精品解析：宁夏银川市第二中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

银川二中2026-2027学年第一学期高一年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题 为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，错误的结论有（） A. 取得最大值时的值为1 B. 若，则的最大值为 C. 若，，，则的最小值为 D. 函数的最小值为2 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 13. 不等式的解集为__________． 14. 已知函数，，若的最小值为，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知定义在上的奇函数，且当，． （1）求的解析式； （2）画出函数的图象，求的单调递增区间以及的解集． 17. 已知函数（且）的图象经过点． （1）求的值并比较与（）的大小； （2）求函数的值域． 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若函数，当时，满足，求实数的取值范围． 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，用定义证明的单调性； （3）若（2）中的函数在区间上的值域是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2026-2027学年第一学期高一年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算直接得到结果. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 3. 下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：，，是奇函数， 是上严格递增函数，故是上的递减函数，故A正确； 选项B：，，是奇函数， 是上严格递增函数，故B错误； 选项C：，，是奇函数， 函数定义域为、，在、上分别单调递减， 但区间不连续，不符合题意，C错误； 选项D：，函数非奇非偶，故D错误． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 6. 若命题 为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将存在量词命题为假转化为其否定的全称命题为真，再分二次项系数为0、大于0、小于0三种情况讨论函数恒成立的条件，合并得到参数范围. 【详解】命题为假命题等价于其否定“，”为真命题， 记， 当时，对任意恒成立，符合要求； 当时，二次函数图象开口向上，当绝对值足够大时， 不满足恒小于0的要求，舍去； 当时，二次函数图象开口向下，要满足恒成立，需判别式， ， 化简得， 结合解得； 综上，，故a的取值范围是. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，，， 当时，， 当时，，， 当时，，， 综上，不等式的解集是 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质分别判断各个选项即可得到答案. 【详解】∵，∴，∴，∴，A选项正确； ∵，∴，B选项错误； ∵，∴，即，C选项正确； ∵，∴，即，D选项正确. 故选：ACD. 10. 下列结论中，错误的结论有（） A. 取得最大值时的值为1 B. 若，则的最大值为 C. 若，，，则的最小值为 D. 函数的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合二次函数性质与基本不等式逐一判断选项正误. 【详解】选项A：将函数整理为二次函数形式， 该抛物线开口向下，对称轴为， 因此函数取得最大值时，并非，故A错误； 选项B：当时，对函数变形得， 由于，令，则，此时， 对勾函数在时单调递增，因此当时，，故，故B错误； 选项C：已知，，对等式变形得，因此， 由基本不等式得：， 故， 当且仅当即时取等号，满足， 因此的最小值为，故C正确； 选项D：对函数变形得， 令，则，函数变为，由于在时单调递增， 因此的最小值为，故D错误. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 13. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式等价于. 即,解得或. 所以原不等式的解集为. 14. 已知函数，，若的最小值为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 当时，随增大而减小，故在处取最小值， 即，解得，此时，符合条件； 当时，随增大而增大，故在处取最小值， 即，令，解得，此时，矛盾； 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由分数指数幂的意义,,. 所以. 【小问2详解】 由对数的运算性质,,. 所以. 因为,所以. 由对数恒等式,. 又. 所以原式. 16. 已知定义在上的奇函数，且当，． （1）求的解析式； （2）画出函数的图象，求的单调递增区间以及的解集． 【答案】（1）； （2）图象如下： 由题可知，的单调递增区间为，的解集为或. 【解析】 【小问1详解】 当时，，故， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故，所以， 综上，的解析式为； 【小问2详解】 略 17. 已知函数（且）的图象经过点． （1）求的值并比较与（）的大小； （2）求函数的值域． 【答案】（1）,且. （2）函数的值域为. 【解析】 【小问1详解】 因为的图象经过点,所以,又,故. 此时,因为,所以在上单调递增. 又,所以. 【小问2详解】 由得,其中. 令,由得,所以. 因为在上单调递增,所以,即. 当时,取得最小值；当时,取得最大值. 所以函数的值域为. 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若函数，当时，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性求解的解析式； （2）分离参数结合基本不等式求解参数的取值范围. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以：， 整理得，解得或， 又因为在上单调递增， 所以， 即，故舍去，取， 因此. 【小问2详解】 由(1)可知，因此， 题目要求当时，恒成立， 即不等式对任意恒成立， 将不等式整理为， 由于，因此，即， 可将参数分离，得到：对任意恒成立， 因此需小于等于函数在区间上的最小值， 令，由得，且， 代入得：， 根据基本不等式，对，有， 当且仅当即时等号成立， 由于， 因此的最小值为， 对应， 因此， 即实数的取值范围为. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，用定义证明的单调性； （3）若（2）中的函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 当时，，则， 不妨设，所以， 因为，则且， 即，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列出方程求得的值，验证即得； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）根据（2）所得在上单调递增，结合条件得出方程组，依题可将，看成关于的方程的两个不等正根，进而得到关于的不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由函数为奇函数，得，即， 有，整理得，解得， 当时，，函数的定义域为，，符合题意； 当时，，定义域为，，符合题意， 所以或 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由上知在上单调递增，则得， 即得， 则，是关于的方程的两个不等正根， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $