精品解析：宁夏育才中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高一年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，那（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，集合，故. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】因为命题为：，， 所以为：，， 故选：C 3. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 4. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数的取值范围. 【详解】由题意，得函数的图象的对称轴为直线．∵函数在区间上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是． 故选:D． 5. “空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A. 6小时 B. 7小时 C. 8小时 D. 9小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 【详解】因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 6. 已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将恒成立问题转化为求函数最值，再利用基本不等式求函数最值，最后解关于实数的不等式即可. 【详解】因为恒成立，所以. 又因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以. 故选：A. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 8. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义和基本初等函数的单调性求解. 【详解】对于A，令，其定义域为，且，即， 则是偶函数，又时，，故在上单调递增，故A当选； 对于B，由，定义域为R且为奇函数，不符合题意； 故B错； 对于C，令，其定义域为，且， 即是偶函数，且在上单调递增，故C当选； 对于D，，是偶函数，在 上是减函数，故D错误. 10. 下列说法正确的是（     ） A. 若，，则 B. 是减函数 C. 已知，“且”是“”的充分不必要条件 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以． 因为，所以，故A正确； 对于B，的定义域为，在上单调递减， ，，，， 故在定义域上不单调递减，B错误. 对于C：若且，则； 取，，满足但， 故“且”是“”的充分不必要条件，C正确. 对于D，由于，故，所以， 则的值域为，D正确； 11. 给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 增区间为 B. 值域为 C. ， D. 若有三解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先作出两个函数图像，根据定义求出的图像，即可求得结果. 【详解】作出函数，的图像如图： ， 因为表示，中较小者， 所以当时，即，即， 当时，即，即或， 当时，此时或， 可得到的图像如图： ， 由图像可得增区间为，值域为，故选项A、B正确； ，，故选项C错误； 若有三解，即与有三个交点，则，故选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递增，则_____. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 13. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集为，即方程的两个实数根为，可求出，然后代入不等式，可得答案. 【详解】不等式的解集为. 所以是方程的两个实数根，且. 则，所以. 不等式即为，也即是.解得：. 故答案为： 【点睛】本题考查解二次不等式，考查二次方程与二次不等式之间的关系，属于基础题. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】奇函数在上单调递减，故得到在上单调递减， 解不等式即可. 【详解】因为在上单调递减且是奇函数，则在上单调递减, 可得在上是单调递减的. 因为且是奇函数，即, 所以， 解得， 所以的取值范围. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知 ，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂指数运算法则计算得解. （2）利用指数运算法则化简求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，则， 因为，故， 故. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象，并求函数在上的解析式； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； 【答案】（1）；. （2）单调递增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先画出时的图象，再根据奇函数图象关于原点对称画出时的图象即可；根据奇函数的性质求出函数的解析式. （2）由图象得出单调区间，根据单调性来求最值即可； 【小问1详解】 时，的图象是开口向上，对称轴为，顶点为， 又函数是定义在上的奇函数，故图象关于原点对称，画出时的图象，如下图： 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 因为，，且， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 17. 已知是一次递增函数，且，满足， （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，求函数在上的最小值. 【答案】（1），； （2）当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为. 【解析】 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求得；利用配凑法求出. （2）由（1）的信息求出，再按对称轴与区间的位置关系分类求出最小值. 【小问1详解】 由是一次递增函数，设，则， 而，因此，又，则，； 由，得，则， 所以和的解析式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，， 当，即时，函数在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递减，； 当时，， 所以当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 【答案】（1） 函数为奇函数. 证明：定义域，因为，都有， 且， 所以函数为奇函数. （2） 函数在区间上单调递增. 任取，，则 因为,，，所以， 即，所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义证明； （2）根据单调性定义证明； （3）作出的图象，观察图象得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的范围，理由如下： 先证明函数在区间上单调递减. 任取，， 则， 因为，，，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下： 计算可知：， 由图可知， 当时，的值域为，的取值范围为. 19. 某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若．求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，且，求的最小值． 【答案】（1）4 （2） 函数的定义域为， ， ， 当且仅当时取等号，因此恒成立，所以二次函数是上凸函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凹函数的概念以及满足的不等式，代入参数，列出不等式，进而根据指数函数的性质，求出参数范围，求出最大值. （2）根据二次函数性质，通过作差法比较与的大小关系，从而证明结果. （3）现根据定义，证明函数为下凹函数，再根据下凹函数满足的不等式性质，列出不等式，从而证明不等式即可. 【小问1详解】 由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，则，即，所以的最大值是4． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，设， 则 ， 即， 于是函数，在上为下凸函数， 依题意，， 因为，可得， 则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高一年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，那（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. “空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A. 6小时 B. 7小时 C. 8小时 D. 9小时 6. 已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（    ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（     ） A. 若，，则 B. 是减函数 C. 已知，“且”是“”的充分不必要条件 D. 函数的值域为 11. 给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（ ） A. 增区间为 B. 值域为 C. ， D. 若有三解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递增，则_____. 13. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知 ，求的值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象，并求函数在上的解析式； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； 17. 已知是一次递增函数，且，满足， （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，求函数在上的最小值. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 19. 某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若．求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $