精品解析：浙江绍兴市2026-2027学年高三上学期11月高考科目诊断性考试数学试题

2026年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数 学 试 题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写答题卡规定的位置上． 2．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据7，9，5，6，12的上四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，若点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 记为数列的前n项和，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有极小值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 8. 甲乙两人各抛掷一枚质地均匀的骰子，进行两轮试验．第1轮甲乙得到点数分别为，，第2轮甲乙得到点数分别为，．定义随机变量，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. z和是方程的两个根 10. 若，是两条互相垂直的异面直线，A，B，C，D是四个不同的点，满足A，，B，且，，，则（ ） A. 平面 B. 若，则 C. 直线与是异面直线 D. 11. 记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D. 若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 13. 已知函数（，），在上单调递增且，则的最大值为______，此时______． 14. 已知圆，与圆关于直线对称，过原点O分别作和的切线，切点分别为P，Q（P，Q在直线l的两侧），则当的面积最大时，m的一个可取值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求点到平面的距离． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B； （2）设，，求c和的值． 17. 现有2个红球，3个白球，另有2个红盒子，3个白盒子，这5个盒子排成一列，现将这5个球随机放入这5个盒子中，每个盒子放入1个球． （1）求2个红球放入不相邻盒子的概率； （2）设随机变量X表示落入红盒子中的红球个数． （ⅰ）求X的分布列； （ⅱ）在事件发生的条件下，求5个球中恰有1个球颜色和盒子颜色匹配的概率（球的颜色与盒子颜色相同称为匹配）． 18. 已知椭圆的左右顶点为A，B，，离心率为，P为C上一动点（与A，B不重合），直线与直线交于点M． （1）求椭圆C的方程； （2）过点M作的垂线交于点G，记，的面积为，． （ⅰ）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 19. 设函数的定义域为，其导函数存在．若函数同时满足以下两个条件，则称为“陡增”函数： ①对任意，都有； ②对任意且，恒有． 对于任意给定的实数，定义集合． （1）若，求，并判断是否为“陡增”函数，请说明理由； （2）若为“陡增”函数， （ⅰ）证明：对任意的，若，则； （ⅱ）若且在上单调递增，证明：若负实数满足，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数 学 试 题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写答题卡规定的位置上． 2．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项依次判断即可． 【详解】当=时，，不合题意； 当=时，，不合题意； 当=时，，符合题意； 当=时，，不合题意． 2. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，可得， 所以. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 4. 样本数据7，9，5，6，12的上四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：5,6,7,9,12. 数据总个数. 上四分位数即第75百分位数，按照百分位数的计算规则， 计算第75百分位数的位置：. 因为不是整数，所以取大于的最小整数. 即第75百分位数为排列后的第个数据，该数据为. 所以该样本数据的上四分位数为. 5. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，若点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线：的焦点为，得，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为，则， 设点，由抛物线的定义可知， 因为，所以，得， 将代入，得，， ，. 6. 记为数列的前n项和，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系求得，根据裂项相消法计算求解即可. 【详解】当时，，即， 所以，， 当时，，代入，等式成立， 所以对都成立， 因为， 所以数列的前10项和为. 7. 若函数有极小值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据有极小值点求出，再求出的极小值. 【详解】，， 有极小值点，，解得或， 当时，令，解得或，列表如下： 此时的极小值点为，不符合题意. 当时，令，解得或，列表如下： 此时的极小值点为，符合题意， 综上，，， 的极小值为 8. 甲乙两人各抛掷一枚质地均匀的骰子，进行两轮试验．第1轮甲乙得到点数分别为，，第2轮甲乙得到点数分别为，．定义随机变量，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先记，然后根据期望的性质有， 然后分别列出的分布列，最后计算期望即可. 【详解】记，则， 是甲乙第一轮抛掷骰子的点数差的绝对值，无限制条件，共有种可能情况， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， ， ，此时，满足的情况数共有种， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， 时，共有种情况，， ， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. z和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】由，得，再结合选项进行判断． 【详解】由，得，得， 对于A项，不是纯虚数，故A项错误； 对于B项，对应的点为在第四象限，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 则z不是方程的根，故D项错误． 10. 若，是两条互相垂直的异面直线，A，B，C，D是四个不同的点，满足A，，B，且，，，则（ ） A. 平面 B. 若，则 C. 直线与是异面直线 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，即可判断A，利用空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用反证法证明直线与是异面直线，判断C，证明出，利用正弦的定义及性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 因为，A，，B，，所以， 又，平面，所以平面，A正确； 对于B选项，， 所以 ，故，B错误； 对于C选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共面， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，C正确； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 由选项A的推导可得平面，平面，所以， 所以，，又为直角三角形，且为斜边， 所以，所以， 结合都为锐角可得，D正确. 11. 记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D. 若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：结合无穷正整数数列的约束，递推所得各项必须为正奇数，排除取4的可能，递推得到，验证结论成立. B选项：构造差数列，将原递推转化为的等比型放缩关系，累乘得上界，再利用等比数列求和公式推导的上界，验证等号成立条件. C选项：采用反证法，假设存在公比不为1的等比数列，设公比为既约分数，结合正整数整除性质推出公比只能为1，矛盾，判定结论不成立. D选项：分和两类讨论，时利用等差数列性质和递推式得，反向递推得上界为3且存在可行构造；时通过反向递推归纳的放缩公式，结合等差数列性质推出，综合得最大值为3. 【详解】由题设，是无穷正整数数列，且，即. ∵ ， ∴ 必为偶数，即所有均为奇数，否则非整数，与无穷数列矛盾. 对于选项： ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∴ ，正确. 对于选项： 令，则递推式变形为，即. ∴ 要么，要么. 两种情况均满足，故， 即. ∴ ，正确. 对于选项： 假设存在，成公比的等比数列，则. 由递推式，，，代入得： . 展开后仅当时等式成立，此时，公比，与矛盾，故不存在这样的，错误. 对于选项： ∵ ， 递推得. 设成等差数列，则. 当时： ∵ ，，∴ ， 又∵ ，故， 取，则，验证，，满足递推要求，构造可行. 当时： ∵ ，， ∴ ， 整理得，∵ 时，∴ . 综上，的最大值为3，故D正确. 【点睛】方法归纳：正整数约束的递推数列问题，优先挖掘奇偶性、整除等隐含性质，反向递推的不等式放缩是处理跨项等差/等比关系的常用技巧，多情况分类讨论时先验证简单边界再处理复杂情况. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出的值，再结合双曲线的离心率公式以及来计算离心率. 【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为，所以.  双曲线的离心率（其中为双曲线的半焦距），且满足. 将两边同时平方可得，把代入可得. 由步骤1可知，将其代入上式可得. 因为，所以.  故答案为：. 13. 已知函数（，），在上单调递增且，则的最大值为______，此时______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】将代入到，让其处于正弦函数的一个完整递增区间内，即可计算的值，进而利用零点计算的值. 【详解】由题可得：，令， ，则：，， 的递增区间是， 区间必须在完整一段递增区间内部，即：， 所以， 则，因为为整数，所以， 则，所以，则：的最大值为2. 所以，解得：，令，得. 14. 已知圆，与圆关于直线对称，过原点O分别作和的切线，切点分别为P，Q（P，Q在直线l的两侧），则当的面积最大时，m的一个可取值为________． 【答案】（写其中一个都给分） 【解析】 【分析】根据直线对称和垂直关系进行求解. 【详解】 配方得：，圆心，半径：， 两个圆关于直线对称，故圆心，半径同为，原点到的切线长：， 同理得， ，显然当时，有最大值，此时. 由对称性，是关于的对称点，设，， 则，所以，又因为，所以， 解得：或或或. 又因为， 当时， ，解得：； 当时， ，解得：； 当时， ，解得：； 当时， ，解得：； 综上所述，m的可取值为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求点到平面的距离． 【答案】（1）取中点，连接， 因为是中点，所以，且， 又因为是中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形，所以 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证明线面平行要先证明线线平行，作出辅助线证明线线平行即可； （2）法一：作出辅助线，利用等体积法进行求解；法二：建立适当的空间直角坐标系，利用点到面的公式进行求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 由（1）得，所以平面． 作交于点，则，因为， 所以平面，故即为所求点到平面的距离， 在中，，， 利用等面积法，． 即点到平面的距离为． 法二：建立以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则 ，，， 所以， 设平面的一个法向量是，则， 即，取，则，， 所以 又因为 所以， 即点到平面的距离为． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角B； （2）设，，求c和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式化简计算求解即可； （2）由余弦定理可得，由正弦定理可得，利用二倍角公式计算可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 所以，化简得， 即，又，所以． 【小问2详解】 由可得， 即，所以，因为，解得． 因为，所以， 所以． 17. 现有2个红球，3个白球，另有2个红盒子，3个白盒子，这5个盒子排成一列，现将这5个球随机放入这5个盒子中，每个盒子放入1个球． （1）求2个红球放入不相邻盒子的概率； （2）设随机变量X表示落入红盒子中的红球个数． （ⅰ）求X的分布列； （ⅱ）在事件发生的条件下，求5个球中恰有1个球颜色和盒子颜色匹配的概率（球的颜色与盒子颜色相同称为匹配）． 【答案】（1） （2）（ⅰ） X 0 1 2 P （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）法一：仅考虑红球的放置位置求红球不相邻的情况可采用插空法：先放置3个白球，形成4个可放红球的空隙，从中选2个空隙放红球，共种情况，二者比值即为所求概率. 法二：以5个球的全排列为总样本空间，共种情况. 红球不相邻时，先对3个白球全排列，再将2个红球插入白球形成的4个空隙中排列，共种情况，二者比值即为所求概率. （2）（i）表示落入红盒的红球个数，可能取值为0,1,2，属于超几何分布模型，分别计算对应取值的概率即可得到分布列. （ii）属于条件概率问题，先计算事件的概率，再分析得仅当时满足“恰1个球颜色与盒子颜色匹配”，即，代入条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 法一：只需考虑2个红球的位置，． 法二：考虑5个球的排列， 【小问2详解】 （ⅰ）X的可能取值为0，1，2． ， X 0 1 2 P （ⅱ）设事件A：，事件B：恰有1个球颜色与盒子颜色匹配． ，两个红盒中的球为一红一白，剩余1红2白放入3个白盒，总匹配数为3，不合题意； ，两个红盒中的球为两白，剩余2红1白放入3个白盒，总匹配数为1，符合题意； ，，所以 18. 已知椭圆的左右顶点为A，B，，离心率为，P为C上一动点（与A，B不重合），直线与直线交于点M． （1）求椭圆C的方程； （2）过点M作的垂线交于点G，记，的面积为，． （ⅰ）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值，，理由如下： 法一：设，，，直线， 令，得，则，且， 因为，所以，直线， 点A到直线的距离， 点B到直线的距离， 所以，得； 法二：设，，，直线， 令，得，则，且， 因为，所以，直线， 直线与x轴交点H，令，， 所以，，则 （、分别表示到的距离）； 法三：，又，可得， 设直线与x轴交点为，，，即， 所以，， 则（、分别表示到的距离）； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长、离心率求椭圆参数，即可得； （2）（i）法一、二：设，直线，从而求出直线，再求到的距离或，，结合三角形面积公式求比例；法三：设直线与x轴交点为，利用，，求得，结合斜率两点式求得，最后由即可得； （ii）由，，结合及基本不等式求最大值，再由同角三角函数关系求最大值即可. 【小问1详解】 由题意，即，且，得， 所以，则椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由，，， 即， 设，即， 当且仅当时取等号，此时， 所以最小值． 19. 设函数的定义域为，其导函数存在．若函数同时满足以下两个条件，则称为“陡增”函数： ①对任意，都有； ②对任意且，恒有． 对于任意给定的实数，定义集合． （1）若，求，并判断是否为“陡增”函数，请说明理由； （2）若为“陡增”函数， （ⅰ）证明：对任意的，若，则； （ⅱ）若且在上单调递增，证明：若负实数满足，则． 【答案】（1）是“陡增”函数，理由如下： 由题设，且， 所以， 故，所以满足条件①， 要证明②，需证，而， 所以只要证， 令，所以只要证， 记，所以， 则在上单调递增，所以，所以满足条件②， 所以是“陡增”函数； （2）（ⅰ）任取，记，所以， 所以在上单调递增，而，则， 所以，即， 结合条件①有，于是， 因为，所以，又，所以，即， 所以对任意的，都有，即得； （ⅱ）任取，对给定的，取，，， 因为， 根据条件②有， 因为单调递增，所以， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，从而得，应用分析法，将证明化为证明，构造函数并利用导数证明即可，再结合“陡增”函数的定义即可得结论； （2）（i）记，首先确定其单调性从而得，结合条件①得，即可证； （ii）任取，对给定的，取，，，结合条件②得，结合单调性得，再根据前提得，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $