 抛物线的图象上任意一点的横坐标的取值范围是.( ) 例题1.3　已知过点的直线与抛物线相交于、两点，直线是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 且 D. 例题1.4　已知圆. (1) 若直线平分圆，求的最小值 (2) 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值. 例题1.5　在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点，过的直线交于、两点。当直线的斜率为1时，。 (1) 求抛物线的方程 (2) 若直线、与抛物线的另一个交点分别为、，，求的值 (3) 若，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值。 ▸ 考点 2 焦点准线 🎯 核心内容 🔹本考点是抛物线最核心的基础性质，是所有抛物线综合问题求解的前提。 p的几何意义为焦点到准线的距离，根据抛物线开口方向和标准形式可以直接确定焦点坐标与准线方程，是解决焦点弦、距离最值等问题的核心基础。 ✍️ 答题技巧 看到给出标准形式的抛物线，先判断一次项所属变量确定焦点所在轴，再根据一次项系数的符号确定开口方向，对应写出焦点坐标和准线方程。 看到给出焦点坐标或准线方程求抛物线标准方程，先根据已知条件确定对称轴和开口方向，再计算出的值，最后写出标准方程。 给出非标准形式或时，先计算得，再结合的符号确定开口后代入公式写性质。 看到抛物线上一点到焦点的距离问题，先结合抛物线定义转化为该点到准线的距离，简化计算。 • 例题剖析 例题1.1　抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（ ） A. B. C. -8 D. -4 例题1.2　抛物线的焦点到准线的距离为______． 例题1.3　已知抛物线的焦点为，点在的准线上且位于第二象限内，线段与交于点，且，，则____。 例题1.4　已知抛物线的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，，则______(用，表示 例题1.5　抛物线的焦点为，准线为，上的一点在上的射影为，已知线段的垂直平分线方程为，则________; ________. ▸ 考点 3 抛物线开口比较 🎯 核心内容 ✨ 本考点考查抛物线开口大小与参数的定量关系，用于快速比较不同抛物线开口的宽窄，解决相关判断与参数范围问题。对于任意标准形式的抛物线，开口宽窄只和有关，和开口方向无关；越大，抛物线开口越宽，越小，开口越窄。 ✍️ 答题技巧 看到比较两个抛物线开口宽窄的问题，先将两个抛物线整理为标准形式，分别提取出和。 比较和的大小，直接得出开口宽窄结论，无需额外讨论开口方向。 看到已知开口范围求参数取值范围的问题，先根据开口大小关系列出关于的不等式，再结合方程系数限制求解参数。 • 例题剖析 例题1.1　下列抛物线中，开口最小的是 A. B. C. D. 例题1.2　对于抛物线，下列说法正确的是（）. A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程是 ▸ 考点 4 抛物线对称轴 🎯 核心内容 本考点考查抛物线对称轴的判定与应用，是简化抛物线相关解析几何计算的常用工具。所有抛物线都是轴对称图形，四种标准形式抛物线的对称轴均为过焦点且垂直于准线的直线。标准形式下的抛物线对称轴方程可直接根据方程形式快速写出，无需额外推导。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到给定标准形式抛物线求对称轴方程，先看平方项在哪个变量上：平方项为时，对称轴为轴，对应方程；平方项为时，对称轴为轴，对应方程。 看到求抛物线上某点关于对称轴的对称点坐标，先确定对称轴，再将垂直于对称轴方向的坐标变号，即可直接得到结果，无需重新代入抛物线方程计算。 看到已知抛物线上两点纵坐标（横坐标）相同求对称轴相关问题，先推出两点关于对称轴对称，直接取横坐标（纵坐标）平均值得到对称轴方程。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线C与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（） A. 抛物线C的焦点坐标是 B. 抛物线C关于轴对称 C. 抛物线C的准线方程为 D. 抛物线C的焦点到准线的距离为4 例题1.2　平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ） A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时，点到直线的距离 例题1.3　已知平面内到定点比它到定直线的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是 A. 曲线的方程为 B. 曲线关于轴对称 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时，点到直线的距离 例题1.4　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。 例题1.5　已知A,B两点的坐标分别为,，M为坐标平面内的动点，直线MA,MB的斜率分别为，且满足（a为定值），设动点M的轨迹为C。则（） A. 轨迹C关于原点对称 B. 轨迹C关于直线对称 C. 当时，轨迹C为一条直线 D. 当时，轨迹C存在最高点 ▸ 考点 5 抛物线对称性应用 🎯 核心内容 本考点利用抛物线本身的对称性简化解析几何计算，常应用于对称点推导、对称轴求解、焦点弦等问题的处理。合理利用对称关系可以规避复杂的联立计算，大幅提升解题效率，是抛物线性质类题目中常用的提速技巧。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到抛物线上存在两点关于某条直线对称的问题，先利用对称点连线垂直对称轴、中点在对称轴上两个条件列关系式。 看到焦点弦问题中已知一个端点坐标，先利用抛物线的对称性结合焦点弦的坐标性质，快速推导另一个端点的参数关系，无需重复代入抛物线方程计算。 看到求过对称轴上定点的弦的定值问题，先利用对称性取特殊位置（弦垂直于对称轴）算出定值，再验证一般情况即可。 • 例题剖析 例题1.1　已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为______。 例题1.2　已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于于点、直线与抛物线相交于、两点，若，则 A. B. C. D. 例题1.3　已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上。若，则当取得最大值时，______。 例题1.4　如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美。，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接的焦点，线段分别交于点G，H，则的值为（ ） A. B. C. D. 例题1.5　已知曲线C上的点满足：到定点与定直线y轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则 A. 若，则曲线C的图象为一条抛物线 B. 若，则曲线C的方程为 C. 当时，对于任意的，，都有 D. 当时，对于任意的，，都有 ▸ 考点 6 抛物线通径问题 🎯 核心内容 本考点考查抛物线通径的定义与长度计算，常结合抛物线标准方程、焦点弦类问题命题。 🔹 对于任意标准形式的抛物线，通径长度恒为，可直接代入简化计算。 通径是抛物线所有过焦点的弦中长度最短的弦，该结论常用于快速求解最值类问题。 ✍️ 答题技巧 💡 看到题干给出过抛物线焦点且垂直对称轴的弦，先直接得出弦长为，无需联立方程重新计算。 看到求抛物线过焦点的弦长的最小值问题，先直接确定最小值为，对应弦即为通径。 看到已知通径长度求抛物线标准方程，先由等于通径长算出参数，再结合开口方向写对应方程。 看到需要判断抛物线焦点弦的位置关系，若弦长为，先确定该弦垂直于抛物线对称轴。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为F，且抛物线C过点，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（） A. 线段AB长度的最小值为4 B. 的形状为锐角三角形 C. 三点共线 D. M的坐标可能为 例题1.2　已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 例题1.3　已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C. 若，，则 D. 例题1.4　某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线C，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大。若抛物线C的方程为，焦点为F，过F的直线交C于M，N两点，当直线MN垂直于x轴时，。 (1) 求C的方程 (2) 光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角。如图，从点F发出的光线经过抛物线C上的点A（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为AH，证明：AH所在直线平行于x轴。 二、抛物线性质应用 🎯 核心内容 🔍 应用抛物线性质解题时，首先要根据给定方程判断开口方向，提取参数得到焦点、准线的准确信息。 不同标准形式的抛物线对应性质不同，不要混淆焦点坐标和准线方程的符号。 复杂的对称、定值问题，可先利用特殊位置结合性质推出结果，再验证一般情况即可。 ▸ 考点 1 性质应用 🎯 核心内容 本考点考查抛物线几何性质的综合应用，是高考解析几何板块的核心考点之一，常命制范围求解、弦长计算、定值证明、对称存在性判断类问题。解题的核心是依托抛物线的标准形式确定基础参数，再结合几何性质转化所求问题，简化复杂的代数运算。 ✍️ 答题技巧 看到给出抛物线方程求性质类题目，先化为或的标准形式，提取参数p并确定开口方向，再推导对应焦点、准线等性质。 ⚠️ 比较不同抛物线开口大小，先得到各自的参数p，p越大开口越大，直接比较p的大小即可得到结论。 看到抛物线上的点关于直线对称的存在性问题，先利用对称关系得到坐标满足的方程，再结合抛物线范围判断方程是否有实根。 看到焦点弦相关计算问题，先利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，再计算弦长即可。 • 例题剖析 例题2.1　已知点在抛物线上，为坐标原点，则__________; 例题2.2　已知抛物线的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______ . 例题2.3　设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为______，点的坐标为______ . 例题2.4　在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为抛物线的焦点，且，则 A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 例题2.5　直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则______ . 课堂总结 四种开口方向抛物线的核心性质都围绕焦准距p展开，可从范围、焦点、准线、对称性四个维度梳理。 ✅ 只有共轴同向的抛物线才能直接通过p值比较开口宽窄，p越大开口越宽。 利用对称性求解点坐标或交点问题时，必须结合抛物线的取值范围验证结果，避免漏解或增解。 调用抛物线性质前先确认标准形式与开口方向，就能避开大部分概念类错误。 ✦ 学科加油站 ✦ 【本讲义小结】 先把这几个考点过一遍。 抛物线范围：先写清定义和适用条件。 焦点准线：整理判定方法或公式，注意使用范围。 抛物线开口比较：做一道典型题，检查代入和结论。 【素养小贴士】 做题常踩的坑，我们整理好了避雷清单 对称性应用易错：对 ，若 在抛物线上，则 也在抛物线上，交点问题不要漏解 性质应用易错：求解抛物线性质前必须先化为标准方程，再确定 和开口方向，不能直接把非标准系数当 选填秒杀结论：过 焦点的弦端点满足 擦亮眼睛，绕开命题人的陷阱 【生活中的应用】 抛物线藏在生活的各个角落里 探照灯反光罩设计：用到抛物线光学性质，焦点发出的光反射后平行于对称轴 铅球斜抛射程计算：铅球运动轨迹为抛物线，用到抛物线最值性质计算最大射程 学好抛物线，生活也能秒算 学科网（北京）股份有限公司 $