精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

华东师范大学附属东昌中学 2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，每题答对得3分，满分36分） 1. 已知集合，请用列举法表示该集合___________． 【答案】 【解析】 【详解】由得. 又,所以或. 所以用列举法表示集合. 2. 幂函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因，则，即， 故该函数的定义域为． 3. 不等式的解集是__. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由得,故解集为 故答案为 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题型. 4. 函数恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【详解】令指数，得，此时，故函数图像恒过定点． 5. 的有理数指数幂形式为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】使用指数幂的运算性质求解. 【详解】，故． 6. 已知，则___________．（用表示） 【答案】 【解析】 【详解】． 7. 用反证法证明命题：“若，则且”时，应假设___________． 【答案】或 【解析】 【详解】反证法需否定结论. 因为结论“且”的否定是“或”， 故应假设或. 8. 已知正数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故最小值为． 9. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】使用绝对值三角不等式求解. 【详解】由绝对值不等式，，且当介于与4之间时取到等号． 所以不等式解集为，等价于， 解得或． 10. 已知，则___________． 【答案】##0.15 【解析】 【分析】由，解出，设，得，解出，进而得，即可求解. 【详解】由可得，即，故，解得． 设．由（*），可得，且 代入（*），得．两边平方得， 解得（舍去）或，所以． 于是． 11. 已知，，若满足，和至少有一个成立，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则可求得的取值范围. 【详解】解：，当时，， 又，或， 在时恒成立， 即在时恒成立， 则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧， ，即，解得， 实数的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 12. 已知，集合，记为中所有元素之和．若中至少存在一个满足，则的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由且、、有意义，得，即. 由题意，即， 因为，符合题意，所以. 因为符合题意，所以. 因为，符合题意，所以. 因为，所有元素全是有理数，不符合题意. 近似估算， 所以， ， ， 知，， 故最大值与最小值之和为 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，答对得3分，满分12分） 13. “”是“一元二次方程有实根”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，方程有两个不等实根，充分性成立； 反之，方程有实根只需，不能推出（如），必要性不成立． 14. 已知，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】单调递减，所以，又，所以. 单调递减，所以，即. 在上单调递增，所以，即. 所以． 15. 在创建全国文明城区的活动中，督导组对城区的评选设计了四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中的一个指标增加一个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从分式的性质中寻找到的变化规律，结合变化规律，即可求解. 【详解】各指标分别增加个单位时，的增量分别为，， ，， 由得，而，所以增加使增加最多，故C正确. 16. 设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ） A. 若，则是U的一个环 B. 若，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C. 若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且 D. 若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素. 【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意； 对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意； 对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意. 对D，，，，， ，， 再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义. 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，满分52分） 17. 已知指数函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）若函数与函数的图象关于轴对称，求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）最大值3，最小值1 【解析】 【分析】（1）由图象上点的坐标，即可求得实数的值； （2）由函数图象关于轴对称写出，然后由指数函数的单调性，写出函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 由题意，解得．此时底数为3，符合指数函数的要求． 【小问2详解】 因为，因为函数与函数关于轴对称， 所以，所以． 函数在上单调递减，所以当时取最大值3，当时取最小值1． 18. 设全集为，集合，， （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式得到集合，解分式不等式得到集合，然后由集合的运算求得结果； （2）由题意得到集合的关系，然后列出不等式，解得实数的取值范围． 【小问1详解】 由得或，故； 由得或，故． ． 【小问2详解】 ，其中． 当，即时，，满足； 当时，．由于，集合不可能包含于， 故只需集合包含于，故． 综上，． 19. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． （1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； （2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 【答案】（1）物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时； （2）当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 【解析】 【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解； （2）求出，再利用基本不等式判断求解. 【小问1详解】 解：当时，由题得，解之得； 当时，由题得，解之得； 所以. 所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时. 【小问2详解】 解；当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L， 则. 当且仅当时等号成立. 所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L. 所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 20. 已知关于的函数． （1）若方程的两实根互为倒数，求实数的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系，结合互为倒数的性质建立方程，并验证判别式； （2）代入，将原不等式转化为分式不等式，结合平方差公式及分母不为求解； （3）分二次项系数为和不为两种情况讨论，结合二次函数图象性质列不等式组求解. 【小问1详解】 设方程的两实根为，由两实根互为倒数得， 由韦达定理得，所以，解得，即， 又因为方程有两实根，需满足，解得， . 【小问2详解】 当时，则，， 原不等式为，即， 由分母不为可得且，不等式等价于， 移项得，由平方差公式得， 即，解得， 综上不等式的解集为. 【小问3详解】 若不等式恒成立，即恒成立， ①当时，或，若，不恒成立，舍去； 若，恒成立，符合题意， ②当时，需满足二次函数开口向上且与轴无交点， 即：，由得，解得， 当时，也成立， 综上，实数的取值范围为. 21. 在数学中，对于任意一个正实数，其以为底的对数都可以唯一地表示为一个整数与一个非负纯小数（即大于等于0且小于1的小数）的和．我们规定：这个整数部分称为的首数，记作；这个非负纯小数部分称为的尾数，记作． （1）若，其中为自然对数的底数，求正实数的值； （2）若，求正实数的取值范围； （3）求证：对任意的实数，关于的方程在区间上没有实数解． 【答案】（1） （2） （3）设存在满足方程. 设，，则，. 因为，所以，结合得，为正整数. 代入方程得，因为，，所以，故，即. 又，所以，因此，即，得，与矛盾. 故假设不成立，原方程在区间上没有实数解. 【解析】 【分析】（1）先根据自然对数的底数的估值求出和，再结合题意得出的值，利用对数的运算性质即可求出的值；（2）由尾数的范围得出首数的可能取值，分类讨论求出对应的尾数，利用对数式与指数式的互化即可求出的取值范围；（3）通过反证法，假设存在满足方程，将其转化为关于的方程，结合指数函数的性质及不等式的放缩推出矛盾，从而证明原方程无解. 【小问1详解】 因为，所以，故. 因为，所以，故. 由题意得，，则： 所以. 【小问2详解】 设，，则，. 由得，整数可取. 当时，，，代入原式无意义，舍去. 当时，，，. 当时，，，. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属东昌中学 2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，每题答对得3分，满分36分） 1. 已知集合，请用列举法表示该集合___________． 2. 幂函数的定义域为___________． 3. 不等式的解集是__. 4. 函数恒过定点___________． 5. 的有理数指数幂形式为，则___________． 6. 已知，则___________．（用表示） 7. 用反证法证明命题：“若，则且”时，应假设___________． 8. 已知正数满足，则的最小值为___________． 9. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________． 10. 已知，则___________． 11. 已知，，若满足，和至少有一个成立，则m的取值范围是______． 12. 已知，集合，记为中所有元素之和．若中至少存在一个满足，则的最大值与最小值之和为___________． 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，答对得3分，满分12分） 13. “”是“一元二次方程有实根”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 15. 在创建全国文明城区的活动中，督导组对城区的评选设计了四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中的一个指标增加一个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为（ ）． A. B. C. D. 16. 设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ） A. 若，则是U的一个环 B. 若，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C. 若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且 D. 若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，满分52分） 17. 已知指数函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）若函数与函数的图象关于轴对称，求函数在区间上的最大值与最小值． 18. 设全集为，集合，， （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 19. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． （1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； （2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 20. 已知关于的函数． （1）若方程的两实根互为倒数，求实数的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 在数学中，对于任意一个正实数，其以为底的对数都可以唯一地表示为一个整数与一个非负纯小数（即大于等于0且小于1的小数）的和．我们规定：这个整数部分称为的首数，记作；这个非负纯小数部分称为的尾数，记作． （1）若，其中为自然对数的底数，求正实数的值； （2）若，求正实数的取值范围； （3）求证：对任意的实数，关于的方程在区间上没有实数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $