浙江宁波市2026-2027学年高三第一学期高考模拟考试数学试卷

宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 2 4 5 6 7 8 答案 C A D Q A B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 10 11 答案 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3 12.3 13.e 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l5.解析：(l)由正弦定理，得sin Bsin C+sin Ctan Ccos B=3 sin Csin A 因为sinC≠0，故 nB+SinC ·cosB=3sinA cosC 所以sin BcosC+sin Ccos B=3 sin 4cosC 从而sin(B+C)=3 sin cosC,即sinA=3 Bsin 4eosC 因为sinA≠0，所 cosC=I 3 (2)因为 osC=1 3,所以 inC=2v2 3 又二3，， sin B=sin(4+C)=sin AcosC+cos4sinc 6 a=b C =3 由正弦定理，得sinA sin B sinC 所以a+b+c=3sinA+3sinB+2W2=2V3+3V2 即△4BC周长为2V5+3V2 16.解析：(1)如图，过M作MG⊥AB,垂足为G，,连接GN, 设M=,则G方 t BG62,月BN=CM=6N2 G=BN+BGP-2BN.BG-C0s45=-6+36 在△BNG中，由余弦定理得 因为NG2+BG2=-12V21+72=BN2,所以NG⊥BG,即AB⊥NG 又BG∩NG=G,所以AB⊥平面MGN 因为MNc平面MGN,所以AB⊥MN. (2)(解法1)CB⊥AB,BE⊥AB① ∴∠CBE为二面角D-AB-F的平面角，即∠CBE=60° 在正△BCE中，设H为BE的中点，则CH⊥BE 又由①知，AB⊥平面BCE,所以CH⊥AB 故CH⊥平面ABEF 易知CMN∩平面ABEF=AN,作HI⊥AN,连接CI,则CI⊥AN 所以∠CIH为平面CMN与平面ABEF的夹角 I95 在正方形ABEF中，经计算可得 5 在直角△CH中，CH=3W5.CI=VCH2+Hm_6N30 5 os∠CIH=HI-V6 √6 所以 CI4,即平面CMW与平面ABEF夹角的余弦值为4· (解法2)以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,60),E(66,0),F(60,0) :AD⊥AB,AF⊥AB ∴.∠DAF为二面角D-AB-F的平面角，即∠DAF=60 .D3,035).c(3,635) 因为CM和BN长度保持相等，且AC=6N2,CM=4V2 所以可设 -c=(24-2)丽-号f=(64叭 从而可得M2,V5),N(42,0) 设平面CMN的法向量=()，因为c=(2,42),瓜=3.0，) m·MC=2x+4y+2V3z=0 则4·MN=3x-V3z=0 令x=1,则2=5，y=-2,即%=(，-2,5) 可取平面ABEF的法向量为%=(Q0,1),设平面CMN与平面ABEF夹角为B,则 56 cos 0 1n2 2√24 6 即平面CMN与平面ABEF夹角的余弦值为4， a2+b2=4 0w6e对导uuc,专r- 92 a=3 t2 (2)设直线1：x=my-2,A(,).B(x,2) 直0：=-2.D以，E6).英种m-1.N0别 x=my-2 联立方程(3少= 可得m-3列y2-4mw+1=0 所以少+⅓ 4m 1 m2-3.= m2-3 -2=V(y+乃2}-4y2= 4m 42V3(m2+1) m2-3 m2-3 故 m2-3 月w=52、2m 2 m2-3 y-y4= 2V3(w2+可 同理可得 m2-3 23(m2+1） S-y m2-3 2 S2 yu-yr y3-y4 2m 2V3(n2+1 vn2+1 m2-3 所以 m2-3 13m-=2 3m-1t2 由题 m,所以m ,即3m2±2m-1=0 由3m2+2m-1=0,解得m=-1或3；由3m2-2m-1=0,解得m=1或3. x= 所以m=1或3，从而直线I的方程为：x=±y-2,或 y-2 3 即：x±y+2=0,或3x±y+6=0. 18.解析：(1)显然X可取值为0,1,2,3. Px=0-7.px=小-品-号Px=2)-号-Px=)- 故X分布列为： X 0 2 3 1 4 8 P 27 9 9 1 x)=I号+2号+ 8 27 =2 得 9 (2)(解法1)我们注意到，当n为偶数时，次移动后必位于一面染红或三面染红的小正方体房间内， 当n为奇数时，n次移动后必位于没有染红面或两面染红的小正方体房间内. 记事件A:”次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件B。:n次移动后位于两面染红的小正方 体房间内， 故当n为偶数时，P(4,)=0, 当”为奇数时， P(4)=P(4n-2A,UA-2A)=P(An-2A)+P(4n-2A)=P(A-2A,)+P(B-2A) =P4)P44)+P(B,P(AB,)P()+×P(,) -)r-pu小-P)b. aga)周.aP)[P司 得 )g品月 0,n为偶数， P(A)= n-1 111 、2 ,n为奇数 综上， 9910 (解法2)记事件：n次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件B,:n次移动后位于1面染红 的小正方体房间内，事件C:n次移动后位于2面染红的小正方体房间内，事件D:n次移动后位于3 面染红的小正方体房间内， P(4)-P(BA)=P(B)(B)-(B) 有 ① P(B)=P(4-B)+P(CB)=P(4)P(B A)+P(C)P(B C) =P(4)+)P(C) ② P(C.)=P(BC)+P(DC)=P(B)P(CI B)+P(D)P(C D) =Pa,Pa） ③ P(D.)=P(C.D.)-P(C-)-P(D.lC.)-jP(C.) ④ ④代入③ P(C)-3P(B)+P(C..) ⑤ ①代入⑤ P(C)=4P(4)+2P(C) ⑥ ①代入② 5P(4)=P(4)+P(C) ⑦ ⑦代入©得10P(4)2P(4,)=4P(4,)+5P(4,)-P(4). m小)-6).0-45P】s3, 得 7-0.Pa)-0.P4=0.P0-0 故当n为偶数时，P(42)P(4,)=0,进而得P(4)=P(42)=…=P(4,)=0, 当n为奇数时， PP)-([P)-P4-月 累加得， P4)=P4-[P4P4小++[P4)P4】-(+…-a月 1、 信门 10 「0，n为偶数， P(4)=11.（12 ,n为奇数. 综上， 99(10 0w+,发-支，房日-份 .- ◆8国7西，期当x>0时.86+=8)+1@ 当0<x<1时，g()+8(1-)=1© 当x,>0时，8(x+)≤g(x)+8()O 令1e(0,1）,由©，⑦式知80s8()+g1-)=1 又由⑦式知8(+)sg()+g)】 由⑤式知8t+)=g(0)+1,所以8()21 从而80)=1，f)=1 (2)由⑥式和8()>0，得0<g(x)1,0<x<1 对于任意x>L,设x=n+t,t∈[0，)，n∈N0 由⑤式和8(0=1，得 当0<1<1时，8()=n+8,因此n<g(x)n+1, 由于x=n+t,可得x-1<g(x)<x+1 当1=0时由⑤式和8(0)=1可知，8(m）=”,也满足 数-1g1,。女水 8》可知8)5e(),所828 当n足够大时，由第二间，r-1<g()<x+1 因此36)>r-1 n n, 当”→+0时，可得8()≥x 对于0<x<1,有8()≥x,故8(1-)21-x,又因为8()+g(1-)=1 所以8()=1-g1-x)sx 所以8(x)=x,又因为8()=1，故x∈(0，刂，g(x)=x 令当x=n+t,1∈(0，]，由8(x+)=g()+1,知8(x)=gn+)=g)+n=n+1=x 改8()=，即) 绝密★启用前 宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．“”是“，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．全集，集合满足，，则 A． B． C． D． 4．在宁波某景点的正东方向处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，该景点受到此次台风影响的持续时间为 A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 5．两个线性相关变量与的统计数据如下表： 由一元线性回归模型，得到经验回归直线方程，则样本点在处的残差为 A． B． C． D． 6．给定平面向量，，甲、乙、丙、丁四人分别做出以下判断 甲：，乙：，丙：，丁：． 若四个人中三个人的判断是正确的，一个人的判断是错误的，则判断错误的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．函数在区间上有两个不同的极值点，（）满足，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．在无穷正整数数列中，，，，若（），则的取值不可能为 A．31 B．33 C．34 D．36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列不等式成立的是 A． B． C． D． 10．在正四棱台中，，，，则 A．正四棱台表面积为 B．正四棱台体积为 C．点到平面的距离为 D．正四棱台外接球的表面积为 11．将，，，…，这个数填入图中的九个圈中，每个圈只填一个数，每个数只用一次，且同一列下方的数均小于上方的数（例如：第一列需满足）．现从满足条件的填法中随机选取一种，则 A．的概率为 B．的概率为 C．的概率为 D．的概率大于 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算 ． 13．关于的不等式在上恒成立，则实数的值为 ． 14．设点，，是抛物线：上的两个动点，且满足直线，的斜率之差为．当线段的长度最小时，点到直线的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，． 已知． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 16．（15分）如图，正方形与正方形的边长都是，二面角的大小为，点，分别在对角线和上（不含端点），且． （1）求证：； （2）当的长度为时，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知左焦点为的双曲线：（，）经过点． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线交于，两点，过作的垂线交于，两点且与轴交于点．记线段的中点为，若面积是面积的倍，求直线的方程． 18．（17分）将表面染成红色的正方体分割成大小、形状完全相同的个小正方体（如图）． （1）从这个小正方体中任取个，记为所取出小正方体被染成红色的面数，求的分布列及数学期望； （2）若将个小正方体视作个房间，现从某个三面染红的小正方体房间出发，每一次移动离开所在房间，并等可能地进入到某个有公共面的邻近房间（若该房间有个有公共面的邻近房间，则进入其中某个邻近房间的概率均为），求在（）次移动后位于没有染红面的小正方体房间内的概率． 19．（17分）已知函数的定义域为，满足： ①； ②； ③对任意，有； ④对任意，，有． （1）求，； （2）证明：当时，； （3）求的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $