第32章 锐角三角函数 质量评估（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级下册数学（人教版·新教材）

第三十二章质量评估 (时间：120分钟满分：120分) 宝 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 确电 1,2c0s30的值为 ( ) 繁 1 A.2 B② 2 C.③ .2 D③ 4 2.在Rt△ABC中，∠C-90,sinA=号，BC=6,则AB的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 3.如果把锐角三角形ABC三边的长都扩大为原来的两倍，那么 ∠A的正切值 ( 批 A.扩大为原来的两倍 B缩小为原来的司 C.不变 D.无法确定 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC,则sinB的值为 ) A B. C.26 5 2 5 D.2 地面mmh C A (第4题图) (第5题图) 5.为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其 中跷跷板很受欢迎.如图，O为跷跷板AB中点，支柱OC垂直 于地面，垂足为C,已知AB=4m,跷跷板的一端A落到地面 时与地面的夹角∠OAC=20°，则支柱OC的高度是( ) 2 A.sin20m B.2tan20°mC.2sin20°m D.2 cos20°m 急6.布依族蜡染常用菱形几何纹样进行装饰，其平面图形为菱形 ABCD(如图)，连接BD.若BD=8,cOS∠ABD=号，则菱形 ※ ABCD的面积是 ( A.24 B.36 C.48 D.64 (第6题图) (第7题图) 7.如图，在大坝的横断面中，斜坡AB的坡度i=1:2,背水坡CD 的坡度i=1:1.若坡面CD的长度为6√2m,则斜坡AB的 1 长为 ( A.4√3m B.6√3m C.6√5m D.24m 8.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanB-√3)(2sinA一 √3)=0，则△ABC为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.至少有一个角是60°的三角形 9.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且半径 为号AC-2,则smB的值为 ( 2 A C. 3 4 4 D.3 A 人a B D E 个 (第9题图) (第10题图) (第12题图) 10.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上. 若∠DAE=30,ian∠EAC=3,则BD的长是 () A.3-√3B.3+√5 C.3√3 D.√3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在Rt△ABC中，∠C=90°.如果tanB=2,BC=2,那么AC 的长为 12.如图，在平面直角坐标系中，点P在射线OA上，OP=13, c0sa=高，则点P的坐标为 13.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4,AC=7,则 cosB的值为 R D fmmiummmmr htbmpsimmh B (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，tanA=2,直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB,AC于点D,E.若点B,C,D,E处的 读数分别为15,12,0,1，则直尺的宽BD为cm. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,D是边AB上一 点，连接CD并延长至点E,使DE=2CD,点F在CB的延长 8 线上，且BF=CB,连接ER.若EC=EP,tan∠ABC=司， 则CE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：sin45°+2cos30°-tan60°； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2√3，b=2,解这个直角三 角形。 17.(8分)如图，在△ABC中，AC=3√2，∠C=45°，AD⊥BC于 点D,tanB=3,求BC的长. 18.(8分)如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m,在 建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C处的仰角为28°，铁塔底 部D处的俯角为40°，求铁塔CD的高度.（参考数据：sin28°≈ 0.47,cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈ 0.77,tan40°≈0.84) 281 409 一9 19.(8分)由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了 “如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=43, 求AB的长”.这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10.请 你帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么. 20.(9分)某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量某公园人工 湖岸边不同方向的两棵大树A与M之间的距离AM,此次测 量活动报告如下： 测量某公园人工湖岸边不同方向的两棵树A与M之间的 活动主题 距离AM 如图，在A处利用测角仪测得大 树M在其北偏东60°的方向上， 测量过程 从点A向正东方向移动至点B 东 151 及示意图 处，在B处利用测角仪测得大树 M在其北偏东15°的方向上，利 用皮尺测得AB=200m 备注 测量过程注意安全 请根据以上信息，求出该公园人工湖岸边不同方向的两棵树 A与M之间的距离AM. -10 21.(10分)如图，在R△ABC中，∠ACB=90,tanB=,点D 在边BC上，BD=8,CD=4,过点D作DE⊥AD,交AC的延 长线于点E (1)求AD的长； (2)求sinE的值. 22.(10分)机器人在表演中完成马步、空翻、队列变换等高难度 动作（如图①），体现了科技与文化的深度融合.图②是该款机 器人的侧面示意图，已知上半身AD=60cm,小腿BC与大腿 AB长均为30cm,机器人上半身AD垂直地面MN. (1)若忽视机器人手臂，∠DAB=126°，∠BCN=70°，则 ∠ABC的度数为 (2)图③为该机器人某次训练动作示意图，手臂DE伸直后长 为45cm,∠ADE=50°.若此时D,A,C三点正好在同一 直线上，∠BCN=60°，求点E到地面MN的距离.（结果 精确到1cm,参考数据：sin50°≈0.77，c0s50°≈0.64， tan50°≈1.19，w3≈1.73) M B M C 图① 图② 图③ —11 23.(12分)小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究 发现：如图①，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°， BC-a=1,AC3,AB=6=2,那么AB2.通 过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30° 角的直角三角形中，存在着A一品B一C的关系” b ■ B a H a 图① 图② 图③ 图④ (1)这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的 探究： 如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB= sin Asin Bsin C”的关系 c,此时“.a。= .（填“成 立”或“不成立”) (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角三角形ABC, 上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究： 如图③，在锐角三角形ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,过 点C作CD⊥AB于点D,设CD=h .在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， ∴.sinA= sin B= .（用含a,b,c,h的 式子表示) “A b 'sin B= .（用含a,b,c,h的 式子表示) a b 小sin A sin B' 同理，过点A作AH⊥BC于点H,可证b。 "sin B sin C' ∴ABiC b (3)运用上面结论解答下列问题：如图④，在△ABC中，如果 ∠A=75°，∠B=60°，AB=3,求AC的长 12