3.2.2 双曲线的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.2 双曲线的简单几何性质 知识归纳与题型总结 考点01 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 (1)已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. (2)已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. (3)与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 考向01 求双曲线的焦点坐标 【例1】（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】ABD 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ， A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确； B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确； C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误； D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 考向02 求双曲线的焦距 【例2】已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． (1)求双曲线的半焦距； (2)若，求双曲线的标准方程； (3)求点的坐标及的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出半焦距，利用椭圆与双曲线有公共焦点即可得双曲线的半焦距； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，再由双曲线定义求出，结合求出，即可得出标准方程； （3）联立双曲线与椭圆的方程求出点的坐标，利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】（1）已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； （2）设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得：， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； （3）由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 考向03 判断两个双曲线共焦点 【例3】（多选）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 考向04 求共焦点的双曲线方程 【例4】与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，再待定系数求解即可. 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 考向05 双曲线中x，y的取值范围 【例5】已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 考向06 判断点和双曲线的位置关系 【例6】（多选）已知双曲线，则（     ） A．点在上 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的实轴长为 【答案】ACD 【详解】因为，所以点在双曲线上，故A正确； 由双曲线，可得，所以，， 所以的渐近线方程为，故B错误； 由，可得的焦距为，故C正确； 由，可得的实轴长为，故D正确. 考向07 双曲线的对称性 【例7】已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 考向08 求双曲线的顶点坐标 【例8】（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 考向09 求双曲线的实轴、虚轴 【例9】已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示的是双曲线，所以， 因为双曲线的离心率为，所以. 所以双曲线的实轴长为. 考向10 等轴双曲线 【例10】（多选）已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为 C．是直角三角形 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解. 【详解】根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，所以渐近线方程为，故A正确； 对于B，设，满足，，，则，故B正确； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得， 则， 由得，故，即，取值范围为，D错误. 考向11 已知方程求双曲线的渐近线 【例11】设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程和离心率公式计算. 【详解】双曲线的渐近线为：，直线与其平行， 所以，所以离心率为： 考向12 根据a，b，c齐次式关系求渐近线方程 【例12】已知椭圆与双曲线有公共焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆的焦点为，， 因此双曲线的焦点为，， 设双曲线的方程为，因此双曲线离心率， 故，， 因此双曲线的渐近线方程为 考向13 双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 【例13】已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线的方程，并写出它的离心率； (2)证明 (3)如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 【答案】(1) (2) 设，则 所以, ， (3) 【分析】(1)根据共焦点求解，求出离心率; (2)在双曲线中利用余弦定理和三角函数公式求解; (3)在椭圆中利用余弦定理和三角函数公式求解. 【详解】（1）由双曲线与椭圆共焦点，则，故, 双曲线， 离心率 （2）略 （3）设，则 所以， . 考向14 双曲线的应用 【例14】从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，求的长轴长与的实轴长之比. 【答案】 【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出的周长和的周长，进而根据题意得到方程，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为， 由图①可得， 其中，故上面两式相减得， 由图②可得， 故， 由题意得，即， 即，解得， 故的长轴长与的实轴长之比为. 【对点1】已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设虚轴的一个端点，结合焦点，的坐标和，得到，再用平方关系化简，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率． 【详解】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 【对点2】（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，，且为的虚轴的一个端点，则（     ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．为定值 D．当的离心率大于3时， 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的焦距定义、渐近线方程，结合平面向量数量积的坐标表示、离心率公式逐一判断即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，因此，， 根据双曲线的对称性，不妨设. A：因为，所以双曲线的焦距为，因此本选项说法正确； B：因为，所以双曲线的渐近线方程为，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以，因此本选项说法正确； D：当的离心率大于3时，则有， 所以，因此本选项说法正确. 【对点3】已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 【对点4】根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 【对点5】已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 【对点6】（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 【对点7】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知点，是曲线上任意两个不同的点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的渐近线方程为 B．的图象是轴对称图形 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将曲线的方程按象限化简为对应的双曲线、椭圆部分，明确曲线构成，再逐一分析各选项涉及的渐近线、对称性、单调性、最值问题. 【详解】当时，则， 当时，则，显然不成立， 当时，则， 当时，则， 由双曲线的性质，曲线在第一、三象限存在同一条渐近线，A对， 因为椭圆和双曲线的对称轴为轴、轴，由图知，曲线不关于轴、轴对称，B错， 根据椭圆及双曲线在各象限的性质及上图知，曲线对应函数单调递增， 若，则必有，即，C对， 由的几何意义是点到直线距离的倍， 要使最小，只需曲线上的点到直线的距离最小， 结合上述分析及图，仅当点在第四象限，即椭圆部分时存在最小距离， 令与相切，联立得， 所以，则，可得， 当切线为，其过一、二、三象限，不满足与椭圆在第四象限相切， 当切线为满足要求，则切点，即点到直线的距离最小， 所以最小值为，D对. 【对点8】（多选）已知点，分别为双曲线：的左右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．直线，的倾斜角互余 C．以线段为直径的圆过的顶点 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】通过等轴双曲线的性质，结合直线方程、斜率、圆的几何特征、距离范围求解等知识点，通过设双曲线上动点的坐标，结合双曲线方程逐一验证各选项即可. 【详解】 根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，，离心率，故A正确； 对于B，设，满足，，，则， 若均为负，对应倾斜角均为钝角，不满足互余，故B错误； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，即在以为直径的圆上，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得，则， 由得，故，即，取值范围为，D正确. 【对点9】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【详解】（1）由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 【对点10】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【详解】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 【对点11】若双曲线：的渐近线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线，则渐近线方程为， 已知渐近线方程为，， 所以，故. 【对点12】已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 【对点13】（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 【答案】BD 【分析】结合椭圆和双曲线的定义及其性质，根据曲线方程的形式对每一个选项进行逐一判断即可. 【详解】若曲线是椭圆，则满足，此时解得且，或且，故选项A错误． 若曲线是双曲线，则满足时，此时解得，故选项B正确． 当曲线是椭圆时，记该椭圆的离心率为，若，即4，则，当越大，即越大时，越小，椭圆越圆； 若，即，则，当越大，即越大时，越大，椭圆越扁，故选项C错误． 当曲线是双曲线时，记该双曲线的离心率为，则，即，， 当越小，即越小时，越大，所以双曲线的开口越大，故选项D正确． 故选：BD． 【对点14】某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 考点02 双曲线中的最值问题 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 考向01 根据双曲线中x，y的范围求范围或最值 【例1】已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 【对点1】已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，再结合距离公式，二次函数最值求解即可. 【详解】由题意知，， 令，则，令 由于函数在均为单调递增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以的根为，即， 所以曲线的方程为， 所以曲线上的点到距离满足： ， 当且仅当时等号成立， 所以，即曲线上的点到距离的最小值为 一、单选题 1．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式可得，，，结合数量积可得，即可得离心率. 【详解】由题得设O为坐标原点，，连接， 因为双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为，则，，， 又因为O为的中点，则， 可得，即，则， 可得，所以双曲线的离心率． 2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质及几何关系，先求的，，，，然后在中，结合余弦定理建立关于的等式，最后结合双曲线的离心率求解. 【详解】根据题意，可得双曲线的渐近线方程为， 又，所以，如图所示， 又，所以，所以， 又，， 所以在中，， 又， 所以，化简得， 又在双曲线中，，所以， 整理得，即，所以， 即双曲线的离心率为. 3．已知双曲线：的右支上有任意两点、，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知无限趋近于两条渐近线的夹角，结合正切二倍角公式求出渐近线斜率，进而计算离心率. 【详解】如图所示； 由题知当点，点的横坐标趋近于正无穷大时，，就无限贴近两条渐近线， 又，，由对称性可得，， 由，，或（舍去）， ，双曲线的离心率为. 4．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出已知双曲线的焦点参数，设所求双曲线的标准方程，结合过已知点的条件联立求解参数即可. 【详解】 对于双曲线，得， 设所求双曲线方程为， 因为所求双曲线与双曲线有公共焦点，所以 将点代入得：， 将代入上式，去分母整理得： . 可得，，符合题意. 因此所求双曲线方程为. 5．双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弦端点，，中点，故， 点在双曲线上，满足方程， 两式作差并整理得：， 故，经检验符合题意． 6．已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由给定倾斜角求出即可. 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. 7．已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性可得，且，不妨设，由余弦定理可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为， 利用对称性，四边形为平行四边形，则，， 可得，且， 不妨设，，， 离心率． 8．已知双曲线：的渐近线方程为，，分别为的左、右顶点，为上位于第一象限的动点，设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在 中利用内角和 ，将所求角 转化为 与 的组合角，从而弦化切；由双曲线方程导出两顶点处角的正切之积为定值 ，代入和角公式即得结果. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 则 设，则，即. 设，则，， ， 故. 二、多选题 9．（多选）如图，对勾函数（，）的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线，其渐近线分别为直线与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线的角平分线．已知双曲线的实轴长为2m，离心率为e，设双曲线C的渐近线与实轴夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．点是双曲线C的一个顶点 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据离心率的定义判断A；根据渐近线的斜率计算，进而得出实轴所在的直线方程判断B；根据同角关系判断C；求出顶点坐标，距离公式判断D. 【详解】根据双曲线的定义，设双曲线的实轴长、虚轴长分别为2a，2b， 则，所以，故A正确． 由题意知，在双曲线C中，顶点是实轴所在的直线与双曲线的交点， 渐近线的斜率为， 则，解得或（舍）， 则，所以双曲线C的实轴所在的直线为． 与联立，解得顶点的坐标为或，故B错误． 由，得，结合A选项，得，故C正确． 为顶点到坐标原点的距离， 所以，故D正确. 10．（多选）已知双曲线：，：，则（    ） A．和的实轴长相等 B．和的渐近线相同 C．和的焦距相等 D．上存在两点，使得上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 【答案】BD 【分析】根据双曲线的性质和定义依次判断即可. 【详解】对于双曲线：，，，， 对于双曲线：，，，， 对于A，的实轴长，的实轴长，所以和的实轴长不相等，故A错误； 对于B，的渐近线为，的渐近线为，所以和的渐近线相同，故B正确； 对于C，的焦距为，的焦距为，所以和的焦距不相同，故C错误； 对于D，由于的左右焦点分别为，根据双曲线的定义， 可知上任意一点到的距离之差的绝对值为定值， 由于在上，即上存在两点，满足条件，故D正确. 11．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，的离心率，过右焦点的直线交双曲线于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．弦长度的最小值为 C．当直线垂直于渐近线时，直线与双曲线的左、右两支都相交 D．若直线的斜率为2，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据离心率的范围及得到，结合直线倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据直线与双曲线的交点位置分情况计算并比较大小即可；对于C，根据两直线垂直可推出直线与渐近线的交点在第二象限，进一步判断即可；对于D，求出直线方程，与双曲线方程联立，根据弦长公式及不等式性质求解即可. 【详解】对于A，因为，即，则，，所以， 即直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为，A正确． 对于B，直线与双曲线的两个交点，可能都在同一支（右支）上，也可能分别在左、右两支上． 当两个交点，都在右支上时，通径最短，即直线与轴垂直时，弦最短，此时， 当直线与双曲线的两支都相交时，交点，都在轴上时，弦最短，此时． 由，可得，所以，则，所以， 所以弦AB长度的最小值为．B错误． 对于C，因为渐近线的倾斜角总大于， 所以当直线垂直于渐近线时，直线的倾斜角大于， 此时直线与另一条渐近线的交点在第二象限， 故直线与双曲线的两支都相交，故C正确． 对于D，当直线的斜率为2时，的方程为． 由，消去整理得， 则． 设，． 由，得，， 则，， 所以 令，则，． 所以．D正确． 三、填空题 12．已知双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的左、右两支上，且直线平行于轴．若，，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】由于直线平行于轴，结合双曲线定义及双曲线的对称性可知，，在左支、在右支，为右焦点，故；在中对用余弦定理直接求出，建立与的关系；再由对称性得点横坐标，将代入双曲线方程求出纵坐标，最后用两点间距离公式建立关于的方程求解. 【详解】 设，（），双曲线的左焦点为， 由于直线平行于轴，根据双曲线的对称性可知， 由双曲线定义：，在左支、在右支，为右焦点，故，， 在中，，由余弦定理： ， 故，于是，得，从而，， 由平行于轴及双曲线关于轴对称，、横坐标互为相反数，又在右支， 故点横坐标， 将代入双曲线方程，得，解得， 右焦点，由两点间距离公式， 代入得：， 将代入，， 展开得，整理为， 两边除以，令，得，解得或，双曲线离心率，舍去，故. 13．已知双曲线上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_____ 【答案】 【分析】设,则，结合点在双曲线上得到，于是离心率. 【详解】设,则，所以， 又因为，，两式相减可得， 所以，因为，所以. 所以双曲线离心率为. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【分析】根据题意，以为直径的圆的方程为和渐近线的方程，联立方程组求得的坐标，由，得到直线的斜率为，利用斜率公式，求得，结合双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线的左右焦点分别为，满足， 且左右顶点为，则双曲线的其中一条渐近线方程为， 以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，解得， 代入渐近线方程，可得，即， 因为点与的横坐标相同，所以直线垂直于轴， 又因为，可得直线的倾斜角为，即斜率为， 因为，可得，所以， 所以双曲线的离心率为. 15．从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．如图所示：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．—束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则________． 【答案】8 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】椭圆和双曲线共焦点，令椭圆和双曲线的长半轴长、实半轴长分别为， 由椭圆及双曲线定义得， 因此的周长为， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图，    由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，经过的路程为的周长， 将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长， 而激光速度相同，椭圆和双曲线的焦距相同， 所以. 四、解析题 16．双曲线，若动直线过点，且与 交于、两点（在第一象限，在第四象限），过点 作直线的垂线，垂足为 (1)证明：直线恒过点； (2)设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)证明：设直线:，、，，在第一象限，故，在第四象限，故. 联立，得. 由韦达定理得，. 因为直线与双曲线 在第一象限和第四象限各有一个交点，所以，解得. 直线的点斜式方程为，整理得. 令，代入化简得， 将代入分子得， 代入韦达结果，得. 分母，因此当时，. 故直线恒过定点 (2). 【分析】（1）设直线的参数方程为，联立双曲线得到韦达关系，由所在象限确定参数范围；写出垂足与直线的方程，将待证定点横坐标代入，转化为验证分子恒等于0；利用变形，代入韦达定理完成定点证明； （2）利用（1）中所过定点简化三角形面积公式，结合直线与双曲线联立的韦达定理写出弦纵坐标差；根据点的位置约束参数范围，换元构造函数，借助单调性求面积最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知直线恒过点，则. 由在第一象限，在第四象限，得，所以 . 令，则.由，得，结合，得. 所以. 令，则在上单调递减，且，故在上单调递增. 所以，当，即时，取得最小值，且最小值为15. 17．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围； (2)记直线，的斜率分别为，，求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设，，直线的方程为，联立方程组，化简整理结合已知条件可得满足，先求出的取值范围，再求出k的取值范围即可；（2）先表示出斜率，，再结合韦达定理可得，，化简整理即可求出的值. 【详解】（1）设，，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的右支交于两点，直线的斜率k存在， 可得，解得或， 又由直线的斜率为，可得的取值范围是； （2）由双曲线，可得，， 由（1）可得，，则， 所以 . 18．设点在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【分析】首先根据比例中项的性质将条件转化为焦半径与点到准线距离的等式，结合双曲线的第二定义（或焦半径公式）建立关于点横坐标的表达式，再利用双曲线左支上点的横坐标满足的范围限制，结合双曲线离心率的隐含条件构建不等式求解即可. 【详解】由题设，得 由双曲线第二定义，得 设点坐标， 由焦半径公式得： 则，即，解得． 19．已知双曲线：，右焦点为，是它的一条渐近线的一个方向向量． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)由（1）知，， 由题可知直线斜率不为0，故设其方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴， ， 故为定值． 【分析】（1）由焦点坐标得，渐近线方向向量推出，结合解出，写出双曲线标准方程； （2）设联立双曲线，得到韦达定理，把用表示，代入韦达的和与积化简，证得乘积为定值． 【详解】（1）已知双曲线右焦点为，故，双曲线的一条渐近线的方向向量， 则，且，解得， 故双曲线的标准方程为：． （2）略 20．已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． (1)求的方程． (2)设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）设，则且， 所以，．     又，，所以，．     所以，为定值．     设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分．     （ii）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．①     由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为．     由，，三点共线，得，     整理，得， 代入，及①， 得，     故直线过定点，该定点的坐标为． 【分析】（1）结合拼接条件和离心率求椭圆方程. （2）（i）通过联立与的方程消参，证明斜率乘积为定值，就此得到双曲线轨迹. （ii）设直线，联立双曲线，利用、对称，结合韦达定理证明直线过定点. 【详解】（1）由：，得．     由，得，所以．     所以的方程为． （2）（i）略     （ii）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.2双曲线的简单几何性质知识归纳与题型总结 思 维 图 双曲线的一些几何性质 双曲线的新近线 双曲线的简单几何性质 双曲线的离心率 双曲线的简单几何性质 求双曲线离心率或淇取值范围的方法 几何法 双曲线中的最值问题 代数法 培 优 练 考点01双曲线的简单几何性质 考点梳理 1.双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 2 =1(a>0,b>0) y2 a2- 2=1(a>0,b>0) 标准方程 范围 2a或x≤-a,yER y2a或-，x∈R 1/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A(a,0) A1(0,-,A2(0, 半轴长 实半轴长为4，虚半轴长为b e="(e>1) 离心率 a b y=士x 渐近线方程 a y=士8知 2.双曲线的渐近线 (1)己知双曲线方程求渐近线方程 t2 y2 若双曲线方程为a2一0=1(a>0,b>0) 则其渐近线方程为 系-茶=-0→君±g=0→y=±8 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方 程 (2)己知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为x士y=0,则可设双曲线方程为x2-y2=λ，根据己知条件，求出1 即可 (3)与双曲线a2一京=1a>0,b>0) x2 y2 有公共渐近线的双曲线 与双曲线a2一0=1(a>0,b>0 有公共渐近线的双曲线方程可设为 =A(a>0,b>0,A≠0) (D0,焦点在x轴上；<0，焦点在y轴上) (4)等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x,因此等轴双曲线可设为 x2-y2=入(A≠0) 3.双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比“，叫作双曲线的离心率 (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小 2/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义白 因为a-√a=Ve- b c2-a2 6 所以e越大，a越大，则双曲线的开口越大 4等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=V2 4.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (I)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解 (②)列出含有ab,c的齐次方程或还等式。借助于b=a2一c消去b,转化为含有e的方 程（或不等式）求解， 【方法技巧与总结】 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点，R,乃分别为双曲线的左、右焦点，则PFlm=a+c, PF2l min=c-a 典例引领 考向01求双曲线的焦点坐标 x2 y2 =1 【例1】（多选）已知双曲线C:916,则下列说法正确的是() A.C的焦点在x轴上 B.C的渐近线方程为y=±x 3 C. C的离心率为4 D.C的虚轴长为8 考向02求双曲线的焦距 例2)已知椭圆C:7? 2y=1 与双曲线C2:mn(m>0,n>0)有公共焦点， C2 P为C与C的-个公共点，且P在第一象限 C (1)求双曲线的半焦距； 3/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 ∠FPE=60° (2)若 求双曲线的标准方程： 3)求点P的坐标及 PFF 的面积. 考向03判断两个双曲线共焦点 x2 y2 .y2x2 C: 【例3】（多选）已知a>0,b>0,且a≠b,双曲线 苏1与G，则下 与 列结论错误的是() A.