3.2.1双曲线及其标准方程七大题型讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线及其标准方程·七大题型 （高二新课讲义 · 教师版） 人教A版 · 选择性必修第一册 · 圆锥曲线起始课 一、知识清单 （一）双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做双曲线，即 。 两个定点叫焦点， 叫焦距。 定义中“绝对值”三字不能省：只写 时轨迹只是右支；只写 时只有左支。 三种退化情形： 时轨迹是两条射线； 时轨迹不存在； 时轨迹是线段 的垂直平分线。 （二）标准方程 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 判断口诀：哪一项为正，焦点就在那一项对应的坐标轴上，无需死记。 （三）基本量关系 ，即 ；椭圆的 正好相反，双曲线中 是最大的量。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点在实轴的两个端点上，虚轴端点不在双曲线上。 （四）焦点位置不确定时的设法 设 （），代入已知点解出 、，由 、 的符号直接读出焦点在哪根轴，可避免分两种情况讨论。 若用待定系数法分情况讨论，则要算两次并检验 、，出现负数说明该假设不成立。 （五）五条易错提醒 第一，丢掉绝对值，把双曲线写成一条支。 第二，把 记成椭圆的 。 第三，由方程读 、 时忘记先化成右边为 的标准式。 第四，由定义算出焦半径后不检验 ，把不合理的解留下。 第五，含参方程判“表示双曲线”时，只盯着正负号的一个条件，漏掉二次项系数不为零的情形。 二、七大核心题型 题型1　由定义判断轨迹、求轨迹方程 核心要点：三步走——先由 求 ，再由差的绝对值求 ，最后用 与 比较判断类型；写方程时先定轴。 【典例1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解：由 得 ；由距离之差的绝对值为 得 ，。 因为 ，符合双曲线定义，轨迹是完整的双曲线（两支都在）。 焦点在 轴上，所以 。 所以轨迹方程为 。 点拨：有绝对值就是整条双曲线，两个分支都算，作答时不要只写右支。 【典例2】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解：，且由 更大知 到左焦点更远，即 在右支。 由 得 ，。 所以轨迹方程为 （）。 点拨：少了绝对值，就少了一条支；答案必须补上 这一限制，否则是把“一条支”写成了“整条曲线”。 【变式1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解：；，； 符合定义，焦点在 轴上。 所以 ，方程为 。 点拨：焦点在 轴时，正项必须是 ，写成 就把轴弄反了。 【变式2】 已知 、，动点 满足 ，说明点 的轨迹。 解：，；而 。 到两定点距离之差的绝对值不可能超过两定点间的距离（三角形两边之差小于第三边），故无解。 所以点 的轨迹不存在。 点拨：判断“是否存在”只需比 与 ； 才是极限情形，此时是两条射线。 题型2　由方程求基本量、焦点与顶点 核心要点：先化成右边为 的标准式，读出 、，再用 ；焦点在正项所在的轴上。 【典例1】 已知双曲线 ，求 、、，并写出焦点坐标与顶点坐标。 解：由标准式得 ，，故 ，。 ，；正项为 ，焦点在 轴上。 焦点为 、；顶点为 、。 点拨：实轴端点在实轴上，坐标为 ；虚轴端点 不在曲线上，别当成顶点。 【典例2】 已知双曲线 ，求 、、 及焦点坐标。 解：，，故 ，。 ，；正项为 ，焦点在 轴上。 焦点为 、，顶点为 、。 点拨： 要开平方写成 ，写成 是把 当成了 。 【变式1】 把方程 化成标准形式，并求焦点坐标。 解：两边同除以 ，得 。 所以 ，，，，焦点在 轴上。 焦点为 、。 点拨：非标准式先除常数项凑成“右边为 ”，再看哪一项为正，这一步错则焦点轴错。 【变式2】 已知双曲线 ，求它的实轴长与虚轴长。 解：化为标准式 ，故 ，。 实轴长 ，虚轴长 。 点拨：“实轴长”是 而不是 ，这是阅卷时最常见的半分点。 题型3　待定系数法（焦点位置已确定） 核心要点：焦点轴已知时只设一种形式，把已知点代入，与 联立解方程组；求 、 而不必求 、。 【典例1】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 解：由焦距 得 ，；设方程为 ，则 。 代入点 ：。 令 ，则 ，代入得 ，整理得 。 解得 或 ；因 ，故 ，此时 ，。 所以方程为 。 点拨：解出两个 后必须用 淘汰一个，只写“ 或 ”等于没做完。 【典例2】 已知双曲线的焦点在 轴上，，且经过点 ，求它的标准方程。 解：，；设方程为 。 代入 ：，即 。 解得 ，。 所以方程为 。 点拨：“”给的是 ，代入方程用的是 ，这一步别混。 【变式1】 已知双曲线的焦点在 轴上，，，求它的标准方程。 解：由 得 。 所以方程为 。 点拨：给出 与 求 用减法；若误用加法会得到 ，焦点位置随之出错。 【变式2】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 解：，，；设 ，则 。 代入 ：；令 ，，得 。 整理得 ，解得 或 ；因 ，取 ，。 所以方程为 。 点拨：验算一下 成立，说明答案正确；此时代入检验比反复推导更快。 题型4　焦点位置不确定，求标准方程 核心要点：两种打法——分类讨论（两次设、两次验）或统一设 （）；后者更快，但解完要看 、 的符号定轴。 【典例1】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 解：点 在 轴上，只有 轴型双曲线才与 轴有交点，故焦点在 轴上。 设 ，代入 得 ，即 。 代入 ：，即 ，。 所以方程为 。 点拨：曲线与坐标轴的交点能直接定轴——与 轴有交点必是 轴型，这是最省事的判断。 【典例2】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 解：设 （）。 代入两点得 与 。 由第二式得 ，代入第一式：，即 ，。 于是 。 所以方程为 （，，焦点在 轴上）。 点拨：设 后一次解出两个参数，不必讨论轴；最后看 就说明正项是 。 【变式1】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 解：若设 轴型，代入得 与 。 令 ，，两式相减得 ，即 ；回代得 ，，矛盾。 故焦点在 轴上，设 ：代入得 与 。 令 ，：，；解得 ，，故 ，。 所以方程为 （验算两点均满足）。 点拨：分类讨论的关键不是“猜轴”，而是让假设自己暴露矛盾——算出 就立刻换轴。 【变式2】 已知双曲线的 ，且经过点 ，求它的标准方程。 解：。若焦点在 轴，设 ，代入得 ，。 若焦点在 轴，设 ，代入得 ，即 ，。 两种情形都能得到合法的 ，故有两解： 或 。 点拨：本题是“位置不确定”的典型——两个答案都合法，只写一个会丢分；这也是它比题型3 难的地方。 题型5　用定义求焦半径 核心要点：先定支（在哪一支决定谁减谁），再算；算完用 检验，不合理的解必须舍去。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 解：，，。 右支上 ，所以 。 检验：， 成立。 所以 。 点拨：右支上到左焦点远、到右焦点近，减号方向由此确定，不必背。 【典例2】 双曲线 的下、上焦点为 、，点 在上支，且 ，求 。 解：，，；上支上到下方焦点 更远。 由 得 ，检验 成立。 所以 。 点拨：焦点在 轴时，“远/近”看上下，别套用 轴的结论。 【变式1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 解：，；左支上到右焦点 更远，故 。 所以 ，检验 成立。 所以 。 点拨：左右支的式子互为相反数，先判断“谁更大”就不会写反。 【变式2】 双曲线 上一点 满足 ，其中 ，求 并说明是否合理。 解：，；由 得 （ 舍去）。 检验：，而 恰等于 ，说明 就是下顶点 ；此时 与图形吻合。 所以 ，且取等时 为顶点，合理。 点拨： 只在顶点处取到，出现这个值要立刻想到“点就是顶点”，可用来验算。 题型6　含参方程表示双曲线，求参数范围 核心要点： 表示双曲线等价于 、 同号且都不为零；若写成 ，则等价于 。 【典例1】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 解：需两项分母同号且都不为零，即 。 解得 或 ；此时 与 都不为零，符合。 所以 的取值范围是 或 。 点拨：同号保证两项一正一负（负号已在式子中），两个都不为零保证不是退化方程。 【典例2】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 解：这是“加号”形式，表示双曲线要求两个系数异号：。 解得 或 ，此时分母均不为零。 所以 的取值范围是 或 。 点拨：加号形式用“异号”，减号形式用“同号”，判断依据是化成标准式后正负项是否为 与 各一。 【变式1】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 解：需 ，即 。 所以 。 点拨：解出后回代验证： 时方程为 ，确实是双曲线。 【变式2】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 解：需 、 的系数异号，即 。 所以 ；此时两个系数都不为零。 点拨：系数出现 时方程退化为一条直线或空集，所以 、 必须排除，这与“小于号”的解集自然吻合。 题型7　定义与距离关系综合求焦半径 核心要点：把定义式与题给关系（积、比、平方和）联立，用“平方和 = 差的平方 + 2 倍积”的整体代换，最后统一检验两支的可行性。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 与 。 解：，；由定义 。 则 ，故 。 于是 、 是方程 的两根，解得 。 检验：，合理。 所以 、 分别为 与 （顺序由所在支决定）。 点拨：和的平方用“差的平方 + 倍积”整体算出，比分别硬解快得多，且天然避开两个解的取舍纠纷。 【典例2】 双曲线 上一点 满足 ，且 ，求 。 解：，，；由 得 。 又题设 ，故 ，。 检验：，而 ，合理。 所以 。 点拨：比例条件的作用是把“差”直接换成一个焦半径，一步消元；检验仍不能省。 【变式1】 双曲线 的右支上一点 满足 ，求 。 解：，；右支上 ，而 ，故 。 检验： 成立，且 亦在合理范围。 所以 。 点拨：右支上直接把差等于 ，不必再考虑另一支的相反情形。 【变式2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 解：，；左支上 。 所以 ；检验 成立。 所以 。 点拨：减去 后结果很小，正是“接近顶点”的位置；只要不小于 就合法。 三、强化训练 【强化训练1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解：， 得 ，，焦点在 轴，故轨迹方程为 。 【强化训练2】 把方程 化成标准形式，并求 、、 与焦点坐标。 解：两边除以 得 ，故 ，，，焦点为 、。 【强化训练3】 已知双曲线的焦点在 轴上，，且经过点 ，求它的标准方程。 解：设 ，；代入 得 。 令 ：，整理得 ，解得 或 ；由 取 。 所以方程为 。 【强化训练4】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 解：设 ，代入两点得 与 。 两式相减得 ，即 ；回代得 ，，。 所以方程为 。 【强化训练5】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 解：，；左支上 ，故 ，检验 成立。 【强化训练6】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 解：需 ，解得 或 ，此时两分母均不为零。 所以 的取值范围是 或 。 【强化训练7】 双曲线 的右支上一点 满足 ，求 。 解：，右支上 ；由 得 。 故 ，检验 成立。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线及其标准方程·七大题型 （高二新课讲义 · 学生版） 人教A版 · 选择性必修第一册 · 圆锥曲线起始课 一、知识清单 （一）双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做双曲线，即 。 两个定点叫焦点， 叫焦距。 定义中“绝对值”三字不能省：只写 时轨迹只是右支；只写 时只有左支。 三种退化情形： 时轨迹是两条射线； 时轨迹不存在； 时轨迹是线段 的垂直平分线。 （二）标准方程 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 焦点在 轴上：（，），焦点 、。 判断口诀：哪一项为正，焦点就在那一项对应的坐标轴上，无需死记。 （三）基本量关系 ，即 ；椭圆的 正好相反，双曲线中 是最大的量。 实轴长 ，虚轴长 ；顶点在实轴的两个端点上，虚轴端点不在双曲线上。 （四）焦点位置不确定时的设法 设 （），代入已知点解出 、，由 、 的符号直接读出焦点在哪根轴，可避免分两种情况讨论。 若用待定系数法分情况讨论，则要算两次并检验 、，出现负数说明该假设不成立。 （五）五条易错提醒 第一，丢掉绝对值，把双曲线写成一条支。 第二，把 记成椭圆的 。 第三，由方程读 、 时忘记先化成右边为 的标准式。 第四，由定义算出焦半径后不检验 ，把不合理的解留下。 第五，含参方程判“表示双曲线”时，只盯着正负号的一个条件，漏掉二次项系数不为零的情形。 二、七大核心题型 题型1　由定义判断轨迹、求轨迹方程 核心要点：三步走——先由 求 ，再由差的绝对值求 ，最后用 与 比较判断类型；写方程时先定轴。 【典例1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 【典例2】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 【变式1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 【变式2】 已知 、，动点 满足 ，说明点 的轨迹。 题型2　由方程求基本量、焦点与顶点 核心要点：先化成右边为 的标准式，读出 、，再用 ；焦点在正项所在的轴上。 【典例1】 已知双曲线 ，求 、、，并写出焦点坐标与顶点坐标。 【典例2】 已知双曲线 ，求 、、 及焦点坐标。 【变式1】 把方程 化成标准形式，并求焦点坐标。 【变式2】 已知双曲线 ，求它的实轴长与虚轴长。 题型3　待定系数法（焦点位置已确定） 核心要点：焦点轴已知时只设一种形式，把已知点代入，与 联立解方程组；求 、 而不必求 、。 【典例1】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 【典例2】 已知双曲线的焦点在 轴上，，且经过点 ，求它的标准方程。 【变式1】 已知双曲线的焦点在 轴上，，，求它的标准方程。 【变式2】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，求它的标准方程。 题型4　焦点位置不确定，求标准方程 核心要点：两种打法——分类讨论（两次设、两次验）或统一设 （）；后者更快，但解完要看 、 的符号定轴。 【典例1】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 【典例2】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 【变式1】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 【变式2】 已知双曲线的 ，且经过点 ，求它的标准方程。 题型5　用定义求焦半径 核心要点：先定支（在哪一支决定谁减谁），再算；算完用 检验，不合理的解必须舍去。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，且 ，求 。 【典例2】 双曲线 的下、上焦点为 、，点 在上支，且 ，求 。 【变式1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 【变式2】 双曲线 上一点 满足 ，其中 ，求 并说明是否合理。 题型6　含参方程表示双曲线，求参数范围 核心要点： 表示双曲线等价于 、 同号且都不为零；若写成 ，则等价于 。 【典例1】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 【典例2】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 【变式1】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 【变式2】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 题型7　定义与距离关系综合求焦半径 核心要点：把定义式与题给关系（积、比、平方和）联立，用“平方和 = 差的平方 + 2 倍积”的整体代换，最后统一检验两支的可行性。 【典例1】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在双曲线上，且 ，求 与 。 【典例2】 双曲线 上一点 满足 ，且 ，求 。 【变式1】 双曲线 的右支上一点 满足 ，求 。 【变式2】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 三、强化训练 【强化训练1】 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 【强化训练2】 把方程 化成标准形式，并求 、、 与焦点坐标。 【强化训练3】 已知双曲线的焦点在 轴上，，且经过点 ，求它的标准方程。 【强化训练4】 已知双曲线经过点 与 ，求它的标准方程。 【强化训练5】 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在左支上，且 ，求 。 【强化训练6】 若方程 表示双曲线，求 的取值范围。 【强化训练7】 双曲线 的右支上一点 满足 ，求 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $