第三十二章 锐角三角函数 综合测试卷-2026-2027学年九年级数学下册单元测（人教版）

单元测 第三十二章锐角三角函数综合测试卷 时间：90mim满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、在△ABC中，LC=90°，则cosB等于() AC BC BC AC A. B. AB AB C.AC D. BC 2、已知sinA=0.8917,利用科学计算器求锐角A的度数时，若要显示以"度"分"秒"为单 位的结果，按下的键是() A 2nd Fsin Bsin C2nd F Dab/c 3、如图，小丽从点A出发，沿坡角为10°的坡道向上走了120米到达点B,则她沿垂直 方向升高了() 】10° 120 A. cos10°米 B.120c0s10°米 C.120tan10°米 D.120sin10°米 4、如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，CD是斜边AB上的中线。已知CD=2,AC=3, 则sinB的值是() 2 4 A.3 B.4 √7 C.3 D.4 5、若(V3tanA-3)2+I2cosB-1=0,则△ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 6、新情境某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺，在半径为1的半 圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心0处，刻 度尺可以绕点O旋转。从图中所示的图尺可得出CosLAOB的值是（) 90 609 301 3 4 4 O(C) B A. 5 B. 5 C. D. 3 15/32 单元测 7、新考法某小区停车场出口处安装了"两段式道闸"，如图（1)所示，点A是道闸转动的 支点，点E是两段道闸的连接点。当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图（2)所示位 置，其示意图如图（3)所示（栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC,EF I BC,∠AEF=143°， AB=AE=1.2米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高 的高度适合的是() 图（1) 图(2) 图(3)B A.1.9m B.2.1m C.2.0m D.2.2m 8、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 点A,B,C,D,E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（) B A.∠DAC>∠EBA B.∠DAC<∠EBA C.∠DAC=∠EBA D.∠DAC+∠EBA=60° 9、如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5,D为BC边上一点，CD=1,AC>BC,E为 边AC上一动点。当∠BED最大时，CE的长为（) A.2 B.3 C.2V3-1 D.5 B 9题图 10题图 O M N A 10、对于题目："如图，∠A0B=a(0°<a<90),OA上从左至右存在两点M,N,OM= MN=2,P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tana的值。"对于其答案， 甲答：tanx=1,乙答：tana=2,丙答：tana=2或亏 11 则正确的是（) A.只有甲答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11、在Rt△ABC中，∠ACB=90,sinB二若将△ABC三边都扩大3倍得到△ABC 则sinB'A'C= 16/32 单元测 12、如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框， 某人CD高1.8m,只有当∠CAB=53°时，他才能开门， 那么BD长为m。(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈1.33，保留1位小数) 13、在平面直角坐标系内有一点A(12,5),点A与原点0的连线与x轴的正半轴的夹角 为0，那么cos0=一。 14、如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B,实验过程中， 在0点正下方的P处有一个钉子。已知在0点测得起始位置A的俯角是45°，B点的俯 角是60°，在B点测得钉子P的仰角是45°，且0P长为4，则摆绳0A长为。 E 14题图 15题图 16题图 B4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=4,∠A=a,易知tana=2小明 1 15、 同学想求tan2a的值，他在AC上取点D,使得BD=AD,则tan2a=】 16、我们把只有一组邻边相等，且两组对角分别互补的四边形叫作“邻补四边形如图，在△ABC 中，AB=AC=3,cosB=3,点M,N分别在边AC,BC上如果四边形ABNM是“邻补四边形 1 那么四边形ABNM的面积是 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、(8分)计算：(1)cos30°-tan60°+cos45°；(4分) 02)2an4530-2sm26012（4分) 3 17/32 单元测 18、（10分)如图（1)，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提 起。起始位置示意图如图(2)，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3,∠CAB=60°。 停止位置示意图如图(3)，此时测得∠CDB=37°（点C,A,D在同一直线上，且直线CD 与水平地面平行)，图(3)中所有点在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总 长不变。（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73) 图（1)77777 图(3)C进 (1)求AB的长；（4分) (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m)。(6分) V5 19、(10分)如图，在△ABC中，AC=V5,BC=3,cosA=S,点D在BC边上，且CD=2BD, DE L AB,垂足为E,连接CE· (1)求线段AB的长；(5分) (2)求∠CEA的正切值。（5分) B 18/32 单元测 20、跨学科问题（12分)光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定 律如图(1)所示，折射率n= sina sinB (α代表入射角，B代表折射角)。小明为了观察光线的 折射现象，设计了如图（2)所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直 铁丝，却碰不到物块。图(3)是实验的示意图，所有点在同一平面内，点A,C,B在同一 直线上，测得BC=14cm,BF=24cm,DF=32cm。 入射角a一法线 P 天介质 a SD E 折射角B: 图（1) 图 (2) 图(3)A C B (1)求CD的长度；(5分) (2)求光线从空气射入水中的折射率n的值。(7分) 21、规律探究(12分)在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c。 根据锐角三角函数的定义，我们不难发现有这样两个规律：sinA+cos2A=1,sinA= cos(90°一LA),利用所学过的知识来尝试解决下列问题： 3 (1)若sinA+cosA=2求sinA-cosA的值；（4分) (2)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值；(4分) (3)∠A为锐角，化简√sin2A+2cos2A-2cosA。(4分) 19/32 单元测 22、（14分)阅读下列材料. 1 BC中，LA,LB,∠C所对的边分别为a,b,C,可以得到SAMc=7 absin 7acsin B= besinA. 1 证明：如图（1)，过点A作AD1BC,垂足为D. AD 1 在R△ABD中，snB。AD=cSmB,SAARG-:A0三号acsin B 1 1 1 1 1 同理，SAABC=2 absin C,SAABC=2 bcsin A，“SAABC=2 absin C=2 acsin B= bcsin A. 北 北 759 图(1)BaDC 图(2)B 图(3)B (1)通过上述材料证明：sim4 sinBsinc a b (2)运用(1)中的结论解决问题：如图(2)，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20√3， 求AC的长度。(4分) (3)如图(3)，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A,B,C三个测量点，在B点 测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北 偏西45°方向上，根据以上信息，求A,B,C三点围成的三角形的面积。(6分) (参考数据：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，V2≈1.4，结果均取整数) 20/32单元测 第三十二章锐角三角函数综合测试卷 时间：90min满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项 符合题意) 1、在△ABC中，LC=90°，则cosB等于() AC BC BC AC AAB B. C. D. AB AC BC 答案：B BC 解析：因为∠C=90,与∠B相邻的直角边是BC,斜边是AB,故cOsB=4B选B。 2、已知sinA=0.8917,利用科学计算器求锐角A的度数时，若要显示以"度"分"秒"为单 位的结果，按下的键是（) A 2nd Fsin Bsin C2nd Fom Dlab/e 答案：C 解析：科学计算器中，要显示以"度"分"秒"为单位的结果，需按下DMS键（度分秒键)，故 选C。 3、如图，小丽从点A出发，沿坡角为10°的坡道向上走了120米到达点B,则她沿垂直 方向升高了() 4-10° 120 0s10°米 A. B.120cos10°米 C.120tan10°米 D.120sin10°米 答案：D BC 解析：由题意可知，在Rt△ABC中，AB=120米，A=10.因为sinA=B所以BC AB·sinA=120sin10°米，故选D。 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。已知CD=2,AC=3, 则sinB的值是() 2 D. √7 3 单元测 答案：B 解析：因为在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2,所以AB=2CD=4。又 AC 3 因为AC三3，所以sinB-48故选B 5、若(V3tanA-3)2+|2cosB-1|=0,则△ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 答案：B 解析：因为(W3tanA-3)2+|2cosB-1=0,所以V3tanA-3=0,2cosB-1=0,即 amM-V5,c0s8-子所以∠A-60,∠B-60,∠C-60,所以△ABC是等边三角形， 故选B。 6、新情境某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺，在半径为1的半 圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心0处，刻 度尺可以绕点0旋转。从图中所示的图尺可得出cosLAOB的值是（) 900 609 30 二0 0(C 3 4 3 4 A B. 5 C 0 答案：A 009 ,60 ,30° 解析：如图，连接AD。 因为0D为直径，所以∠0AD=90°。因为0D=1,0A=0.8,所以AD=V0D2-0A2= V12-0.82=0.6。又因为∠A0B+∠A0D=90°，∠A0D+∠AD0=90°，所以∠A0B=∠AD0, 0D1=3故选A。 所以cos240B=cos2AD0=AD-0.6=3 单元测 7、新考法某小区停车场出口处安装了"两段式道闸"，如图（1)所示，点A是道闸转动的 支点，点E是两段道闸的连接点。当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图（2)所示位 置，其示意图如图（3)所示（栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC,EF I BC,∠AEF=143°， AB=AE=1.2米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高 的高度适合的是() 图（1) 图(2) 图(3) A.1.9m B.2.1m C.2.0m D.2.2m 答案：A 解析：如图， 过点E作EMLBC于点M,过点A作AN⊥EM于点N,则四边形ABMN为矩形，所以 AB=MN。因为EF I BC,EMLBC,所以EMLEF,∠FEM=90°。因为∠AEF=143°，所 以∠AEN=53°，∠EAN=90°-∠AEN=37°。在Rt△AEN中，AE=1.2米，EN= AE:sinEAN=1.2×sin37°≈0.72（米），所以EM=EN+MN=EN+AB=0.72+1.2= 1.92（米)≈1.9米，所以车辆限高的高度可以为1.9米，故选A。 8、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D,E都在网 格的格点上，则下列结论正确的是（) A.∠DAC>∠EBA B.∠DAC<∠EBA C.∠DAC=∠EBA D.∠DAC+∠EBA=60° 答案：C 单元测 D 解析：如图， 过点D作DF⊥AC于点F,过点E作EH⊥AC于点H,则∠AFD=∠BHE=90°。因为网 格中小正方形的边长为1，所以AF=6,DF=4,BH=3,EH=2。在Rt△ADF中， tan<DAc=DF、42 E。3在RE△BHE中，tam∠EBA路=子所以tanDAC=tam∠EBA。 又因为∠DAC和∠EBA都是锐角，所以∠DAC=∠EBA,故选C。 9、如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5,D为BC边上一点，CD=1,AC>BC,E为 边AC上一动点。当∠BED最大时，CE的长为（) A.2 B.3 C.2W3-1 D.5 答案：D 解析：如图， 过点D作DF⊥BE于点F,则∠DFE=90°。因为BC=5,CD=1,所以BD=BC-CD= 5-1=4。设CE=x,则BE=VBC2+CE=√25+x2,DE=√CD2+CE2=√1+x2。因 为S-之0G8-号0R,所以0E=8E0,即0F店i京在AED咖中， 2 1 4x DE 4x sinDEF DE V25+x2V1+x2 当x=V5(负值已舍去)时，sinDEF有最大值，所 以LDEF有最大值，即当∠BED最大时，CE的长为V5,故选D。 单元测 10、对于题目："如图，∠A0B=a(0°<a<90),0A上从左至右存在两点M,N,0M= MW=2,P为OB上一点，当△MWP为等腰直角三角形时，求tana的值。"对于其答案， 1.1 甲答：taa=1,乙答：tax=2,丙答：tama=2或写则正确的是（) B O M A A.只有甲答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 答案：C 解析：依题意，当△MNP为等腰直角三角形时，有以下三种情况： 图（1)0MNA 图(2)N ①当∠PMN=90°时，因为△MNP为等腰直角三角形，所以PM=MN。因为OM= PM 2 MN=2,所以PM=OM=2。在Rt△OPM中，tana=taniPOM= 0M21,即甲答 正确。 ②当∠PNM=90°时，因为△MNP为等腰直角三角形，所以PN=MN.因为OM=MN= 2,所以PN=MN=2,ON=OM+MN=4。在Rt△OPN中，tana= PN 2 1 0N=4=2 ③当∠MPN=90°时，过点P作PH⊥OA于点H。因为△MNP为等腰直角三角形， PM=PN,MN=2,则PH=MH=NH=1。所以OH=OM+MH=2+1=3。在Rt△ PH 1 OPH中，tama-Oi了即丙答正确。 综上所述，甲、丙答案合在一起才完整，故选C。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 3 11、在Rt△ABC中，∠ACB=90,sinB=5,若将△ABC三边都扩大3倍得到△ABC, 则sinB'A'C'= 答案：5 单元测 12、如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m,只 有当∠CAB=53°时，他才能开门，那么BD长为m。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈ 0.6,tan53°≈1.33，保留1位小数) 答案：1.2 解析：如图，D 过点C作CE⊥AB,垂足为E。由题意易知四边形CDBE是矩形，所以CD=BE=1.8m, CE BD=CE,AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9(m),在Rt△ACE中，tanCAB=AD所以CE= AE.tanA≈1.33×0.9=1.197(m)≈1.2m,所以BD=1.2m。故答案为1.2m。 13、在平面直角坐标系内有一点A(12,5),点A与原点0的连线与x轴的正半轴的夹角 为0，那么c0s0= 2 答案：13 y个 02 B元 解析： 作AB⊥x轴于点B。因为点A(12,5),所以0B=12,AB=5.因为∠AB0=90°，所以0A= 12 士8V12+5B=13,所以cosA0B三0-1即cos0景，放答案为 单元测 14、如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B,实验过程中， 在0点正下方的P处有一个钉子。已知在0点测得起始位置A的俯角是45°，B点的俯 角是60°，在B点测得钉子P的仰角是45°，且0P长为4，则摆绳0A长为 答案：4+2W6+2W2 --- 解析：如图， 过点B作BHLOP,交OP的延长线于点H,则∠BHP=90°。由题意得OA=OP+PB, ∠PBH=45°，∠FOB=60°，EF I BH,所以∠OBH=∠F0B=60°。设BH=x。在Rt△PHB 中，PH=BH.tan45°=x;在Rt△0BH中，OH=BH.tan60°=V3x,所以V3x=x+4, 解得x=2V3+2,所以PB=V2x=2W6+2V2,所以0A=0P+PB=4+2V6+2V2, 故答案为4+2v6+2V2。 1 15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=8,BC=4,∠A=a,易知tama=20小明 同学想求tan2a的值，他在AC上取点D,使得BD=AD,则tan2a= 4 答案：3 解析：令CD=x,则AD=AC-CD=8-x,因为BD=AD,所以BD=AD=8-X。因 为∠C=90°，所以BD2=CD2+BC2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,所以CD=3。 因为AD=BD,所以∠ABD=∠A=a,∠CDB=∠A+LABD=2a,所以tan2a=tanLCDB= 单元测 BC 4 CD=3 故答案为3 16、我们把只有一组邻边相等，且两组对角分别互补的四边形叫作“邻补四边形：如图，在△ABC 中，AB=AC=3,cosB=了点M,N分别在边AC,BC上如果四边形ABNM是“邻补四边形”， 那么四边形ABNM的面积是 6 答案：2或g】 解析：作ADLBC于点D。因为AB=AC,AD⊥BC,所以∠B=∠C,BD=CD。在Rt△ABD 中，因为AB=3,所以BD=CD=1,BC=2,AD=VAB2-BD2=2W2。分情况讨论： ①当AB=BN时，AB=3,BC=2,这种情况不符合题意，舍去。 ②当AB=AM时，AM=AC=3,点M和点C重合，这种情况不符合题意，舍去。 ③当MN=BN时，因为四边形ABNM是"邻补四边形"，所以∠B+∠AMN=180°，又 ∠AMN+∠NMC=180°，所以∠CMN=∠B=∠C,所以MN=CN,又MN=BN,所以CN= BW,点N与点D重合。作NGLMC于点G,则MG=CG,cosC= CD 1 AC3所以 CG 1 CN=3 CG-CM-NG-/CN:-CGR- 1 2W2 3,所以SaNc=2×CMX NG=),S四边形ABNM= SAABG-SAMNG =2V2-2V216V2 99。 ④当MN=AM时，作NG⊥MC于点G,同理∠CMN=∠B=LC,所以MN=CN.设CG= 之，则CM=2cG=2x,MN=AM=CN=3-CM=3-2x。因为osC=N-所必 Cw=3CG,即3-2x=3x,解得x-是则cG-cM-gCN-号NG=VCw-cG- 3 3 9 所以5o-号x6wxG22an=5c5ae271a 6V2 1 18W2 25 32V2 16V232W2 25。综上，四边形ABNM的面积是g或 25。 单元测 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17、(8分)计算：（1)cos30°-tan60°+cos45°；(4分) 解：原式= ,2√2-3 卡3-3+22。 1 3 (2)2tan45°- in30°-2sin260°+2.(4分) 3 3 解：原式=2×1-1-2×(2 2+2 …（7分) 2 33 =2-2-2×4+2=0…(8分) 18、(10分)如图（1)，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提 起。起始位置示意图如图(2)，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m,∠CAB=60°。 停止位置示意图如图(3)，此时测得∠CDB=37°（点C,A,D在同一直线上，且直线CD 与水平地面平行)，图(3)中所有点在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总 长不变。（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，V3≈1.73) 图（1)7 图(2)GA图(3)CA.D (1)求AB的长；(4分) 解：由题意得∠BCA=90,因为AC=3m,∠CAB=60,在Rt△ABC中，由0s∠CAB=AG AB AC 得AB= C0s60° =6(m)。所以AB=6m. 2 (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m)。(6分) 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2-AC2=V62-32=3V3(m)。在Rt△BCD 中，sin/CDB=S所以BD BC BC 3v3 sin37°≈0.6 =5V3(m)。由题意得BC+AB=BE+BD, 所以BE=BC+AB-BD=3V3+6-5V3=6-2W3(m),所以CE=BC-BE=3V3- (6-2V3)=5v3-6≈2.7（m)。答：物体上升的高度CE约为2.7m。 单元测 19.10分)如国，在△A8C中，AC-5,C-VE,sA- S,点D在BC边上，且CD=2BD, DE⊥AB,垂足为E,连接CE. (1)求线段AB的长；（5分) 解：如图所示，过点C作CF1AB于点F…(1分) D B AC-V5,CosA=15 A 5=AC六AF=1,CF=VAC2-AF=2.(3分) 在Rt△BCF中，FB=VCB2-CF2=V13-4=3,AB=AF+FB=1+3=4.(5分) (2)求∠CEA的正切值。(5分) 解： 1 如图，CD=2BD,BC=E,BD=3CB= √13 3· .(6分) EB FB 3 3v13 FB=3,CB=V13,.cos B= DB=CB13 13 .（7分) V3.3V13 .BE=DB·coSB= 13=1,EF=2…(8分) 3大 CF 又：CF=2,CF1AB,tanCEA=E=1(10分） 单元测 20、跨学科问题（12分)光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定 律如图(1)所示，折射率n= sina sinB (α代表入射角，B代表折射角)。小明为了观察光线的 折射现象，设计了如图（2)所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直 铁丝，却碰不到物块。图(3)是实验的示意图，所有点在同一平面内，点A,C,B在同一 直线上，测得BC=14cm,BF=24cm,DF=32cm。 入射角a一法线 A介质 a SD 折射角B: 图(1) 图(2) 图（3) C B (1)求CD的长度；(5分) SD 解：如图， 作DG⊥AB于点G,则四边形DGBF是矩形，∠DGB=90°，所以DG=BF=24cm,BG= DF=32cm。因为BC=14cm,所以CG=BG-BC=32-14=18(cm),所以CD= √DG2+CG2=√242+182=V576+324=V900=30(cm)。答：CD的长度为30cm。 (2)求光线从空气射入水中的折射率n的值。(7分) 183 解：CG=18cm,CD=30cm,sinB=30亏DF=32cm,BF=24cm,∠BFD=90 BG324 ,BD =DF2 BF2 40 cm :sinLGDB= BD=40=5 .（10分) 4 =∠GDB,sina=行，（(11分) 434 4 n=亏*亏3光线从空气射入水中的折射率n的值为3…(12分) 单元测 21、规律探究(12分)在△ABC中，∠C=90°，LA,∠B,∠C的对边分别为Q,b,c。 根据锐角三角函数的定义，我们不难发现有这样两个规律：sin2A+cos2A=1,sinA= cos(90°-∠A),利用所学过的知识来尝试解决下列问题： 3 (1)若sinM+cosA=2求sinA-cosA的值；(4分) 3 9 解：sinA+cosA=2sin2A+ 2sinA·cosA+cos2A= 4 5 sin2A+cos2A=1,2sinA:cosA=4 .sin A.cos A=8…（4分） （2)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值；(4分) 解：因为sinA=cos(90°-∠A),所以sin46°=cos44,sin47°=cos43°，，sin89°=cos1°， 所以sin21°+sin22°+…+sin289°=sin21°+sin22°+…+sin245°+c0s244°+…+ ,189 cos210=(sim1°+cos219)+(sin22°+cos22)+…+sin245°=1×44+2=2 (3)∠A为锐角，化简√sin2A+2cos2A-2cosA。(4分) 解：因为sin2A+cos2A=1,所以sin2A+2cos2A=1+cos2A,所以原式 =√1+cos2A-2cosA=√(1-cosA)2=I1-cosA。因为∠A为锐角，0<cosA<1,所以 1-coSA>0,所以原式=1-cosA。 22、（14分)阅读下列材料. 1 ABC中，∠A,LB,LC所对的边分别为a,b,c,可以得到SA4Bc=absin C=)acsin 2besin A. 1 证明：如图（1)，过点A作AD1BC,垂足为D. 在胜△A0D中，smB-0,AD=cSnB,A5Ac- 1 >a·AD=-acsin B, 2 1. 1 1. 1 1 同理，SAADC=2 absin C,SAABC=2 besin A，SAADC=2 absin C= acsin B= 7bcsin A. 北 北 A 75° 东 图(1)BaD 图(3)B 单元测 b （1)通过上述材料证明： sinA sinB sinc 1 b 证明：由S△ABC= 乞absinC-2 acsinB,得absinc=acsinB,即bsinC=csin,所以 sinB 1 1 a sinC。 同理，由S△4Bc=亏absinC= 2 2 bcsinA,得asinc=csinA,,所以 sinA sinc。所以 a b sinA sinB sinc (2)运用(1)中的结论解决问题：如图(2)，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20V3, 求AC的长度。(4分) AB AC 20V3 AC 解：由题意得∠B=15°，∠C=60°，AB=20N3,- "sin C sin B' sin 60-sin 15,(6 分) 20v3 AC ,AC≈40×0.3=12. 3 0.3 2 答：AC的长度是12.…(8分) (3)如图（3)，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A,B,C三个测量点，在B点 测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18k到达C点，测得A在北 偏西45°方向上，根据以上信息，求A,B,C三点围成的三角形的面积。（6分) (参考数据：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，V2≈1.4，结果均取整数) 解：由题意得∠ABC=90°-75°=15°，∠ACB=90°-45°=45°，所以∠A=180°-15°- BC BC.sin15° 45°=120°。由(1)得 sin15sin45sin120。因为BC=18km,所以4C= 。4CAB sin120° 18×0.3 3=6(am.所以Sa8c-7×AC×BC ACB=-乞×6X18×si45°7X6X 1 1 1 0.9 18×0.7=37.8≈38(m2)。 答：A,B,C三点围成的三角形的面积是38km。