江苏苏州市景范中学校2026-2027学年九年级上学期期中模拟考试数学试题
苏州市景范中学校 2026—2027 学年九年级上学期
期中模拟考试 数学
满分 130 分 考试时间 120 分钟 命题范围：九年级上册第 1—2 章
班级＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个选项符合题意）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x² + 1/x = 2 B. 2x² - 3x = 0 C. x² + y = 1 D. x³ - x = 0
2. 一元二次方程 x² - 6x + 9 = 0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
3. 已知⊙O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
4. 若 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根，则 1/x₁ + 1/x₂ 的值为（ ）
A. 5/6 B. 6/5 C. 5 D. 6
5. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A = 80°，则∠C 的度数为（ ）
（第 5 题图）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则它的外接圆半径是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
7. 若关于 x 的方程 x² - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. m < 1 B. m > 1 C. m < -1 D. m ≤ 1
8. 某商品原价为 100 元，连续两次降价，每次降价的百分率都是 x%，现价为 81 元，则可列方程为（ ）
A. 100(1 - x²) = 81 B. 100(1 - 2x%) = 81 C. 81(1 + x%)² = 100 D. 100(1 - x%)² = 81
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9. 方程 x² = 5x 的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
10. 若关于 x 的方程 x² + 2x + k = 0 有一个根为 1，则 k = ＿＿＿＿＿．
11. 已知⊙O 的半径为 10，一条弦的长为 12，则圆心到这条弦的距离为＿＿＿＿＿．
12. 已知正六边形的边长为 2，则它的外接圆半径为＿＿＿＿＿．
13. 用配方法解方程 x² - 6x + 2 = 0，配方后可得 (x - 3)² = ＿＿＿＿＿．
14. 在半径为 9 的圆中，一条弧所对的圆心角为 80°，则这条弧的长为＿＿＿＿＿．
15. 已知关于 x 的方程 x² - 5x + m = 0 的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = 13，则 m = ＿＿＿＿＿．
16. 已知⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 外，OP = 10，过点 P 作⊙O 的切线，切点为 A，则切线长 PA = ＿＿＿＿＿．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 82 分。解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17.（本题 8 分）解下列方程：
（1）x² - 2x - 8 = 0； （2）3x² - 5x + 1 = 0．
18.（本题 8 分）已知关于 x 的方程 x² - 4x + k = 0 有两个实数根 x₁、x₂．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 x₁² + x₂² = 10，求 k 的值．
19.（本题 10 分）已知⊙O 的半径为 13，弦 AB = 24（如图）．
（1）求圆心 O 到弦 AB 的距离；（4 分）
（2）若弦 CD = 10，且 CD∥AB，求弦 AB 与弦 CD 之间的距离．（6 分）
（第 19 题图）
20.（本题 10 分）某企业 2024 年的利润为 400 万元，2026 年的利润为 576 万元．若 2025 年、2026 年这两年的利润年平均增长率相同，求这个年平均增长率．
21.（本题 12 分）已知⊙O 的半径为 8，点 P 在⊙O 外，OP = 17，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B（如图）．
（1）求 PA 的长；（4 分）
（2）求四边形 PAOB 的面积；（4 分）
（3）求 sin∠APB 的值．（4 分）
（第 21 题图）
22.（本题 12 分）已知关于 x 的方程 x² - (2k + 1)x + k² + k = 0．
（1）求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根，并求出这两个根（用含 k 的式子表示）；
（2）若方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为 √5，求 k 的值．
23.（本题 10 分）已知⊙O 中，弦 AB = 16，圆心 O 到 AB 的距离为 6（如图）．
（1）求⊙O 的半径；（3 分）
（2）若弦 CD = 12，且 CD∥AB，求 AB 与 CD 之间的距离；（4 分）
（3）若点 P 在⊙O 上运动，求△PAB 面积的最大值．（3 分）
（第 23 题图）
24.（本题 12 分）某商店销售一种商品，每件进价 40 元，售价 60 元时每月可售出 200 件．市场调查表明：售价每上涨 1 元，月销售量就减少 5 件．若该商店希望这种商品每月的销售利润为 4375 元，那么售价应定为每件多少元？（利润 = 售价 - 进价）
苏州市景范中学校 2026—2027 学年九年级上学期期中模拟考试
数学 参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C 6. C 7. A 8. D
提示：1. A 是分式方程，C 含两个未知数，D 是三次方程．2. Δ = 36 - 36 = 0．3. d = r，相切．
4. x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 6，1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 5/6．5. 圆内接四边形对角互补，∠C = 180° - 80° = 100°．
6. 斜边为 10，外接圆半径 R = 10/2 = 5．7. Δ = 4 - 4m > 0，得 m < 1．
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
9. x₁ = 0，x₂ = 5 10. -3 11. 8 12. 2 13. 7 14. 4π 15. 6 16. 8
提示：9. x² - 5x = 0，x(x - 5) = 0，不能两边同除以 x．10. 1 + 2 + k = 0，k = -3．
11. √(10² - 6²) = 8．12. 正六边形的外接圆半径等于它的边长．13. x² - 6x + 9 = 7．
14. 80/360 × 2π × 9 = 4π．15. (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 25 - 2m = 13，m = 6．16. √(10² - 6²) = 8．
三、解答题（共 82 分）
17.（8 分）（1）因式分解得 (x - 4)(x + 2) = 0（2 分），∴ x₁ = 4，x₂ = -2（2 分）．
（2）a = 3，b = -5，c = 1，Δ = 25 - 12 = 13 > 0（2 分），∴ x = (5 ± √13)/6（2 分）．
18.（8 分）（1）Δ = 16 - 4k≥0（2 分），∴ k≤4（2 分）．
（2）x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = k（1 分），x₁² + x₂² = 16 - 2k = 10（2 分），∴ k = 3，且 3≤4 符合题意（1 分）．
19.（10 分）（1）作 OE⊥AB 于 E，则 AE = EB = 12（2 分），OE = √(13² - 12²) = 5（2 分）．
（2）作 OF⊥CD 于 F，则 CF = 5，OF = √(13² - 5²) = 12（3 分）．
当 AB、CD 在圆心同侧时，距离为 12 - 5 = 7；当 AB、CD 在圆心异侧时，距离为 12 + 5 = 17．
答：两弦之间的距离为 7 或 17（3 分，漏一种情形扣 2 分）．
20.（10 分）设年平均增长率为 x（1 分），依题意得 400(1 + x)² = 576（4 分），
∴ (1 + x)² = 1.44（2 分），1 + x = ±1.2，x₁ = 0.2，x₂ = -2.2（2 分），∵ x > 0，∴ x = 20%．
答：年平均增长率为 20%（1 分）．
21.（12 分）（1）∵ PA 切⊙O 于 A，∴ ∠OAP = 90°（1 分），PA = √(17² - 8²) = 15（3 分）．
（2）S四边形PAOB = 2×½×8×15 = 120（4 分）．
（3）sin∠APO = 8/17，cos∠APO = 15/17（2 分），∴ sin∠APB = 2×(8/17)×(15/17) = 240/289（2 分）．
22.（12 分）（1）Δ = (2k + 1)² - 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0（3 分），
∴ 方程总有两个不相等的实数根；由求根公式得 x = [(2k + 1) ± 1]/2，即 x₁ = k + 1，x₂ = k（3 分）．
（2）依题意 k² + (k + 1)² = (√5)²（2 分），整理得 k² + k - 2 = 0，解得 k = 1 或 k = -2（2 分）．
∵ 直角边长须为正数，∴ k = 1（k = -2 时边长为 -2、-1，不合题意，舍去）（2 分）．
23.（10 分）（1）设 OE⊥AB 于 E，则 AE = 8（1 分），r = √(8² + 6²) = 10（2 分）．
（2）作 OF⊥CD 于 F，则 CF = 6，OF = √(10² - 6²) = 8（2 分）．
当 AB、CD 在圆心同侧时，距离为 8 - 6 = 2；在圆心异侧时，距离为 8 + 6 = 14（2 分）．
故 AB 与 CD 之间的距离为 2 或 14．
（3）当点 P 在优弧 AB 的中点处时，点 P 到 AB 的距离最大，为 10 + 6 = 16（2 分）．