练案15 第二章 3.2 抛物线的简单几何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

.可得∠BFC=∠ABF=60°.Rt△BCF中，ICFI=IBFIcos60°= 练案[14] p,解得IBF1=2p, A组·基础自测 1.A:抛物线的标准方程为x2=4y, 由By轴，可得3+号=2p,p=2, .抛物线的标准方程为y2=4x。 ∴2p=4,p=2,解得号=1，因此揽物线的焦点为(0,1)，准线3.C因为点A(,2)在抛物线上，14F1 为y=-1,可得该抛物线的开口向上 =310F1I, 2.C因为抛物线2=2ay的准线方程为)=4，所以-号=4，解 所以+分-号，所以=， 得a=-8.故选C. 所以A(p,2),所以4=2p2,解得p OF 3D由9+4y2=1,得 =√2. X= 故选C. 94 4.C:点P、P2、P3在抛物线上，且2x2 子>了，所以情圆的焦点在y轴上，所以排除AB, 因为 =x1+x,两边同时加上p, 由3+2=0，得产=-弓，可蜘知抛物线的焦点在x轴的负 得2(+）=+号+西+分， 即2IP2FI=IPFI+IP3FI,故选C. 半轴上，所以排除C, 故选D. 5.2 由抛物线的定义可得1BMI=BF1,F(号，O,又AM1 4.D由题意可设点M的坐标为(x,6), 由题意得+=10， MF,故点B为线段M中点，即B(朵，，所以1=2×子→p =5. 2px=36, 即p2-20p+36=0,p=2或p=18. 6.1+√2：点B与点A(-1,0)关于原点0对称，B(1,0), 5.A如图，在平面直角坐标系中作出图 据题意，得2，又店=4…2=喝-1，即号22 象，过点P作准线的垂线，垂足为N 由题意可得IPMI+IPFI=IPMI+ -1=0,解得0-2告区-1±2，舍去负值，得=1+2 IPWI≥IMWI. 2 显然，当P,M,N三点共线时，IPMI+ 7.（1)设抛物线的准线为1，交x轴于K IPFI的值最小. 因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1, 点1的方程为x=受，如图，作 所以当P,M,N三点共线， AA'⊥1于A',BB'⊥I于B,则IAFI 即点N的坐标为(1，-1)时，(1PMI+IPFI)mim=IMNI=3. =IAA'I=IFKI=Iml,同理IBFI= 6.ABD将(-2,4)代人抛物线方程可得p=4,因此抛物线方 程为y2=-8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0)， 又|AB1=6,则21ml=6. 故A、B正确； ∴.m=±3，故所求抛物线方程为y2=±6x 易知AF⊥x轴，所以B(-2,-4),故C错误；又因为1AB1=8, (2)设焦点F(a,0),1PF1=√(a+5)2+20=6,即a2+ 所以SAOM=7×8×2=8,故D正确故选AD, 10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时， p=2,抛物线开口方向向左，其方程为y=-4x:当焦点为 7.（4,0)由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐 F(-9,0)时，p=18,抛物线开口方向向左，其方程为y 标为(4,0) =-36x. 8.x=-2由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦8.以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则 点，故准线方程为x=-2 9.设抛物线的方程为x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(,,y2),由抛 B点的坐标为（分，-4），如图所示，设隧道所在抛物线方 物线定义可知y1+y2+p=8, 程为x2=my,则 又AB的中点到x轴的距离为3， a 所以y+y2=6,所以p=2, (经)=m(4) 所以抛物线的标准方程为x2=4y: m=-a,即抛物线方程为2=-ay 10..点(-2,3)在第二象限， 将(0.8，y)代入抛物线方程，得 ∴.设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0), 又点(-2,3)在抛物线上， 0.82=-ay,即y=_0.8 ps9】 p号 欲使卡车通过隧道，应有4-1y川>3， “抛物线方程为了=一号或父=号 即导-0 ->3 B组·素养提升 由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,.a应取13. 1.C设A(x,y),B(),则AB中点C的横坐标为+ 2 练案[15] 1AB1=x1+3+p=1+2+1=4, !A组·基础自测 六+场=3期的-2 1.D抛物线的标准方程可设为x2=-2py(p>0),由题意知 2.D设直线l交x轴于点C, 子-即=3因此所求抛物线的标准方程为F。6 .AB⊥l,lLx轴，∴.AB∥x轴 选D. -369 2.A由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 10.(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范 抛物线)y2=4x上一点P到x轴的距离为23， 围分别为(0,0)，(2,0)，x=-2,x轴，x≥0. 则P(3,±2√5)，点P到抛物线的准线的距离为3+1=4， (2)如图所示.由IOA1=IOB1可知AB⊥x轴，垂足为点M,又焦 ·点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 点F是△OAB的重心，则I0FI=子1OM. 3.B由题意得，F(1,0),则IAF1=IBFI=2,即点A到准线x= -1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1，不妨设点A 在x轴上方，代人得A(1,2),所以IAB「= √(3-1)+(0-2)7=22.故选B. 4.B如图所示，根据题意，PP是梯形 y M,BB的中位线，放1P,1=(1AM,I+ )(14F+F)B1 因为F(2,0),所以1OM1=10F1=3, 5.D由题意知，△FPM为等边三角形， 所以M(3,0),故设A(3,m) 代人y2=8.x得m2=24, IPFI =IPMI=IFMI ,PM⊥抛物线的准线， 所以m=2或m=-26, 设P(等，m则M(-1,m),等边三角形边 所以A(3,26),B(3,-26), 所以IOAI=IOB1=33, 长为1+年，又由F(1,0),PM1=FM, 所以△OAB的周长为233+46. B组·素养提升 得1+牙=0++m,得m=±2 1.D设A(),B(),将y=x+b代入y=,化简可 .等边三角形的边长为4，其面积为4√3，故选D. 得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2 6AB由题设，抛物线可化为=￥， +b(+x2）+b2=b2.又0A1OB,所以x13+y3=0,即 -2b+b2=0,则b=2或b=0,经检验b=0时，不符合题意，故 开口向上，焦点为0,6)，准线方程为y=石故选AB b=2. 2.C抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线1：x=-1,设 7号圆(-1)2+y=25的圆心为F0,0), A(-1,a),B(m,n), FA=3 FB. 故号=1即p=2, m=子m+1=号，A1=令 2 由)+=25可得2+2-24=0， 3.C解法一：分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D, 1y2=4x 故x=4或x=-6(舍)， 设IBFI=a,则由已知得IBC1=2a,由抛物线的定义得，IBDI=a, 故∠BCD=30°，在Rt△ACE中，由IAE1=IAFI=3,IACI=3+ 放A(4,士4)，放直线A:y=±号(-1， 3a,21AE1=IAC1,得3+3a=6,解得a=1.设准线与x轴交于 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 点c,因为D/Fc,所以8品即号-会解得 故原点到直线AF的距离为d=I4=4 5=3 ,因此抛物线的方程为y2=3x 3 86抛物线的焦点坐标F(0,号)，准线方程为y=-2 解法二：过点B作准线的垂线，垂足为B,记准线与x轴的交 将=代人号号=1得=+ 点为R调张题意得引品子，所以照，1=子所 =号由拉物线的定义，得1BF1=B1=号由抛物线的焦 要使△F为等边三角形，则am夏：山-Y3+ 4 6 31 3、 2p p 解得p2=36,p=6. 故抛物线的方程是y2=3x,选C. 9.如图所示建立平面直角坐标系， 4.B若p=4,则抛物线C:y2=8x,C的焦点为F(2,0), y 由已知条件得A(2,4),直线AF的方程为x=2,可得B(2,-4), IAB引=8，选项A正确； 0 x 若p=2,则抛物线C:y2=4x,C的焦点为F(1,0), B(2,y) 由已知条件得A(4,4),直线AF的方程为4x-3y-4=0,可得 4(26,-6.5) 子-少 二---二--23 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则有A(26,-6.5), AB1-空，选项B不正确； 设B(2,y),由262=-2p×(-6.5)得p=52, .抛物线方程为x2=-104y D=2时，API=-4=空=AB1∠ABP=∠APB, 当x=2时，4=-104y,y=-26 又.∠APB=∠PBQ,∴.PB平分∠ABQ,选项C正确； 若p=4,则抛物线C:y2=8x,C的焦点为F(2,0),A(2,4) 1 :6.5-26>6能安全通过 延长A0交直线x=-2于点M,则M(-2,-4),由A选项可 知B(2,-4),则M,B,Q三点共线，故D正确； 一370 消去得-2-2-0， 所以y1+2=2,y1y2=-2, 所以三角形0PQ的面积为S= -IOTIIy -y2 I= 5 4+)P-4为=号 故选B. 52由双曲线离心率为2得号 a2+b2 练案[16] =4, a A组·基础自测 = 1.D(0,1)在y轴上，所以(0,1)在抛物线外部，将x=1代入 抛物线C:y2=4x中，则1yl=2<3,所以(1，-3)在抛物线外 又：IABI=5×号×2=5p, 部，将x=3代入抛物线C:y=4x中，则1y「=2√3<4，所以 (3,4)在抛物线外部，将x=2代人抛物线C:y2=4x中，则1y川 Sam=方×x号=5n=2 =2√2>2，所以(2，-2)在抛物线内部，将选项中的点分别在 6多解法一：抛物线子=4：的准线方程为x=-1,焦点为 直角坐标系中画出来，只有点D(2,-2)在抛物线内部，故当 点P位于点D(2,-2)处，此时经过点P的任意一条直线与C F(1,0),设A(x1y),B(x2,y2).由于1AF1=x1+1=3,得x1 均相交，故均有公共点，故选D. =2,所以y1=±2万.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2万)， C(3,4) 由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y-0=2√2(x- 1),即y=22(x-1),代人抛物线方程消去y得2x2-5x+2 A(0,1) =0,解得x=2(舍去)或x=宁，所以与=分，放11=+1 0 D2.-2) 解法二：由题意知IAF1=3,p=2,由抛物线的焦点弦的性质 B1,-3) IAFI+IBFT=P =2知IBFI= 2 2.A:y=kx-k+1,.y-1=k(x-1),过定点(1,1)，定点在 7.(1)因为抛物线方程为y2=6x,所以准线方程为x=- 椭圆+ 4=1内部，故选A 2 F(子0小，又因为直线1的倾斜角为60，所以直线1的斜率为3.D联立方程可得 ’消去y化简得3x2-2x-1= x-y-1=0, k=tan60°=5，所以过焦点的直线1的方程为y= (x-）设A(),8B(, 0,解得1=1，=- ,即两交点坐标为(1,0)， 1 =6x, (片-号)，根据两点间的距离公式可得481= 联立 =-2)消去，得-5+ 4 =0,则x1+龙=5， √+04放选D 而AB1=MF+BFI=+号+名+号 =x1+x2+p, 4.B直线恒过点(2，b).只要点(2，b)在双曲线上或双曲线的 所以IAB1=5+3=8 内部（即含焦点的区域），则直线（与双曲线x2-y=1总有公 (2)由抛物线的定义，知IAB1=IAFI+IBFI=x1+x2+3=9, 共点.当x=2时，y2=x2-1=3,即y=±5，故be[-5, 所以x1+x2=6, √5]，故选B. 于是线段AB的中点M的横坐标是3. 区准线方程是x=哥，所以中点M到准线的距离为3+3的.D当x≤0时，曲线方程为y 42 9+4=1,与直线方程联立并消 元得13x+24x=0,解得x=0,=-4,此时直线与曲线有 8.(1)设曲线上任意一点M(x,y), 两个交点当>0时.前线方程为号苦=1，与直线方程联 由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直线x=-1 为准线的抛物线， 立并消元得52-24x=0,解得=0（合去），6号，此时直 所以曲线的方程为y2=4x 线与曲线有一个交点.综上，直线与曲线有三个交点，故选D. (2)设P(,y),Q(x22),则y斤=4x12=4x2, 6.AC椭圆左焦点为F(-1,0), 所以斤-2=(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-2), .a2-b2=1,又：点P(0,1)在椭圆上， 因为A为PQ中点，所以y1+y2=2, 所以直线的斜率为w名之。 6=1,.a=2.故椭圆方程为乏+y=1. :直线1与椭圆C,和抛物线C2都相切， 所以直线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此时直线1与 ∴.其斜率存在且不为0，设直线I的方程为y=kx+m(k≠0)， 抛物线相交于两点. [x" 设T为1与x轴交点，则10T1=2 由2+y=1得(22+1)x2+4hme+2m2-2=0, y=kx +m, 一371练案[15] 第二章 圆锥曲线 §3[3.2 抛物线的简单几何性质] 名组·基础自测 二、填空题 7.（2024·天津卷)圆(x-1)2+y2=25的圆心 一、选择题 与抛物线y2=2x(p>0)的焦点F重合，A为 1顶点在原点，焦点为F0,) 的抛物线的标 两曲线的交点，则原点到直线AF的距离 准方程是 必 A.y2=6x B.y2=-6x 8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与 C.x2=6y D.x2=-6y 双曲线号-号=1相交于1，B两点，若△ABF 2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为 为等边三角形，则p= 2√3，则，点P到抛物线的焦点F的距离为 三、解答题 9.一抛物线拱桥跨度为52m,拱顶离水面 A.4 B.5 C.6 D.7 6.5m,一竹排上载有一宽4m,高6m的大木 3.(2022·全国乙理，5)设F为抛物线C:y2=4x 箱，问竹排能否安全通过？ 的焦点，点A在C上，点B(3,0),若IAFI= IBFI,则IABI= ( A.2 B.22C.3 D.32 4.P为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的中 点，A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是 IAAI,1BBI,IPPI,则有 ( A.IPP,I=IAA I+1BBI B.IPP,1=21AB 10.已知抛物线y2=8x C.IPP,> (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量x的范围； D.IPP (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的 等腰三角形OAB,IOAI=IOBI,若焦点F是 动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等 △OAB的重心，求△OAB的周长. 边三角形时，其面积为 ( A.2√5 B.4 C.6 D.43 6.（多选题)对抛物线y=4x,下列描述正确的是 A开口向上，雅线方程为y=石 B.开口向上，焦点为0,16 C.开口向右，焦点为(1,0) D.开口向右，准线方程为y=-1 —225 乃组·素养提升 6.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线 于A,B两点，IAFI=3,则IBFI= 一、选择题 三、解答题 1.直线y=x+6交抛物线y=于A,B两点，7.已知线1经过抛物线y=6x的焦点P,且与 0为抛物线顶点，若OA⊥OB,则b的值为 抛物线交于A,B两点. ( (1)若直线1的倾斜角为60°，求IABI的值； A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)若IAB1=9,求线段AB的中点M到准线的 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线1，过点 距离 F的直线交1于点A,与抛物线的一个交点为 B,且FA=3FB,则IAB1= ( c 3.如图，过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直 线1交抛物线于点A,B,交准线于点C,若IBCI =21BF1,且IAF1=3,则此抛物线的方程为 A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x 8.已知曲线C上的任意一点M到点F(1,0)的 D.y2=√3x 距离与到直线x=-1的距离相等，直线1过点 4.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线 A(1,1),且与C交于P,Q两点， 经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方 (1)求曲线C的方程； 向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光 (2)若A为PQ中点，求三角形OPQ的面积 线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛 物线C:y=2x(p>0),0为坐标原点，一条平 行于x轴的线（从点P生+射入，经过C 上的点A反射后，再经C上另一点B反射后， 沿直线2射出，经过点Q.下列说法错误的是 A.若p=4,则1AB1=8 B.若p=2,则IAB1=6 C.若p=2,则PB平分∠ABQ D.若p=4,延长A0交直线x=-2于点M,则 M,B,Q三点共线 二、填空题 5.已知双曲线若-芳=1(0>0.6>0)的两条新 -y2 近线与抛物线y2=2x(p>0)的准线分别交于 A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率 为2，△AOB的面积为3，则p= —226