3.1-3.2 抛物线及标准方程 和椭圆的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期 数学 北师大版 选择性必修第一册

3.1 抛物线及其标准方程BS 3.2 抛物线简单几何性质BS 目录 考点一 抛物线定义及其标准方程 2 考点二 抛物线性质及其应用 7 考点一 抛物线定义及其标准方程 知识点一、抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点二、抛物线的标准方程及其图像 标准方程 （） （） （） （） 图形 【例1】（多选）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【例2】已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 典例： 1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2023 北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A． B． C． D． 4．（2023 天津卷）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 变式训练： 1．抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( ) A． B． C． D． 2.抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A． B． C． D． 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 9.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 10.抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______. 13．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_______. 14. 求经过点的抛物线的标准方程. 15.已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 16.已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 17.过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 18.已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 19.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 20.在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 21.如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 考点二 抛物线性质及其应用 知识点一、抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点二、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【例1】（1）抛物线的焦点为，点是上一点，,则( ) A． B． C． D． （2）已知抛物线的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足.若线段中点的横坐标为3，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（1）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为(　　) A． B． C． D． （2）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 【例3】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则( ) A． B． C． D． 典例： 1．记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025 新高考二卷）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为   A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是（ ） A． B． C． D． 8．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 10．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 11．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A． B． C． D． 12．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 变式训练： 1．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则( ) A．4 B．2 C．1 D．8 2.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则( ) A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ） A．2 B．4 C． D． 7． 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于( ) A． B．1 C． D．2 8．已知抛物线上点(在第一象限)到焦点距离为5，则点坐标为( ) A． B． C． D． 9．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是( ) A． B． C． D． 10．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则( ) A． B． C． D． 11．已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则( ) A．2 B．4 C．6 D．8 12．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为( ) A． B．4 C． D． 13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为( ) A．10 B．8 C．6 D．4 14.双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 15.已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（    ） A． B．1 C．8 D．16 16．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 17.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 18.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 19．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 20． 已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为( ) A．3 B．4 C． D． 21．若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为( ) A．1 B． C． D． 22.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 24．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 25.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 26.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A． B． C． D． 29．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为( ) A． B． C．4 D．1 30．已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则( ) A． B．10 C． D．6 31．已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为_________. 32．过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为 . 33.过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 抛物线及其标准方程BS 3.2 抛物线简单几何性质BS 目录 考点一 抛物线定义及其标准方程 2 考点二 抛物线性质及其应用 13 考点一 抛物线定义及其标准方程 知识点一、抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点二、抛物线的标准方程及其图像 标准方程 （） （） （） （） 图形 【例1】顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为； 若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以抛物线的标准方程为． 故选：BD 【例2】已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 典例： 1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线 2．（2023 北京卷）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D. 4．（2023 天津卷）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 【答案】 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得．故答案为：． 变式训练： 1．抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D. 2.抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】抛物线的标准方程为，则，得， 所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线距离为. 故选：B. 3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选D 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为，故选：C 5．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线可化为.它的焦点坐标是.故选：B. 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，    因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以.故选：B 7．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．故选：C． 8.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 9.（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 10.抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线即，其焦点坐标为， 设关于直线的对称点的坐标是， 则，解得，则， 故选：A． 11.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于抛物线的方程为， 所以，，则 所以抛物线的焦点坐标是， 故选：A. 12．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______. 【答案】2 2 【解析】点代入抛物线方程得：，解得：； 抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离： 故答案为2,2 13．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_______. 【答案】2； 【解析】抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程为x=﹣， 因为抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切， 所以3+=4，解得p=2．故答案为2 14. 求经过点的抛物线的标准方程. 【答案】或 15.已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于抛物线：过点，所以，， 所以抛物线方程为，，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 16.已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为． 故答案为：． 17.过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 18.已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等. ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， 故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 故选：A. 19.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 20.在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 【答案】(1) (2)8. 【详解】（1），由题意：点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且. 所以抛物线的标准方程为：. 即：. （2）如图： 设圆圆心为，设，，，且， 则直线PR的方程为，即， 因为直线PR与圆相切，所以圆心C到直线PR的距离等于1， 即，化简可得，即． 同理直线PQ与圆相切，所以 所以m，n是方程的两根． 由韦达定理可得， ，又因为：， 所成，所以， 因为，所以，当且仅当取等号． 21.如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）易知，设，联立抛物线C得， ∴，，由得 ， ∴，故过定点.∵， ∴D的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 即M的方程为； （2）设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为， 过Q的切线设为，联立抛物线C， 得，由，解得. 设切线的倾斜角为，则反射光线的倾斜角是或， 得反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 整理得，恒过点. 若或，则反射光线的方程为. 从而反射光线必过抛物线C的焦点. 考点二 抛物线性质及其应用 知识点一、抛物线的几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点二、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【例1】（1）抛物线的焦点为，点是上一点，,则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据抛物线焦半径公式可得：所以本题正确选项： （2）已知抛物线的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足.若线段中点的横坐标为3，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，由得， 即得； 又，解得，由于A，B在第一象限内，故， 则，而线段中点的横坐标为3，则， 故，故选：B 【例2】（1）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为， ∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为， 把代入抛物线方程可得． 不妨设在第一象限，则， 点关于准线的对称点为，连接， 则，于是 故的最小值为． 故选B． （2）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值， 此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得， 则的面积为． 故选：D 【例3】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得， ，选C． 典例： 1．记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由抛物线的定义可得，解得， 代入的方程可得，故直线的斜率为.故选：D 2．（2025 新高考二卷）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 3．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图， . 又因为，所以四边形为矩形，所以， 因为，，所以点为的中点， 所以，故， 由抛物线的定义可得，，所以，即. 故选：B. 4．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为是该抛物线上的两点，故， 所以， 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C. 5．已知抛物线的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线方程可得，由题意可设直线的方程为， 设，联立直线与抛物线的方程， 整理可得，则，所以中点的纵坐标为， 由题意可得，所以抛物线方程为，故选：C. 6．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|， ∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形， 设A（m2，2m）（m＞0）, 由得，解得 则△AFK的面积=4×2m•=4m=8, 故选B. 7．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故选A. 8．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点. 设，, ，由抛物线定义得：，故 在直角三角形中，， ，，， ，， ∥，， ，，所以抛物线的方程为. 故选：B 9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：设点的坐标分别为． 又，则，， ． 由抛物线的定义可得：，， 故选：B 10．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【详解】，故, 记抛物线的准线为，则：， 记点到的距离为，点到的距离为， 则. 故选：A.    11．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A. 12．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 【答案】6 【分析】首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案． 【详解】 抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 变式训练： 1．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则( ) A．4 B．2 C．1 D．8 【答案】C 【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：， 求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项. 2.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意知，焦点， 由定义知：， 所以，所以． 故选：C. 3．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选D. 4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图， 因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以. 故选：B 5.已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意知，焦点， 由定义知：， 所以，所以． 故选：C. 6.已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】    由抛物线定义可知，所以为等腰三角形， 记原点为，因为，所以， 则，所以. 故选：D 7． 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于( ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2.故选D． 8．已知抛物线上点(在第一象限)到焦点距离为5，则点坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 因为点到焦点距离为5即, 根据抛物线定义：， 解得：， 代入抛物线方程， 得即 故选：C 9．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线焦点，准线方程为， 设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C 10．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，如图， 由抛物线的几何意义，可知，所以， 所以，故选D． 11．已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C. 12．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为( ) A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点弦公式为：， 由抛物线方程可得：，则弦的长为.本题选择C选项. 13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为( ) A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B. 14.双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得双曲线的交点为， 所以，即， 设的横坐标分别为， 中点的横坐标为6，即 由抛物线的焦点弦公式可得， 故选：A. 15.已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，为抛物线C上一点，且，若为锐角三角形，则（    ） A． B．1 C．8 D．16 【答案】C 【详解】    如图，由焦半径公式得，将代入抛物线方程得到， 消去得，解得或. 又因为为锐角三角形，故，故C正确 故选：C. 16．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】设直线的斜率为，， 由，得，解得， 又，则，由都在第一象限，得， 而，且，则， 所以抛物线方程为， 故答案为： 17.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 18.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 19．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 如图所示，利用抛物线的定义知： 当三点共线时，的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程：， 本题正确选项： 20． 已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为( ) A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离， 所以过焦点作直线的垂线， 则该点到直线的距离为最小值，如图所示； 由，直线，所以，故选A. 21．若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为( ) A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由y＝2x2，得，∴2p，则， 由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．故选D． 22.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 23.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为， 由抛物线的定义可知，则有， 其最小值为焦点到直线的距离． 即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为. 故选：A. 24．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 25.已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 26.已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 27.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 28.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D. 29．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为( ) A． B． C．4 D．1 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为，所以代入直线方程得，即， 所以直线方程为，与抛物线方程联立得， 所以弦长，又点到直线的距离为，所以的面积为,故选B. 30．已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则( ) A． B．10 C． D．6 【答案】C 【解析】设，则， 又，∴，∴，， ∴，由，得，∴. 故选C． 31．已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为_________. 【答案】 【解析】设直线AB的倾斜角为θ(0＜θ＜π)， ∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3， ∴2+3cosθ＝3，即cosθ，则sinθ． ∵BF＝2+ BF cos(π﹣θ) ∴BF ∴△AOB的面积为S． 故答案为：． 32．过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为 . 【答案】 【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是，所以直线方程是，联立消得，所以，故答案应填. 33.过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________. 【答案】 【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点(1，0)，倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $