3.1 抛物线及其标准方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

3.1 抛物线及其标准方程 一句话总纲 ✨ 抓住“定点定线等距”核心，推导标准方程，活用定义巧解各类问题。 新课标依据 1. 经历从实际情境中抽象出抛物线概念的过程，掌握抛物线的定义与标准方程，发展数学抽象与直观想象素养。 2. 能运用抛物线的定义、标准方程解决轨迹问题、最值问题、参数求解、焦点弦性质分析等相关问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 3. 能利用抛物线的知识解决简单的实际应用问题，体会数形结合的思想方法，感悟数学与现实世界的联系。 学习目标 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线四种标准方程的形式，能判断抛物线的位置特征，准确求出对应抛物线的焦点坐标与准线方程。 2. 掌握抛物线的焦半径公式与焦点弦性质，能借助抛物线定义推导焦半径公式，会应用定义求解抛物线轨迹问题。 3. 会利用抛物线的相关知识求解抛物线距离最值与焦点定点距离最值问题，能根据给定条件求抛物线标准方程和方程中的参数。 4. 能迁移抛物线的知识解决抛物线相关的简单实际应用问题。 重点 1. 抛物线的定义：平面内到定点（焦点）和不经过该定点的定直线（准线）距离相等的点的轨迹，掌握四种不同开口方向的抛物线标准方程，明确参数（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据标准方程确定焦点坐标、准线方程，也能根据条件求抛物线的标准方程。 2. 抛物线问题的核心转化方法：利用抛物线定义实现“抛物线上点到焦点的距离”与“到准线的距离”的相互转化，以此求解焦半径、距离最值、焦点弦相关问题。 3. 求抛物线轨迹方程时，先根据几何条件判断是否符合抛物线定义，定位焦点位置后，再用待定系数法或定义法求方程。 难点 1. 容易忽略抛物线定义中“定点不在定直线上”的方法边界，误将定点落在定直线上、满足“到定点距离等于到定直线距离”的点的轨迹错判为抛物线。 2. 应用焦半径公式和焦点弦性质时，容易混淆不同开口方向抛物线对应公式的形式，解决焦点与定点距离最值问题时，难以结合定义完成距离转化，容易错判动点位置导致思路卡住。 3. 求解抛物线轨迹问题时，容易忽略对开口方向、位置特征的分类讨论，出现漏解或错写标准方程的问题。 一、抛物线定义 🎯 核心内容 🔍 平面内到一个定点F和不经过F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F是抛物线的焦点，定直线l是抛物线的准线。 若定直线l经过定点F，满足条件的点的轨迹是过F且垂直于l的直线，并非抛物线，这是定义辨析的常见易错点。 定义的核心价值是距离转化，利用“到焦点距离等于到准线距离”可以大幅简化抛物线各类问题的计算过程。 ▸ 考点 1 抛物线定义 🎯 核心内容 🔍 本考点是抛物线所有问题的概念核心，主要考察定义辨析与距离转化两个方向。合理利用定义进行距离互换，能够大幅简化轨迹判断、距离最值、性质推导等问题的计算过程，避免复杂的坐标运算。 ✍️ 答题技巧 看到题目给出动点到定点和定直线距离相等，要求判断轨迹，先判断定点是否在定直线上，再确定最终轨迹类型。 看到抛物线上的点涉及到焦点的距离问题，先转化为该点到对应准线的距离，再结合几何关系求解。 看到抛物线相关的轨迹问题，先依据定义判断轨迹是否为抛物线，再求解对应参数得到方程，无需逐点列式化简。 看到涉及焦半径或焦点弦长度的计算，先结合定义转化为点的横/纵坐标与准线的间距，再代入计算。 • 例题剖析 例题1.1　已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例题1.2　下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 例题1.3　设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为______. 例题1.4　已知抛物线的准线与圆相切，为上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个点，使得 D. 若为正三角形，则圆与直线相离 例题1.5　已知曲线，曲线，若的顶点坐标为，顶点，分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________。 ▸ 考点 2 定义应用 🎯 核心内容 本考点考查抛物线定义的灵活转化应用。核心是利用“抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离”进行距离互换，将复杂运算转化为几何关系简化求解。它是解决抛物线各类综合问题的基础。 ✍️ 答题技巧 ✨ 看到动点满足到定点距离等于到定直线距离，且定点在定直线上，先判断轨迹为过定点且垂直于定直线的直线，不是抛物线。 ✨ 看到已知抛物线上一点到焦点的距离求点的坐标，先利用定义得到点的横（纵）坐标，不用设坐标列距离方程求解。 看到需要证明抛物线上点的距离关系，先利用定义将焦点距离转化为准线距离，再结合几何关系推导证明。 • 例题剖析 例题1.1　设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到准线的距离为____。 ▸ 考点 3 焦点弦性质 🎯 核心内容 💡本考点研究过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得弦的定量性质，核心结论可直接用于求解焦点弦长、面积、定值类问题，省去联立方程的复杂推导。 开口向右的标准抛物线 ，焦点弦长为两端点横坐标之和加，由抛物线定义推导得到，计算效率远高于常规弦长公式。 ✍️ 答题技巧 看到求解抛物线焦点弦的长度，先提取弦两端点的横（纵）坐标，对应代入焦点弦长结论计算，不用联立方程重新推导。 看到给出开口向右标准抛物线焦点弦的倾斜角求弦长，直接使用结论 计算即可。 看到涉及焦点弦的定值证明问题，先利用定义将焦点到端点的距离转化为到准线的距离，再结合韦达定理整理推导。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为，两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 例题1.2　过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段AB的中点到y轴距离为______。 例题1.3　判断正误，正确的写正确，错误的写错误 (1) 抛物线没有渐近线.( ) (2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为.( ) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.( ) (4) 抛物线的图象上任意一点的横坐标的取值范围是.( ) 例题1.4　直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则______ . ▸ 考点 4 抛物线轨迹问题 🎯 核心内容 ⚠️本考点考查依据动点的几何条件判断轨迹形状、求解轨迹方程，是抛物线定义的典型应用。我们需要把题目给出的条件转化为动点到定点、定直线的距离关系，结合抛物线定义完成推导。 若给出的定点在定直线上，动点轨迹实际是一条直线，而非抛物线，不要直接默认是抛物线。 ✍️ 答题技巧 看到题目描述动点到定点的距离等于到定直线的距离，先判断定点是否在定直线上，再求解轨迹方程。 看到需要求解动点轨迹的抛物线相关问题，先整理已知条件得到定点和定直线，优先用抛物线定义推导，不要盲目展开距离公式做平方运算。 看到给出动点满足的复杂几何关系，先转化为“动点到定点距离等于到定直线距离”的形式，再对应抛物线定义判断轨迹。 • 例题剖析 例题1.1　设定点，动圆过点且与直线相切。 ( 1 ) 求动圆圆心的轨迹的方程； ( 2 ) 设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：。 例题1.2　如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为。 (1) 求点的轨迹 (2) 求的最小值。 例题1.3　在平面直角坐标系xOy中，定点，为动点，线段的中点到轴的距离等于，直线交轴于点，的平分线交轴于点，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 例题1.4　已知正方体的棱长为，，点在底面上运动.则下列说法正确的是（ ） A. 当面时，点的轨迹长度为 B. 当与底面所成角为时，点的轨迹长度为 C. 点到直线的距离为，到直线的距离为，且满足时，在一条抛物线上运动 D. 存在点，使得 ▸ 考点 5 抛物线距离最值 🎯 核心内容 本考点考查抛物线上动点的距离最值求解问题。解题核心是利用抛物线定义，将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离，把所求最值转化为两点间距离或点到直线的距离问题。这种转化大幅降低计算量，避免了设参求函数最值的复杂运算。 ✍️ 答题技巧 💡 看到动点到焦点和外部定点的距离和最值问题，先利用定义将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离，再求定点到准线的垂线段长度即为最值。 看到抛物线上动点到非准线的定直线的距离最值问题，先判断定直线是否平行于抛物线对称轴，若是则直接转化为坐标差求最值；若不是则找平行于定直线的抛物线切线，切点即为最值点。 看到动点到焦点和定点的距离差最值问题，先利用定义转化距离后，再结合三角形三边关系，三点共线时取得最值。 • 例题剖析 例题1.1　已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为______. 例题1.2　若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为 A. B. C. D. 例题1.3　已知是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 例题1.4　设是抛物线上一点，则点到椭圆的左顶点的距离的最小值为______。 例题1.5　在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点 (1) 用表示点到点的距离 (2) 设，是曲线上的动点，求的最小值 (3) 设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. ▸ 考点 6 焦点定点距离最值 🎯 核心内容 🔍 本考点考查抛物线上动点到焦点与定点的距离最值问题，是抛物线定义转化思想的典型应用。核心思路是将动点到焦点的距离等价转化为动点到准线的距离，再结合平面几何性质快速得解，能避免构造复杂函数求最值的繁琐运算。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到动点到焦点和定点的距离差最值，先利用抛物线定义，将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离。 当定点在抛物线开口外侧时，直接连接焦点与定点，直线和抛物线的交点就是取得最值的动点位置。 距离差绝对值的最大值等于焦点与定点两点间的距离，三点共线时取得该最值。 求最小距离差时，转化为定点到准线的距离计算即可得到结果。 • 例题剖析 例题1.1　已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为______ . 例题1.2　已知P为抛物线上一动点，定点，则的最小值为 A. 20 B. 13 C. 16 D. 34 例题1.3　已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（ ） A. B. C. D. 例题1.4　已知抛物线的焦点为,,点是抛物线上一点,当取最小值时,点到直线的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 例题1.5　已知抛物线的焦点为，，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为______。 ▸ 考点 7 抛物线位置特征 🎯 核心内容 💡 本考点考察不同开口方向抛物线的标准方程与图形位置的对应关系，可根据方程特征判断抛物线的位置、开口方向，也可根据给定的位置特征反推标准方程的形式，是解决抛物线各类问题的基础前提。 ✍️ 答题技巧 1. 看到已知抛物线标准方程判断位置，先看一次项所在坐标轴，焦点就在对应坐标轴上。 2. 看到判断开口方向，先看一次项系数的符号：一次项为且系数为正开口向右，负则向左；一次项为且系数为正开口向上，负则向下。 3. 看到已知位置特征求标准方程，先根据位置确定方程的形式，再代入已知条件求出参数即可。 💡 判断点在抛物线开口内侧还是外侧，将点坐标代入方程左端减右端，结果小于0在内侧，大于0在外侧。 • 例题剖析 例题1.1　已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例题1.2　设函数，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 有一个实根 D. 有两个实根 ▸ 考点 8 焦半径公式 🎯 核心内容 💡本考点是利用推导自抛物线定义的公式快速求解抛物线上点到焦点的距离类问题。 该公式可直接将距离转化为点的横或纵坐标计算，避免了两点间距离公式的复杂运算，是抛物线类题目常用的简化工具。 ✍️ 答题技巧 看到求抛物线上一点到焦点的距离，先确认抛物线的标准方程形式和参数，再根据一次项类型套公式：开口向右的标准抛物线焦半径长为，其余开口形式可同理推导。 看到已知焦半径长求点的坐标，先利用焦半径公式求出点的横坐标或纵坐标，再代入抛物线方程求解另一坐标即可。 看到涉及焦点弦分段长度的问题，先将两段长度分别转化为焦半径形式，再结合韦达定理计算结果即可。 • 例题剖析 例题1.1　过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于______ . 例题1.2　已知抛物线的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______ . 例题1.3　如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美。，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接的焦点，线段分别交于点G，H，则的值为（ ） A. B. C. D. 例题1.4　已知抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，的最小值为2。 (1) 求抛物线的方程 (2) 直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）。 ①若，求证：； ②，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求。 ▸ 考点 9 抛物线方程求参数 🎯 核心内容 💡本考点考查结合抛物线的已知条件（过定点、焦点位置、焦半径长度等）求解参数或确定开口方向，是求解完整抛物线方程的关键环节。 解题时需结合抛物线定义、对应标准方程的形式，根据已知条件列等式求解参数，需要注意参数表示焦点到准线的距离，其值恒为正数，求解后要舍去不符合条件的增根。 ✍️ 答题技巧 看到已知抛物线过定点求参数，先将点的坐标代入对应开口形式的标准方程，再解方程求出参数。 看到已知焦点坐标或准线方程求参数，先根据坐标或方程判断开口方向、确定标准方程形式，再直接得到的值。 看到已知焦半径长或焦点弦长求参数，先利用焦半径公式或焦点弦性质得到关于的等式，再解方程求解参数。 看到题目未明确开口方向，且多种方向都可能满足条件，先分情况讨论每种开口对应的标准方程，分别求解参数后再整合所有结果。 • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于.圆的圆心为，若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 例题1.2　已知抛物线的焦点为，是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为 A. B. C. D. 例题1.3　过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 抛物线的焦点为 D. 为抛物线上的动点，，则 例题1.4　已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为________。 例题1.5　已知是抛物线的焦点，准线为，，是抛物线上不同的两点，过点作的垂线段，垂足为，过点作的垂线段，垂足为，的值为一常数，当的最小值为时，这一常数值为（ ） A. B. C. D. ▸ 考点 10 抛物线实际应用 🎯 核心内容 💡本考点考查将实际生活中的抛物型结构问题转化为抛物线数学问题的能力。 解题核心是利用实物对称性建立平面直角坐标系，依托抛物线的定义和标准方程求解未知参数，最终将计算结果转化为实际问题的答案。常见出题场景包括桥拱高度计算、隧道通行宽度、光学反射镜焦点位置求解等。 ✍️ 答题技巧 看到抛物线桥拱、隧道顶这类对称抛物型实物问题，先以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设对应开口方向的标准方程简化计算。 提取题目给出的实际长度数据，转化为抛物线上已知点的坐标，代入所设标准方程求出参数，确定抛物线的具体方程。 看到求桥拱某位置高度、最大通行宽度、反射镜焦点位置这类问题，先把待求量转化为坐标问题，代入已得的抛物线方程计算，再把结果转化为实际长度回答。 若题目已给定坐标系，先直接根据坐标系位置判断开口方向，设对应形式的标准方程，再代入已知点坐标求解参数即可。 二、抛物线标准方程 🎯 核心内容 🔍抛物线的标准方程是顶点在原点、对称轴为坐标轴的特殊抛物线方程，参数 表示焦点到准线的距离，恒满足 。 📝根据开口方向（向右、向左、向上、向下）的不同，共有四种不同形式的标准方程，解题先判断开口方向再设方程可简化计算。 求解具体标准方程时，只需将已知点坐标代入所设方程，求出参数 即可得到最终结果。 ▸ 考点 1 标准方程 🎯 核心内容 🔍本考点主要考查根据已知条件求解顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线标准方程，或是由标准方程确定焦点坐标与准线方程。 解题关键是根据开口方向确定对应方程形式，牢记是焦点到准线的距离，恒大于0，不可出错。 ✍️ 答题技巧 💡 看到已知对称轴和过定点求抛物线标准方程，先根据开口方向设对应形式的方程，再代入点坐标求解参数。 看到已知抛物线标准方程求焦点或准线，先确定对称轴（一次项对应轴），再按规律写出结果：一次项为时焦点在轴，坐标为，准线为；一次项为时焦点在轴，坐标为，准线为。 看到实际应用问题求抛物线，先建立合适坐标系使抛物线顶点在原点、对称轴为坐标轴，再设标准方程求解。 • 例题剖析 例题2.1　点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是 A. B. 或 C. D. 或 例题2.2　方程可以化简为（ ） A. B. C. D. 例题2.3　已知抛物线的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆与准线相切 C. 圆的标准方程为 D. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则的最小值为 例题2.4　抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 例题2.5　已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，交于，两点，且当时，。 (1) 求的方程 (2) 设在，处的切线交于点，证明。 ▸ 考点 2 求抛物线标准方程 🎯 核心内容 📝 本考点是抛物线模块的基础考点，要求结合题目给出的几何条件、位置信息或已知点，求解顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程。解题核心是先确定方程的形式，再通过待定系数法求解参数，最终得到所求方程。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到题目明确给出对称轴类型，先锁定对应形式的标准方程，再代入已知点坐标求解参数。 看到题目给出焦点坐标或准线方程，先根据焦点位置确定的值和方程形式，直接写出标准方程。 若题目只说明对称轴为坐标轴，未明确是x轴还是y轴，先分两种形式设方程，再根据条件筛选结果。 处理抛物线实际应用问题时，先将坐标系原点设在抛物线顶点处简化计算，再根据几何量确定得到方程。 • 例题剖析 例题2.1　已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（ ） A. 焦点在x轴上的双曲线 B. 焦点在y轴上的双曲线 C. 焦点在x轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的椭圆 例题2.2　已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当直线与轴垂直时，。 (1) 求的方程 (2) 若，求的值。 例题2.3　若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程。 例题2.4　设点为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线交于两点，。 (1) 求的方程 (2) 圆与轴的正、负半轴分别交于两点，与在第一象限交于点。 ( i )若直线的倾斜角为，求的值； ( ii )若直线与的另一个交点分别为，直线与直线相交于点，求的面积取得最小值时，的值。 例题2.5　用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal Dandelin (1794 - 1847)的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 若双曲线所在截面垂直底面，则双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 ▸ 考点 3 抛物线方程四种形式 🎯 核心内容 🔹 本考点考查顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线标准方程的形式区分，其中 ，几何意义是焦点到准线的距离。 本考点是求解抛物线相关问题的基础，需要先根据条件判断对应方程形式，再开展后续计算。 ✍️ 答题技巧 🔹 看到题目给出抛物线对称轴为x轴，先设方程为 ，无需分开讨论开口方向，可简化计算。 看到题目给出抛物线对称轴为y轴，先设方程为 ，代入已知条件即可直接求解参数。 已知焦点坐标或准线方程，先判断焦点落在x轴还是y轴上，再对应选择标准方程形式。 求标准方程时，先定方程形式，再计算p的值，最终得到符合条件的标准方程。 • 例题剖析 例题2.1　抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为______ . 例题2.2　已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为10，则________. 例题2.3　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。 例题2.4　若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 课堂总结 🔍 核心围绕抛物线定义展开，牢记四种开口方向的标准方程与p的几何意义，掌握对应焦半径公式。 涉及焦点的距离、最值问题，优先通过定义做等价转化，可大幅简化运算过程。 ⚠️ 需避开三个常见易错坑：定点必须在定直线外轨迹才是抛物线，求方程要按开口方向分类讨论，不同开口的焦半径公式别记混。 求解轨迹问题后，记得验证边界条件，避免出现不符合定义的增解。 ✦ 学科加油站 ✦ 【本讲义小结】 咱们这节课啃完抛物线这块圆锥曲线硬骨头，核心要点整理如下 抛物线定义：平面内与定点和不经过的定直线距离相等的点的轨迹，满足（为到的距离） 四种开口方向抛物线标准方程：，，是焦点到准线的距离 焦半径公式：抛物线上点的焦半径 抛物线轨迹问题步骤：建系、设点、列式、化简、验证 抓准定义，认准开口，方程就不会错 【素养小贴士】 解题容易踩的坑都在这了，记好避开陷阱 求抛物线方程要先讨论开口方向再求参数，避免漏解 抛物线距离最值优先用定义转化，将折线段化直线段，不用盲目求函数最值 焦点弦长公式：焦点弦端点横坐标，则 抛物线定义中定直线不能过焦点，否则轨迹是直线不是抛物线 细节到位，分数才到位 【生活中的应用】 抛物线不止在考卷上，生活里到处都有它的身影 探照灯反射镜设计：用到抛物线光学性质，焦点发出的光线经反射后平行于对称轴 投篮轨迹分析：用到抛物线标准方程知识计算篮球落点，优化投篮角度 卫星抛物面天线：用到抛物线光学性质汇聚信号到焦点位置的接收头 学好抛物线，看懂生活里的巧妙设计 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 抛物线及其标准方程 一句话总纲 ✨ 抓住“定点定线等距”核心，推导标准方程，活用定义巧解各类问题。 新课标依据 1. 经历从实际情境中抽象出抛物线概念的过程，掌握抛物线的定义与标准方程，发展数学抽象与直观想象素养。 2. 能运用抛物线的定义、标准方程解决轨迹问题、最值问题、参数求解、焦点弦性质分析等相关问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 3. 能利用抛物线的知识解决简单的实际应用问题，体会数形结合的思想方法，感悟数学与现实世界的联系。 学习目标 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线四种标准方程的形式，能判断抛物线的位置特征，准确求出对应抛物线的焦点坐标与准线方程。 2. 掌握抛物线的焦半径公式与焦点弦性质，能借助抛物线定义推导焦半径公式，会应用定义求解抛物线轨迹问题。 3. 会利用抛物线的相关知识求解抛物线距离最值与焦点定点距离最值问题，能根据给定条件求抛物线标准方程和方程中的参数。 4. 能迁移抛物线的知识解决抛物线相关的简单实际应用问题。 重点 1. 抛物线的定义：平面内到定点（焦点）和不经过该定点的定直线（准线）距离相等的点的轨迹，掌握四种不同开口方向的抛物线标准方程，明确参数（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据标准方程确定焦点坐标、准线方程，也能根据条件求抛物线的标准方程。 2. 抛物线问题的核心转化方法：利用抛物线定义实现“抛物线上点到焦点的距离”与“到准线的距离”的相互转化，以此求解焦半径、距离最值、焦点弦相关问题。 3. 求抛物线轨迹方程时，先根据几何条件判断是否符合抛物线定义，定位焦点位置后，再用待定系数法或定义法求方程。 难点 1. 容易忽略抛物线定义中“定点不在定直线上”的方法边界，误将定点落在定直线上、满足“到定点距离等于到定直线距离”的点的轨迹错判为抛物线。 2. 应用焦半径公式和焦点弦性质时，容易混淆不同开口方向抛物线对应公式的形式，解决焦点与定点距离最值问题时，难以结合定义完成距离转化，容易错判动点位置导致思路卡住。 3. 求解抛物线轨迹问题时，容易忽略对开口方向、位置特征的分类讨论，出现漏解或错写标准方程的问题。 一、抛物线定义 🎯 核心内容 🔍 平面内到一个定点F和不经过F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F是抛物线的焦点，定直线l是抛物线的准线。 若定直线l经过定点F，满足条件的点的轨迹是过F且垂直于l的直线，并非抛物线，这是定义辨析的常见易错点。 定义的核心价值是距离转化，利用“到焦点距离等于到准线距离”可以大幅简化抛物线各类问题的计算过程。 ▸ 考点 1 抛物线定义 🎯 核心内容 🔍 本考点是抛物线所有问题的概念核心，主要考察定义辨析与距离转化两个方向。合理利用定义进行距离互换，能够大幅简化轨迹判断、距离最值、性质推导等问题的计算过程，避免复杂的坐标运算。 ✍️ 答题技巧 看到题目给出动点到定点和定直线距离相等，要求判断轨迹，先判断定点是否在定直线上，再确定最终轨迹类型。 看到抛物线上的点涉及到焦点的距离问题，先转化为该点到对应准线的距离，再结合几何关系求解。 看到抛物线相关的轨迹问题，先依据定义判断轨迹是否为抛物线，再求解对应参数得到方程，无需逐点列式化简。 看到涉及焦半径或焦点弦长度的计算，先结合定义转化为点的横/纵坐标与准线的间距，再代入计算。 授课要点：🎬 课堂引导 我们之前已经学习了椭圆和双曲线两种圆锥曲线，今天一起来认识圆锥曲线家族的最后一位成员，我们先从它的核心概念入手展开学习 😄 课堂趣话 抛物线就像个永远端平一碗水的平衡选手，到定点和定直线的距离永远相等，从不偏倚 ❓ 预设问题 平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗？如果定点恰好落在定直线上，满足条件的点的轨迹是什么？抛物线上的点涉及到焦点的距离时，我们可以用什么方法简化计算？ • 例题剖析 例题1.1　已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：A 解析：根据抛物线的定义，抛物线上点到准线的距离等于该点到焦点的距离，因此，可得。由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号。抛物线的焦点坐标为，由两点间距离公式得，因此的最小值为。 例题1.2　下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 解析/答案：答案：③ 解析：根据抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。逐一判断： ①定点不在定直线上，符合抛物线定义，是真命题； ②定点不在定直线上，符合抛物线定义，是真命题； ③将代入直线方程得，说明定点在定直线上，因此动点的轨迹是过点且垂直于该定直线的直线，不是抛物线，故③是假命题。 例题1.3　设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为______. 解析/答案：答案：2 解析：抛物线的准线为，焦点为。根据抛物线的定义，点到准线的距离等于，因此。的最小值即为焦点到直线的距离，由点到直线的距离公式计算得：最小值为。 例题1.4　已知抛物线的准线与圆相切，为上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个点，使得 D. 若为正三角形，则圆与直线相离 解析/答案：答案：ABC 解析：对选项A：由圆得圆心，半径，准线与圆相切，得，故，焦点，A正确。 对选项B：由抛物线定义得，故，根据几何关系，最小值为，B正确。 对选项C：若，则，即在的中垂线上。中点为，中垂线斜率为，方程为，与抛物线联立得，判别式，方程有两个解，故存在两个满足条件的点，C正确。 对选项D：若为正三角形，计算得直线到圆心的距离满足，故直线与圆相交，D错误。 例题1.5　已知曲线，曲线，若的顶点坐标为，顶点，分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________。 解析/答案：答案： 解析：将曲线整理为标准方程得，可知圆心为，半径为，因此。抛物线的焦点为，准线为，根据抛物线定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，记为。因此的周长，由三角形三边关系得（为与的交点），当四点共线且平行于轴时距离最小，最小距离为，因此周长最小值为。 ▸ 考点 2 定义应用 🎯 核心内容 本考点考查抛物线定义的灵活转化应用。核心是利用“抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离”进行距离互换，将复杂运算转化为几何关系简化求解。它是解决抛物线各类综合问题的基础。 ✍️ 答题技巧 ✨ 看到动点满足到定点距离等于到定直线距离，且定点在定直线上，先判断轨迹为过定点且垂直于定直线的直线，不是抛物线。 ✨ 看到已知抛物线上一点到焦点的距离求点的坐标，先利用定义得到点的横（纵）坐标，不用设坐标列距离方程求解。 看到需要证明抛物线上点的距离关系，先利用定义将焦点距离转化为准线距离，再结合几何关系推导证明。 授课要点：🎬 课堂引导 我们已经掌握了抛物线的基本定义，接下来看看这个定义如何在解题中灵活应用，帮我们简化复杂运算 😄 课堂趣话 抛物线的距离互换就像网购转寄，本来要直接找焦点收件，转去准线代收反而更省事 ❓ 预设问题 满足到定点距离等于到定直线距离的点，什么时候轨迹不是抛物线？ 已知抛物线上一点到焦点的距离，怎么快速求出这个点的坐标？ 证明抛物线上点的距离关系时，该怎么借助定义简化推导？ • 例题剖析 例题1.1　设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到准线的距离为____。 解析/答案：答案：4 解析：抛物线的焦点坐标为，由焦点为可得，解得，因此抛物线的方程为。将代入抛物线方程得，解得，即。抛物线的准线方程为，因此点到准线的距离为。 ▸ 考点 3 焦点弦性质 🎯 核心内容 💡本考点研究过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得弦的定量性质，核心结论可直接用于求解焦点弦长、面积、定值类问题，省去联立方程的复杂推导。 开口向右的标准抛物线 ，焦点弦长为两端点横坐标之和加，由抛物线定义推导得到，计算效率远高于常规弦长公式。 ✍️ 答题技巧 看到求解抛物线焦点弦的长度，先提取弦两端点的横（纵）坐标，对应代入焦点弦长结论计算，不用联立方程重新推导。 看到给出开口向右标准抛物线焦点弦的倾斜角求弦长，直接使用结论 计算即可。 看到涉及焦点弦的定值证明问题，先利用定义将焦点到端点的距离转化为到准线的距离，再结合韦达定理整理推导。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚学会用抛物线定义转换距离简化计算，接下来就用这个方法推导过焦点弦的常用结论，帮大家更快解题 😄 课堂趣话 焦点弦就像过快递柜的捆货绳，两头都拴着准线那边的包裹，算总长不用拆开重新量 ❓ 预设问题 开口向右的标准抛物线，已知焦点弦两端点的横坐标，如何快速求出弦长？已知开口向右标准抛物线焦点弦的倾斜角，怎么计算焦点弦长？证明焦点弦的定值问题时，第一步要做什么处理？ • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为，两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：由题意得抛物线焦点。当过的直线斜率不存在时，，与题设矛盾，舍去。当过的直线斜率存在时，设直线方程为，联立抛物线得：。设，，由韦达定理可得。由得，又，故，解得。代入向量等式得，解得。将代入，即，展开化简后解得。 例题1.2　过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段AB的中点到y轴距离为______。 解析/答案：答案：3 解析：对于抛物线，其标准形式为，可得，即，准线方程为。根据抛物线的定义，抛物线上任意点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此，。焦点弦长，解得。线段AB中点的横坐标为，该点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即结果为3。 例题1.3　判断正误，正确的写正确，错误的写错误 (1) 抛物线没有渐近线.( ) (2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为.( ) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.( ) (4) 抛物线的图象上任意一点的横坐标的取值范围是.( ) 解析/答案：(1) 答案：正确 (1) 解析：渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线，因此该命题正确。 (2) 答案：错误 (2) 解析：过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长度为，不是，因此该命题错误。 (3) 答案：错误 (3) 解析：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时二者不相切，因此该命题错误。 (4) 答案：正确 (4) 解析：对于抛物线，由，，可得，因此该命题正确。 例题1.4　直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则______ . 解析/答案：答案：1 解析：由抛物线焦点得，故，抛物线的方程为。设，由抛物线定义可得，。 当直线斜率不存在时，，代入得。 当直线斜率存在时，设直线斜率为，由点斜式得直线方程为，联立，整理得。由韦达定理得，，代入化简得： 。 综合两种情况，得。 ▸ 考点 4 抛物线轨迹问题 🎯 核心内容 ⚠️本考点考查依据动点的几何条件判断轨迹形状、求解轨迹方程，是抛物线定义的典型应用。我们需要把题目给出的条件转化为动点到定点、定直线的距离关系，结合抛物线定义完成推导。 若给出的定点在定直线上，动点轨迹实际是一条直线，而非抛物线，不要直接默认是抛物线。 ✍️ 答题技巧 看到题目描述动点到定点的距离等于到定直线的距离，先判断定点是否在定直线上，再求解轨迹方程。 看到需要求解动点轨迹的抛物线相关问题，先整理已知条件得到定点和定直线，优先用抛物线定义推导，不要盲目展开距离公式做平方运算。 看到给出动点满足的复杂几何关系，先转化为“动点到定点距离等于到定直线距离”的形式，再对应抛物线定义判断轨迹。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚用抛物线定义推导出了焦点弦的常用结论，接下来就用同样的转化思想，来解决抛物线相关的动点轨迹求解问题。 😄 课堂趣话 找符合条件的动点轨迹就像侦探按特征锁定嫌疑人的活动范围，摸对规则就能直接圈出来，不用瞎跑乱蹲 ❓ 预设问题 动点到定点的距离等于到定直线的距离，动点轨迹一定是抛物线吗？遇到抛物线相关的轨迹问题，为什么优先用定义推导？ • 例题剖析 例题1.1　设定点，动圆过点且与直线相切。 ( 1 ) 求动圆圆心的轨迹的方程； ( 2 ) 设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：。 解析/答案：答案：(1) (2) 见证明 解析：(1) 由题意，动点到定点的距离等于到定直线的距离，符合抛物线定义，因此的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，焦点到准线距离，因此轨迹的方程为。 (2) 设，过的切线斜率存在，设切线方程为，联立，整理得。因为直线与抛物线相切，所以判别式，化简得。设的斜率分别为，由韦达定理得，因此，得证。 例题1.2　如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为。 (1) 求点的轨迹 (2) 求的最小值。 解析/答案：(1) 答案：点的轨迹是抛物线，轨迹方程为 (1) 解析：过点作，垂足为，以所在直线为轴、为原点建立平面直角坐标系。设，则，设，由在的垂直平分线上得。由外心性质，得等式，化简得，代入整理得，即点的轨迹为抛物线。 (2) 答案：最小值为 (2) 解析：由轨迹方程可知，抛物线焦点，准线为，即是抛物线的准线，由坐标得，。根据抛物线定义，点到的距离，因此，由三点共线性质得，计算得，当且仅当、、共线且在、之间时等号成立，故最小值为。 例题1.3　在平面直角坐标系xOy中，定点，为动点，线段的中点到轴的距离等于，直线交轴于点，的平分线交轴于点，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：先根据几何条件求动点P的轨迹，再利用角平分线定理建立参数a的目标函数，最后用基本不等式求最大值。 设P的坐标为，则PF的中点坐标为，由题意得，两边平方整理得，即动点P的轨迹是焦点为，准线为的抛物线。 可得M点坐标为，且，。 在中，在线段FM上，故，即，得，同时，。 由角平分线定理得，即。 令，可得，可知k越小，越大，a越大，因此求a的最大值即求k的最小值。 对k平方得，考虑（时不是最大值），分子分母同除以x得，当且仅当时等号成立，故的最小值为，k的最小值为。 代入得，故。 例题1.4　已知正方体的棱长为，，点在底面上运动.则下列说法正确的是（ ） A. 当面时，点的轨迹长度为 B. 当与底面所成角为时，点的轨迹长度为 C. 点到直线的距离为，到直线的距离为，且满足时，在一条抛物线上运动 D. 存在点，使得 解析/答案：答案：ACD 解析：分析选项A：在上取，在上取，连接，可得平面平面，当在上运动时，面，计算得点的轨迹长度为，故A正确； 分析选项B：因为平面，所以与平面所成角为，由，解得，点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧，计算得长度为，故B错误； 分析选项C：过点作于，再过点作于，可得，代入条件整理得，即，又，故，符合抛物线定义，点在以点为焦点，为准线的抛物线上，故C正确； 分析选项D：作关于平面的对称点，由对称性得，计算得，当点与点重合时，，由连续性可知存在满足题意，故D正确。 ▸ 考点 5 抛物线距离最值 🎯 核心内容 本考点考查抛物线上动点的距离最值求解问题。解题核心是利用抛物线定义，将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离，把所求最值转化为两点间距离或点到直线的距离问题。这种转化大幅降低计算量，避免了设参求函数最值的复杂运算。 ✍️ 答题技巧 💡 看到动点到焦点和外部定点的距离和最值问题，先利用定义将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离，再求定点到准线的垂线段长度即为最值。 看到抛物线上动点到非准线的定直线的距离最值问题，先判断定直线是否平行于抛物线对称轴，若是则直接转化为坐标差求最值；若不是则找平行于定直线的抛物线切线，切点即为最值点。 看到动点到焦点和定点的距离差最值问题，先利用定义转化距离后，再结合三角形三边关系，三点共线时取得最值。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚用抛物线定义解决了动点轨迹问题，接下来继续用定义转化的思想，处理抛物线的距离最值问题 😄 课堂趣话 找抛物线上的距离最值点，就像取快递找最优自提点，换个路径就不用绕远，一步到位 ❓ 预设问题 用定义转化距离求最值，比设参数构造函数求最值好在哪里？定点在抛物线开口内部时，距离和的最值也能用转化法求解吗？抛物线上动点到任意定直线的距离最值都能用切线法找吗？ • 例题剖析 例题1.1　已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为______. 解析/答案：答案： 解析：圆上动点与抛物线动点的最短距离，等于抛物线上动点到圆心的最短距离减去圆的半径。设抛物线上点坐标为，该圆圆心为，半径，则点到圆心的距离为，令，化简得。根据二次函数性质，当时，取得最小值，因此与的最短距离为。 例题1.2　若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为 A. B. C. D. 解析/答案：答案：D 解析：根据抛物线的性质，抛物线上顶点到焦点的距离最短，最短距离为。由题意得，解得，代入得抛物线方程为，因此选D。 例题1.3　已知是抛物线上的一个动点，是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：根据题意，在圆上，因此，其中为圆的圆心，圆半径为。设点坐标为，圆心坐标为，计算得，配方后化简得，当且仅当时取等号，因此，可得的最小值为。 例题1.4　设是抛物线上一点，则点到椭圆的左顶点的距离的最小值为______。 解析/答案：答案： 解析：椭圆的左顶点为，因为点在抛物线上，设，则到的距离为，化简得。当，即时，取得最小值，计算得最小值为。 例题1.5　在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点 (1) 用表示点到点的距离 (2) 设，是曲线上的动点，求的最小值 (3) 设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：由曲线，得焦点，准线为，根据抛物线的定义，得。 (2) 答案： (2) 解析：当时，直线，则，设，，，满足，则，因此当时，取得最小值。 (3) 答案：存在， (3) 解析：当时，直线，则，，，设，。 ①若，则，由矩形性质得，，得，，验证得不满足，此情况不成立； ②若，则，由得，得，直线方程为，代入得。 计算得，，由得，将坐标代入，解得，由得，即存在满足条件的点，坐标为。 ▸ 考点 6 焦点定点距离最值 🎯 核心内容 🔍 本考点考查抛物线上动点到焦点与定点的距离最值问题，是抛物线定义转化思想的典型应用。核心思路是将动点到焦点的距离等价转化为动点到准线的距离，再结合平面几何性质快速得解，能避免构造复杂函数求最值的繁琐运算。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到动点到焦点和定点的距离差最值，先利用抛物线定义，将动点到焦点的距离转化为动点到准线的距离。 当定点在抛物线开口外侧时，直接连接焦点与定点，直线和抛物线的交点就是取得最值的动点位置。 距离差绝对值的最大值等于焦点与定点两点间的距离，三点共线时取得该最值。 求最小距离差时，转化为定点到准线的距离计算即可得到结果。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们已经用定义转化的思想解决了抛物线的一般距离最值问题，接下来我们来看更常考的动点到焦点与定点的距离最值问题 😄 课堂趣话 找这个最值点就像规划出门取件路线，换个路径转换一下目的地，直接走直线就比绕来绕去省事儿多了 ❓ 预设问题 用定义转化法求解比构造函数求最值好在哪里？ 定点在抛物线开口内部时，这个方法还能求出最值吗？ 距离和与距离差的最值求解思路有什么不同？ • 例题剖析 例题1.1　已知点，设点是抛物线上任一点，是抛物线的焦点，则的最小值为______ . 解析/答案：答案：6 解析：抛物线的准线方程为。根据抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，为在准线上的垂足。因此，当三点共线时，取得最小值，最小值为点到准线的距离，即，故最小值为6。 例题1.2　已知P为抛物线上一动点，定点，则的最小值为 A. 20 B. 13 C. 16 D. 34 解析/答案：答案：B 解析：由抛物线方程，可得焦点，准线方程为。根据抛物线定义，抛物线上点P到焦点F的距离等于P到准线的距离，因此可转化为P到Q的距离与P到准线的距离之和。当P、Q两点连线垂直于准线时，距离和取得最小值，最小值等于定点Q到准线的距离，计算得。 例题1.3　已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：ABD 解析：抛物线的焦点坐标为，准线为。 对A选项：由三角形三边关系可得，计算得，联立直线方程与抛物线方程，可得存在共线点，等号成立，故A正确； 对B选项：根据抛物线定义，，其中是在准线上的射影，因此，存在点使共线，等号成立，故B正确； 对C选项：由三角形三边关系得，故C错误； 对D选项：变形得，时等号成立，故D正确。因此选ABD。 例题1.4　已知抛物线的焦点为,,点是抛物线上一点,当取最小值时,点到直线的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 解析/答案：答案：B 解析：抛物线的焦点为，准线，点在抛物线的内部。根据抛物线的定义，等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点坐标为时，取得最小值。代入点到直线的距离公式，得点到直线的距离。 例题1.5　已知抛物线的焦点为，，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为______。 解析/答案：答案： 解析：将直线方程变形为，可得直线恒过定点。计算得，由题意可知垂足在以为直径的圆上，其轨迹方程为（不包含点），该圆圆心为。 根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，即（为到准线的垂足）。因此（为圆心到准线的距离），代入计算得，当且仅当四点共线且点在中间时等号成立，故最小值为。 ▸ 考点 7 抛物线位置特征 🎯 核心内容 💡 本考点考察不同开口方向抛物线的标准方程与图形位置的对应关系，可根据方程特征判断抛物线的位置、开口方向，也可根据给定的位置特征反推标准方程的形式，是解决抛物线各类问题的基础前提。 ✍️ 答题技巧 1. 看到已知抛物线标准方程判断位置，先看一次项所在坐标轴，焦点就在对应坐标轴上。 2. 看到判断开口方向，先看一次项系数的符号：一次项为且系数为正开口向右，负则向左；一次项为且系数为正开口向上，负则向下。 3. 看到已知位置特征求标准方程，先根据位置确定方程的形式，再代入已知条件求出参数即可。 💡 判断点在抛物线开口内侧还是外侧，将点坐标代入方程左端减右端，结果小于0在内侧，大于0在外侧。 授课要点：🎬 课堂引导 刚刚我们搞定了抛物线的定点焦点距离最值问题，接下来我们来梳理抛物线方程和图形位置对应的基础规则，帮大家打牢解题的前提基础 😄 课堂趣话 判断抛物线的位置开口，就像找教室门的开关方向，认准对应标识一眼就能找对，根本不用瞎蒙 ❓ 预设问题 怎么根据抛物线标准方程快速确定它的焦点在哪条坐标轴上？已知抛物线开口向下，怎么设它的标准方程？怎么判断一个点在抛物线开口的内侧还是外侧？ • 例题剖析 例题1.1　已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：D 解析：设点，由点在抛物线上，得。由是圆的切线，得，且。利用二倍角余弦公式推导得：。将代入，得，当且仅当时取得最小值。代入表达式得的最小值为。 例题1.2　设函数，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 有一个实根 D. 有两个实根 解析/答案：答案：B 解析：将变形为，因此表示点到点的距离；表示点到直线的距离。点在抛物线上，因此表示，其中，为垂足。根据点到直线的距离公式，求得点到直线的距离为。由几何性质可知，当三点共线且在线段上时，取得最小值，最小值为，因此A错误，B正确。由于的最小值为，因此无解，C错误；仅存在一个实根，因此D错误。 ▸ 考点 8 焦半径公式 🎯 核心内容 💡本考点是利用推导自抛物线定义的公式快速求解抛物线上点到焦点的距离类问题。 该公式可直接将距离转化为点的横或纵坐标计算，避免了两点间距离公式的复杂运算，是抛物线类题目常用的简化工具。 ✍️ 答题技巧 看到求抛物线上一点到焦点的距离，先确认抛物线的标准方程形式和参数，再根据一次项类型套公式：开口向右的标准抛物线焦半径长为，其余开口形式可同理推导。 看到已知焦半径长求点的坐标，先利用焦半径公式求出点的横坐标或纵坐标，再代入抛物线方程求解另一坐标即可。 看到涉及焦点弦分段长度的问题，先将两段长度分别转化为焦半径形式，再结合韦达定理计算结果即可。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们理清了抛物线位置和开口的判断规则，接下来我们学习一个能简化抛物线上点到焦点距离计算的实用工具 😄 课堂趣话 这个公式就像快递驿站的取件码，不用你挨个翻包裹找，输对号码直接出结果 ❓ 预设问题 怎么利用抛物线定义推导出对应形式的这个公式？已知焦半径长怎么求抛物线上点的坐标？涉及焦点弦分段长度的问题可以怎么用它简化计算？ • 例题剖析 例题1.1　过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于______ . 解析/答案：答案：4 解析：由抛物线方程可得，即，，抛物线准线方程为。根据抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此。 例题1.2　已知抛物线的焦点为，点在上，且位于第一象限，，则点的坐标为______ . 解析/答案：答案： 解析：将抛物线化为标准形式，可得，解得，因此抛物线的准线方程为。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离，即。代入，得，解得。因为点位于第一象限，将代入原抛物线方程，得，即，解得，因此点的坐标为。 例题1.3　如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美。，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接的焦点，线段分别交于点G，H，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：由正方形ABCD的面积为64，可得正方形边长为8，根据图形对称性得，，，。将代入，解得，因此抛物线的方程为，的方程为。可得的焦点，的焦点，直线的方程为。联立与，整理得，解得或，舍去不符合图形位置的大根，得G点横坐标。由抛物线焦半径公式，。由图形对称性可得，又，因此，故选B。 例题1.4　已知抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，的最小值为2。 (1) 求抛物线的方程 (2) 直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）。 ①若，求证：； ②，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：由抛物线定义可知，抛物线上任意一点满足，，当且仅当时取最小值。由题意得，解得，因此抛物线的方程为。 (2) 答案：①证明见解析；② (2) 解析：①设直线的方程为，，联立，消去整理得，由韦达定理得，。由得，代入得，又，因此，得证。 ②设，焦点，设直线的方程为，联立抛物线方程得，由韦达定理得，即，同理。因为，因此面积比为 由抛物线焦半径公式，，代入化简得，同理，因此： ▸ 考点 9 抛物线方程求参数 🎯 核心内容 💡本考点考查结合抛物线的已知条件（过定点、焦点位置、焦半径长度等）求解参数或确定开口方向，是求解完整抛物线方程的关键环节。 解题时需结合抛物线定义、对应标准方程的形式，根据已知条件列等式求解参数，需要注意参数表示焦点到准线的距离，其值恒为正数，求解后要舍去不符合条件的增根。 ✍️ 答题技巧 看到已知抛物线过定点求参数，先将点的坐标代入对应开口形式的标准方程，再解方程求出参数。 看到已知焦点坐标或准线方程求参数，先根据坐标或方程判断开口方向、确定标准方程形式，再直接得到的值。 看到已知焦半径长或焦点弦长求参数，先利用焦半径公式或焦点弦性质得到关于的等式，再解方程求解参数。 看到题目未明确开口方向，且多种方向都可能满足条件，先分情况讨论每种开口对应的标准方程，分别求解参数后再整合所有结果。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们掌握了焦半径公式的用法，接下来我们就来学习怎么结合已知条件求解抛物线的未知参数 😄 课堂趣话 求抛物线参数就像配钥匙，摸对锁的纹路选对坯，磨完就能顺利开门 ❓ 预设问题 已知抛物线过定点但未明确开口方向，你要怎么求解参数？ 求解出参数后为什么要对结果进行取舍？ 已知焦半径长度，如何得到关于参数p的等式？ • 例题剖析 例题1.1　已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于.圆的圆心为，若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：C 解析：由题意得抛物线的准线为，设点，根据抛物线的性质可得。圆的圆心为，由条件，可得，即。因为点在抛物线上，故，代入方程得，两边平方后整理得，解得，即点的横坐标为。 例题1.2　已知抛物线的焦点为，是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为 A. B. C. D. 解析/答案：答案：D 解析：易知抛物线的焦点为。设点，点，由可得，即，解得，即。因为点在抛物线上，代入抛物线方程得，整理得。直线的斜率，要求的最大值，只需考虑，此时变形得，由基本不等式可得，因此，当且仅当，即时等号成立，故直线斜率的最大值为。 例题1.3　过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 抛物线的焦点为 D. 为抛物线上的动点，，则 解析/答案：答案：AB 解析：由抛物线方程得，即，因此焦点坐标为，故C选项错误。 设直线方程为，联立抛物线方程整理得，解得或，代入直线得对应纵坐标为和，即，。 由抛物线焦点弦长公式，代入得，故B选项正确。 中点坐标为，中点坐标为，因为圆与轴相切，因此切点横坐标为，纵坐标与中点相同，得，，因此，故A选项正确。 对于D选项，由抛物线定义得，垂直准线于，因此到准线的距离，即最小值为，故D选项错误。综上，正确答案为AB。 例题1.4　已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为________。 解析/答案：答案： 解析：设，，可得。 抛物线的焦点为，由，得，。 设，则，由在抛物线上，得，，代入得，又不重合，故。 设动点，由，可得，。 消去参数得，结合得，即得到点的轨迹方程。 例题1.5　已知是抛物线的焦点，准线为，，是抛物线上不同的两点，过点作的垂线段，垂足为，过点作的垂线段，垂足为，的值为一常数，当的最小值为时，这一常数值为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：C 解析：已知抛物线的焦点，准线，根据抛物线定义得，，因此。设，，，由余弦定理得。令，则原式可化为。设，整理得，该方程存在正实根，由判别式得，因为，所以，当且仅当时取等号。因此的最小值为，结合已知条件得，平方化简得，解得，即。 ▸ 考点 10 抛物线实际应用 🎯 核心内容 💡本考点考查将实际生活中的抛物型结构问题转化为抛物线数学问题的能力。 解题核心是利用实物对称性建立平面直角坐标系，依托抛物线的定义和标准方程求解未知参数，最终将计算结果转化为实际问题的答案。常见出题场景包括桥拱高度计算、隧道通行宽度、光学反射镜焦点位置求解等。 ✍️ 答题技巧 看到抛物线桥拱、隧道顶这类对称抛物型实物问题，先以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设对应开口方向的标准方程简化计算。 提取题目给出的实际长度数据，转化为抛物线上已知点的坐标，代入所设标准方程求出参数，确定抛物线的具体方程。 看到求桥拱某位置高度、最大通行宽度、反射镜焦点位置这类问题，先把待求量转化为坐标问题，代入已得的抛物线方程计算，再把结果转化为实际长度回答。 若题目已给定坐标系，先直接根据坐标系位置判断开口方向，设对应形式的标准方程，再代入已知点坐标求解参数即可。 授课要点：🎬 课堂引导 刚才我们搞定了抛物线方程求参数的问题，接下来我们一起运用所学知识，解决生活里抛物型结构的实际问题 😄 课堂趣话 生活里藏着的抛物线就像文创盲盒，拆出拱桥、隧道、车灯，总能开出它这一款常客 ❓ 预设问题 怎么把题目给出的实际长度数据转化为抛物线上点的坐标？为什么通常选顶点为原点建立坐标系？如果题目已经给定坐标系，第一步该做什么？ 二、抛物线标准方程 🎯 核心内容 🔍抛物线的标准方程是顶点在原点、对称轴为坐标轴的特殊抛物线方程，参数 表示焦点到准线的距离，恒满足 。 📝根据开口方向（向右、向左、向上、向下）的不同，共有四种不同形式的标准方程，解题先判断开口方向再设方程可简化计算。 求解具体标准方程时，只需将已知点坐标代入所设方程，求出参数 即可得到最终结果。 ▸ 考点 1 标准方程 🎯 核心内容 🔍本考点主要考查根据已知条件求解顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线标准方程，或是由标准方程确定焦点坐标与准线方程。 解题关键是根据开口方向确定对应方程形式，牢记是焦点到准线的距离，恒大于0，不可出错。 ✍️ 答题技巧 💡 看到已知对称轴和过定点求抛物线标准方程，先根据开口方向设对应形式的方程，再代入点坐标求解参数。 看到已知抛物线标准方程求焦点或准线，先确定对称轴（一次项对应轴），再按规律写出结果：一次项为时焦点在轴，坐标为，准线为；一次项为时焦点在轴，坐标为，准线为。 看到实际应用问题求抛物线，先建立合适坐标系使抛物线顶点在原点、对称轴为坐标轴，再设标准方程求解。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚刚学习了抛物线的定义，接下来就一起探究顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线标准方程的相关问题 😄 课堂趣话 投篮划出的优美弧线其实就是一块天然的抛物线，今天咱们就来聊聊它背后的代数秘密 ❓ 预设问题 已知抛物线对称轴为x轴且过点(2,-4)，你会如何设它的标准方程？给出抛物线x²=12y，你能快速说出它的焦点坐标和准线方程吗？解决实际抛物线问题时，为什么常把坐标系原点设在抛物线顶点处？ • 例题剖析 例题2.1　点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是 A. B. 或 C. D. 或 解析/答案：答案：D 解析：将转化为标准形式，分类讨论和两种情况。当时，抛物线开口向上，准线方程为，点到准线的距离为，解得，对应抛物线方程为；当时，抛物线开口向下，准线方程为，点到准线的距离为，解得，不符合舍去，对应抛物线方程为。因此抛物线的标准方程为或。 例题2.2　方程可以化简为（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：B 解析：将等式两边同时平方，可得。展开等式两边：左边为，右边为，消去两边相同项后整理可得。 例题2.3　已知抛物线的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆与准线相切 C. 圆的标准方程为 D. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则的最小值为 解析/答案：答案：ACD 解析：A选项：根据抛物线定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离，已知点到轴距离为10，到距离为12，可得，解得，故A正确； B选项：时，抛物线焦点，准线为，点横坐标为10，，因此圆半径为6，圆心为中点，横坐标为，圆心到准线的距离为，因此圆不与准线相切，故B错误； C选项：将，代入抛物线方程得，因为在第一象限，所以，即，中点坐标为，半径为6，因此圆的标准方程为，故C正确； D选项：设圆心，由切线长公式得，的最小值为圆心到直线的距离，计算得距离，因此，故D正确。 例题2.4　抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为 解析/答案：答案： 解析：抛物线的焦点为，故，因此。根据抛物线定义，点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，设，则，解得。将代入抛物线方程得，故。的面积，整理得，由得，因此抛物线方程为。 例题2.5　已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，交于，两点，且当时，。 (1) 求的方程 (2) 设在，处的切线交于点，证明。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：设斜率为且过点的直线为，其中。设。当时，，，将其与联立，消去得：。由韦达定理得，。 由抛物线定义，，又，因此。结合，得，解得，因此的方程为。 (2) 答案：等式成立，证明见解析 (2) 解析：由(1)得，直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，得，。 求得在点处切线斜率，点处切线斜率，联立切线方程解得交点。 计算得，同理。 由抛物线定义得，要证原等式等价于证明。 代入化简得，因此，原等式得证。 ▸ 考点 2 求抛物线标准方程 🎯 核心内容 📝 本考点是抛物线模块的基础考点，要求结合题目给出的几何条件、位置信息或已知点，求解顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程。解题核心是先确定方程的形式，再通过待定系数法求解参数，最终得到所求方程。 ✍️ 答题技巧 🔍 看到题目明确给出对称轴类型，先锁定对应形式的标准方程，再代入已知点坐标求解参数。 看到题目给出焦点坐标或准线方程，先根据焦点位置确定的值和方程形式，直接写出标准方程。 若题目只说明对称轴为坐标轴，未明确是x轴还是y轴，先分两种形式设方程，再根据条件筛选结果。 处理抛物线实际应用问题时，先将坐标系原点设在抛物线顶点处简化计算，再根据几何量确定得到方程。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚刚认识了抛物线的定义和四种标准方程，接下来就学习怎么根据题目条件求出对应的标准方程 😄 课堂趣话 确定抛物线标准方程就像点奶茶，先选对糖度类型再选杯量，找对形式才能得到正确结果 ❓ 预设问题 已知抛物线对称轴为x轴且过点(2,-4)，你会如何设它的标准方程？给出抛物线x²=12y，你能快速说出它的焦点坐标和准线方程吗？解决实际抛物线问题时，为什么常把坐标系原点设在抛物线顶点处？ • 例题剖析 例题2.1　已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（ ） A. 焦点在x轴上的双曲线 B. 焦点在y轴上的双曲线 C. 焦点在x轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的椭圆 解析/答案：答案：A 解析：因为为第二象限角，正切值在第二象限为负，即。将原方程整理为圆锥曲线的标准形式得，此时项系数为正，项系数为负，符合焦点在轴上的双曲线的标准方程形式，因此该方程表示焦点在x轴上的双曲线。 例题2.2　已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当直线与轴垂直时，。 (1) 求的方程 (2) 若，求的值。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：由题意知直线的方程为，代入抛物线方程得，即，因此弦长，结合已知，得，故抛物线的方程为。 (2) 答案： (2) 解析：设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程得，由韦达定理得，。由且在点两侧，得，代入韦达定理解得。计算得，根据抛物线定义，，，因此，代入得最终结果为。 例题2.3　若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程。 解析/答案：答案：或 解析：设所求抛物线的标准方程为，，由题意得。根据抛物线的定义，。由，可得，代入得。将和代入抛物线方程，整理得，解得或，因此所求抛物线的标准方程为或。 例题2.4　设点为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线交于两点，。 (1) 求的方程 (2) 圆与轴的正、负半轴分别交于两点，与在第一象限交于点。 ( i )若直线的倾斜角为，求的值； ( ii )若直线与的另一个交点分别为，直线与直线相交于点，求的面积取得最小值时，的值。 解析/答案：(1) 答案： (1) 解析：由题知，点。因为过点且与轴垂直，所以，解得，因此的方程为。 (2) 答案：(i) ；(ii) 面积最小值为，此时 (2) 解析：(i) 由题知，联立，解得（舍去负解），得，计算斜率得，解得（舍去），故。 (ii) 由题知圆的圆心为，设，则，得。设直线，联立得，由韦达定理得，得。同理联立直线与抛物线，得。过作于，得，联立直线方程得，由向量关系得，结合相似得。计算得，由基本不等式，推导得，当且仅当时取等号，此时。 例题2.5　用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal Dandelin (1794 - 1847)的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 若双曲线所在截面垂直底面，则双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 解析/答案：答案：AB 解析：对于A，∵为母线的中点，∴截面圆的半径为底面圆半径的，即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，∵为母线的中点，∴，，∴椭圆的长轴长，B正确； 对于C，在与平面垂直且过点的平面内建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，得点，双曲线与底面圆交点，设双曲线方程为，得，代入坐标解得，渐近线斜率，设单条渐近线与轴夹角为，得，两渐近线夹角正切值，C错误； 对于D，建立平面直角坐标系得抛物线与底面圆交点，设抛物线方程为，代入得，解得，抛物线焦点到准线距离为，即，D错误。 综上，正确答案为AB。 ▸ 考点 3 抛物线方程四种形式 🎯 核心内容 🔹 本考点考查顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线标准方程的形式区分，其中 ，几何意义是焦点到准线的距离。 本考点是求解抛物线相关问题的基础，需要先根据条件判断对应方程形式，再开展后续计算。 ✍️ 答题技巧 🔹 看到题目给出抛物线对称轴为x轴，先设方程为 ，无需分开讨论开口方向，可简化计算。 看到题目给出抛物线对称轴为y轴，先设方程为 ，代入已知条件即可直接求解参数。 已知焦点坐标或准线方程，先判断焦点落在x轴还是y轴上，再对应选择标准方程形式。 求标准方程时，先定方程形式，再计算p的值，最终得到符合条件的标准方程。 授课要点：🎬 课堂引导 我们刚才已经认识了抛物线的定义，接下来一起来学习怎么区分不同形式的抛物线标准方程 😄 课堂趣话 区分抛物线的四种标准方程，就像点奶茶选品类，先确定大类再选具体规格，找对类别就不会出错 ❓ 预设问题 已知抛物线对称轴为x轴且过点(2,-4)，你会如何设它的标准方程？ 给出抛物线x²=12y，你能快速说出它的焦点坐标和准线方程吗？ 已知抛物线焦点坐标是(-2,0)，你能写出它的标准方程吗？ • 例题剖析 例题2.1　抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为______ . 解析/答案：答案：16 解析：根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离。对于抛物线，可得，即，准线方程为。过点作准线的垂线，垂足为，则，因此。当、、三点共线时，取得最小值，最小值为点到准线的距离，计算得最小值为。 例题2.2　已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为10，则________. 解析/答案：答案：12 解析：根据抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。设点在准线上的射影为，则，因此。当，，三点共线时，取得最小值。抛物线的准线方程为，因此可得最小值为，解得。 例题2.3　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程。 解析/答案：答案：抛物线的标准方程为或，准线方程分别为和。 解析：1. 整理椭圆方程：将化为标准形式，可得椭圆的短轴在x轴上，因此抛物线的对称轴为x轴。 2. 设抛物线方程：由于对称轴为x轴且顶点在原点，设抛物线方程为或。 3. 求解参数p：由抛物线焦点到顶点的距离为3，可得，解得。 4. 代入得到结果：将p=6代入所设方程，得抛物线标准方程为或，对应的准线方程分别为和。 例题2.4　若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解析/答案：答案：A 解析：将直线方程整理为，由于直线恒过定点，可得方程组，解得，即定点。分两种情况讨论：当抛物线焦点在轴上时，设标准方程为，代入点坐标得，解得，得方程；当抛物线焦点在轴上时，设标准方程为，代入点坐标得，解得，得方程。因此所求标准方程为或，答案选A。 课堂总结 🔍 核心围绕抛物线定义展开，牢记四种开口方向的标准方程与p的几何意义，掌握对应焦半径公式。 涉及焦点的距离、最值问题，优先通过定义做等价转化，可大幅简化运算过程。 ⚠️ 需避开三个常见易错坑：定点必须在定直线外轨迹才是抛物线，求方程要按开口方向分类讨论，不同开口的焦半径公式别记混。 求解轨迹问题后，记得验证边界条件，避免出现不符合定义的增解。 ✦ 学科加油站 ✦ 【本讲义小结】 咱们这节课啃完抛物线这块圆锥曲线硬骨头，核心要点整理如下 抛物线定义：平面内与定点和不经过的定直线距离相等的点的轨迹，满足（为到的距离） 四种开口方向抛物线标准方程：，，是焦点到准线的距离 焦半径公式：抛物线上点的焦半径 抛物线轨迹问题步骤：建系、设点、列式、化简、验证 抓准定义，认准开口，方程就不会错 【素养小贴士】 解题容易踩的坑都在这了，记好避开陷阱 求抛物线方程要先讨论开口方向再求参数，避免漏解 抛物线距离最值优先用定义转化，将折线段化直线段，不用盲目求函数最值 焦点弦长公式：焦点弦端点横坐标，则 抛物线定义中定直线不能过焦点，否则轨迹是直线不是抛物线 细节到位，分数才到位 【生活中的应用】 抛物线不止在考卷上，生活里到处都有它的身影 探照灯反射镜设计：用到抛物线光学性质，焦点发出的光线经反射后平行于对称轴 投篮轨迹分析：用到抛物线标准方程知识计算篮球落点，优化投篮角度 卫星抛物面天线：用到抛物线光学性质汇聚信号到焦点位置的接收头 学好抛物线，看懂生活里的巧妙设计 学科网（北京）股份有限公司 $