第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质这一核心知识点，从生活实例导入，类比椭圆、双曲线的研究方法，系统梳理抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线及离心率等性质，构建“定义-性质-应用”的学习支架，衔接由性质求标准方程及性质应用的问题解决。 该资料以生活中的抛物线实例（如太阳灶、石拱桥）培养数学眼光，通过类比椭圆双曲线引导数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师引导学生探究，课后即时练与练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

3．2　抛物线的简单几何性质 新课导入 学习目标 生活中不乏以抛物线为原型的例子，太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等．除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质，比如抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等．如前面学习椭圆、双曲线一样，下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质． 1.掌握抛物线的简单几何性质．　2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　3.掌握与抛物线有关的轨迹问题和实际问题．　4.会利用抛物线定义求解相关的最值问题．　5.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． 第1课时　抛物线的简单几何性质 知识点一　抛物线的简单几何性质 思考1　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等． 思考2　抛物线与椭圆、双曲线比较有什么明显的区别？ 提示：抛物线没有对称中心，只有一条对称轴，不是封闭图形． [知识梳理] 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－) 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)抛物线y2＝2px上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(多选)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线C的焦点坐标是(－1，0) B．抛物线C关于y轴对称 C．抛物线C的准线方程为x＝1 D．抛物线C的焦点到准线的距离为4 解析：选AC．因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，所以抛物线C的方程为y2＝－4x，则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确； 抛物线C关于x轴对称，故B错误； 抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误． 3．已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线E：y2＝4x上，且|AB|∶|CD|＝1∶2，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为________． 解析：由抛物线的对称性可知，AB∥CD且AB⊥x轴，设A(，y1)，D(，y2)，则||＝，可知＝，所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为1∶4. 答案：1∶4 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点且垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 [例1] (对接教材例3)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 【解】　根据题意可确定所求抛物线的开口方向向下． 方法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－). 因为点M(m，－3)在抛物线上， 且|MF|＝5， 故 解得故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 方法二：如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，由|MN|＝3＋＝5，解得p＝4.故抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2. 由抛物线的几何性质求其标准方程，要先确定抛物线的焦点的位置，不同的焦点设不同的方程，再利用已知的几何性质求参数，此处仍然使用待定系数法求解． [跟踪训练1] (1)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－2，1)的抛物线方程为(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．x2＝4y D．x2＝－4y 解析：选C．依题意，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，将M(－2，1)代入得(－2)2＝a×1，则a＝4，所以所求抛物线方程为x2＝4y. (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1的渐近线相交于A，B两点，若△ABF的周长为4，则抛物线方程为________． 解析：由题意得F(，0)，准线方程为x＝－，－＝1的渐近线方程为y＝±x，在y＝±x中，令x＝－得y＝±p， 故|AB|＝p，由勾股定理得|AF|＝|BF|＝＝p， 故△ABF的周长为p×2＋p＝4，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 应用点　抛物线性质的应用 [例2] (1)(2026·濮阳期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B(A在线段BF上)，|AB|＝2，则p＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 (2)设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点P为抛物线C上一点，过P作y轴的垂线，垂足为A，若|PF|＝3|PA|，则cos ∠FPA＝________． 【解析】　(1)如图所示，设l与x轴的交点为N. 因为直线BF的倾斜角为，所以∠AFO＝， 过A作AM垂直准线于点M，所以∠BAM＝， 因为|AB|＝2，所以|AM|＝1， 所以|AF|＝1，所以|FB|＝3，所以|FN|＝，所以p＝. (2)因为抛物线C：y2＝8x，所以p＝4，所以抛物线的焦点F的坐标为(2，0). 设P(x0，y0)，如图， 由抛物线的定义可知|PF|＝x0＋＝x0＋2，又|PF|＝3|PA|， 所以x0＋2＝3x0，解得x0＝1，故|PF|＝3. 方法一：cos ∠FPA＝－cos ∠PFO＝－＝－＝－. 方法二：连接AF(图略)，|PA|＝1，|y0|＝2，所以|AF|＝＝2， 在△APF中，由余弦定理的推论得 cos ∠FPA＝＝＝－. 【答案】　(1)B　(2)－ 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． [跟踪训练2] (1)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A，与y轴交于点C，若＝，则直线l的斜率为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选C．因为＝，所以F为AC的中点，过点A作AA′垂直于y轴于点A′，所以OF为△AA′C的中位线，则|AA′|＝p，所以A的坐标为(p，p)，而F(，0)，则直线l的斜率k＝＝2. (2)已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝x上，则这个等边三角形的边长为________． 解析：由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个在抛物线y2＝x上 的顶点关于x轴对称，如图所示． 设等边三角形边长为a，则A点的横坐标为a×cos 30°＝a，A点的纵坐标为a×sin 30°＝a，则A(a，a)，代入y2＝x得(a)2＝×a，解得a＝6(a＝0舍去)，故等边三角形的边长为6. 答案：6 1．(教材P73T3改编)已知抛物线y2＝2px(p>0)，焦点到顶点的距离为1，则该抛物线的准线方程为(　　) A．y＝1 B．x＝－ C．x＝1 D．x＝－1 解析：选D．因为抛物线焦点到顶点的距离为1，所以＝1，解得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－＝－1. 2．(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为(　　) A．(，－) B．(，) C．(，) D．(，－) 解析：选BD．设抛物线y2＝x的焦点为F，则F(，0)，依题意可知|PF|＝|PO|，所以xP＝，则y＝，yP＝±.所以点P的坐标可以为(，)，(，－). 3．已知顶点在原点的抛物线，其焦点关于准线的对称点坐标为(－6，0)，则抛物线的标准方程为________________． 解析：由题意可得抛物线开口向右，设其方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，因为焦点关于准线的对称点坐标为(－6，0)，所以－6＝－p，解得p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上． (1)求该抛物线的方程； (2)若该抛物线上的点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 解：(1)在x－2y－4＝0中，令y＝0，得x＝4，又因为抛物线的对称轴为x轴，所以焦点坐标为(4，0)，故设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，故＝4，解得p＝8，故抛物线方程为y2＝16x. (2)设点A到该抛物线焦点的距离为h，由抛物线的定义可知h＝xA＋＝2＋4＝6. 1．已学习：抛物线的几何性质及其应用． 2．须贯通：研究抛物线的几何性质应明确抛物线的开口方向，理解p的几何意义体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 学科网（北京）股份有限公司 $