它们的实轴长相等 B.它们的焦点相同 C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同 考向04求共焦点的双曲线方程 y2 x2 =1 【例4】与双曲线45共焦点， 且经过点P,22)的双曲线的方程为 考向05双曲线中x,y的取值范围 C:x2、y2 =1 【例5】已知双曲 3的右焦点为F,中心为O,P是C右支上的动点，若点 M满足MP.M派=0，则OM 最小值为() A.2 B.1 C.3 D.2 考向06判断点和双曲线的位置关系 C:_ =1 【例6】（多选）已知双曲线26，则() A.点P26)在cE 4/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH B.C的渐近线方程为y=3x C. C 4V2 的焦距为 D. 的实轴长为22 考向07双曲线的对称性 【例刀已知点2月).(2同).（45，(4，-)中有3个点在双曲线 C: _y2 =1(a>0,b>0)上，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=tx B.=+2x C.=+x D.y=±5x 考向08求双曲线的顶点坐标 【例8】（多选）已知双曲线C:9y-16r=144 ,则() A. C的项点坐标为 -4,0）（4,0) B.C的实半轴长为4 c.C的离心率e=4 D.C的渐近线的方程是4x±3y=0 考向09求双曲线的实轴、虚轴 x2 y2 【例9】已知双曲线m2的离心率为√2，则双曲线的实轴长为() 8.4 C② D.2V2 5/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向10等轴双曲线 【例101（多注）己知点4，B分别为双曲线厂：-少=2>0)的左，右顶点， 点P为「上异于A,B的动点，直线PA,PB与y轴的两个交点分别为C,D,下列结论 正确的是() A.双曲线「的渐近线方程为y=±x B.直线PA,PB的斜率之积为1 C.△PAD是直角三角形 2,+o) 的取值范围是 考向11已知方程求双曲线的渐近线 .x2y2 【例1设直线1：y=3x+1与双曲线C家=1a>0,6>0 的一条渐近线平行，则双曲 线C的离心率为 考向12根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 =1 【例12】己知椭圆1612与双曲线C有公共焦点，且双曲线C的离心率为2，则双曲 线C的渐近线方程为() A.y=±V3x B.y= 3 C.y=+3x D y=t2x 考向13双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 2y2 B. 1 G列5已双曲线C:。-包@>的个焦点F与扇石76的右国 合，点M为双曲线C上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线C的方程，并写出它的离心率： 6/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 a+1 (2)证明 M= tan∠FME 2 3)如果点M是椭圆E上的动点，则 5又怎么用 ∠FMF 表示呢？（直接写出结论即 可) 考向14双曲线的应用 【例14】从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦 点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双 F 的椭圆T与双曲线°构成， S 曲线的另一个焦点如图①，一个光学装置由有公共焦点、 现一光线从左焦点F发出，依次经S与T反射，又回到了点F,历时秒：若将装置中的 5去掉，如图②。此光线从点5发出，经T两次反射后又回到了点，历时秒：若 5=,求T的长轴长与S 的实轴长之比 C F2 ① ② 对点提升 【对点1】己知双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为 FE∠FME=120 则双曲线 的离心率为一 2:x2-y2 =1 【对点2】（多选）已知双曲线 m的左、右顶点分别为A,B,且D为2的虚 轴的一个端点，则() 7/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A 2 2Wm+1 的焦距为 x B. 2的渐近线方程为少=Vm m ADBD-m “为定值 D.当的离心率大于3时， ADBD>7 xyy2 x2 【对点3】已知双曲线9161与1691，下列说法正确的是() =1 A.两个双曲线有公共顶点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 【对点4】根据下列条件，求双曲线方程： x2 y2 =1 (1)与双曲线164有公共焦点，且过点3W2,2): x2 y2 (2)与双曲线916有公共渐近线，且过点(-3,2V3) 【对点5已知M2,0),N5.0),点P清足PM-PN=2,O为坐标原点，则直线 PO的斜率的取值范围是() A.（o,-lU,t) &.（, c.（-o,-u[l,+w) 。.【 C:y 【对点6】（多选）已知双曲线C云尔=1a>06>0) 的离心率为V3,实轴长为4，则 () 8/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.双曲线C的方程为48 B.双曲线C的渐近线方程为y=+2x C.双曲线C的焦点坐标为 ±23,0 D.点(2,0)在双曲线C上 【对点7】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知点 P(x,)(x,y2) 是曲线 E:_=1上任意两个不同的点，则下列说法正确的是(） 48 A.曲线P的渐近线方程为 y=V2x B.E的图象是轴对称图形 c.(3-)3-y)>0 D.N2x-y-8的最小值为4 【对点8】（多选）已知点A,B分别为双曲线「：心-少=(a>0) 的左右顶点，点P 为「上异于A,B的动点，直线PA,PB与y轴的两个交点分别为C,D,下列结论正确 的是() A.双曲线「的离心率为√2 B.直线PA,PB的倾斜角互余 C.以线段PD为直径的圆过「的顶点A 的取值范围是 (2a,+oo) 【对点9】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是4 2)一个顶点的坐标为0,2)，一个焦点的坐标为0，一⑤)， 3 (3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为y=4,实轴长为12； 【对点10】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方 程是 9/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 y2 x2 =1(a>0) 【对点11】若双曲线M:a24 的渐近线方程为y=2x,则a=() A.8 B.4 C.2 D.1 x2 y2 【对点12】已知双曲线C:。尔1 (a>b>0)的实轴长为2，且两条渐近线夹角为 60°，则该双曲线的焦距为() 4V3 4V5 A.3 B.8 C.4或3 D.8或 8v3 3 C.+2 -=1 【对点13】（多选）已知曲线42m2-4,则下列说法正确的是() A若m> C ,则是椭圆 B.若-√2<m<V2,则C是双曲线 C.当C是椭圆时，若m越大，则C越接近于圆 m D.当C是双曲线时，若越小，则C的开口越大 x2 y2 【对点14)某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C:云方1(a>0,b>0)绕 6 虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为 则该花瓶的高为() B V5b c.25a D.2V56 10/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 考点02双曲线中的最值问题 考点梳理 1.双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (I)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相 应曲线的定义求解， (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目 标变量表示为一个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、 判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注 意自变量的取值范围对最值的影响. 典例引领 考向01根据双曲线中x,y的范围求范围或最值 x2 y2 【例)己知双曲线C:疗尔-1(a>0,b>0),实轴长为4，其中一条新近线方程 为少 -x 2 (1)求C的方程： 2设双曲线C的两个焦点分别为5、B,M,W)为C上的点，若△MB 为钝角三角形， 求% 的取值范围， 对点提升 【对点1】已知曲线C:(x-y)3y=8 ,则曲线C上的点到(0,1)距离的最小值为 11/17 二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 关 能力提升 一、单选题 C:y 1.已知双曲线Ca尔=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,B,以为圆心 的圆与C的一条渐近线相切于点G,若G所，G丽=-2c,则C的离心率为() 2V3 A.√2 B.3 C.2 D.3 E:2y2 2.已知，乃分别是双曲线E:云下1(ab>0)的左、右焦点，过5作E的渐近线的 垂线，垂足为M.若M=3 ,则E的离心率为() 6 A.2 B.√2 C.2 D.3 3.已知双曲线C:存-1(a>0,b>0 x2 y2 的右支上有任意两点A、B,O为坐标原点， 若∠AOBe0,a),且ana=?,则双曲线C的离心率为 √5 15 A.5 B.2 C.5 D.3 x2 y2 =1 4.与双曲线164有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为() 12/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2y-1 x2 y2 =1 A.128 C.1220 D.2012 x2 y2 5.双曲线94 的一条弦AB的中点为M,),则直线AB的斜率为() 9 4 A.4 c.9 D.4 C:y 6.已知双曲线C云京=la>b>0 的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为30°，则该双 曲线的焦距为() 4V3 45 A.8 B.3 C.4或3 D.8或 85 3 y2 x2 7.已知F是双曲线C:京京=1(a>0,b>0) 的上焦点，直线y=与双曲线C交于A, ∠AFB∈ 2π B两点，其中A在第一象限，BF=44F,且 则双曲线C的离心率的取 值范围是() x2 y2 8.己知双曲线C:。6京=1(a>0,b>0 的渐近线方程为=土 6x,A,B分别为C的 cos(2B+r)_ 左、右顶点，p为c上位于第一象限的动点，设∠PBA=B:∠APB=y,则cosy () A 2 5 B.7 C.3 D.6 13/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 二、多选题 9,（多选)如图，对勾函数y=+ x（a>0,b>0)的图象是一条中心在坐标原点的旋 转双曲线，其渐近线分别为直线y=与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条 4x3 渐近线的角平分线.已知双曲线C:y=3+的实轴长为2m,离心率为e,设双曲线C的 00<0< 渐近线与实轴夹角为 2 则下列结论正确的有() e= A cos 是双曲线C的一个顶点 3 D.m=3√2 x2 y2 x2 y2 10,(多途)已知双曲线S:22,C:441,则() =1 G和 C A. 的实轴长相等 C C B. 的渐近线相同 C C C.和的焦距相等 G上存在两点，使得G上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 D. 14/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 x2 y2 1,《多选)己知双曲线B:尔1(a>0b>0)的左、右焦点分别为5，，E的 离心率∈(2,2)，过右焦点乃的直线1交双曲线E于A,B两点，则下列结论正确的是 () b ππ A直线'。的领斜角的取值范围为43 2b2 B.弦AB长度的最小值为a 6 C.当直线1垂直于渐近线y=。x时，直线！与双曲线E的左、右两支都相交 n10a<4B<30a D.若直线1的斜率为2，则3 三、填空题 x2 y2 12.已知双曲线C:?京=1 (a>0,b>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的左、 右两支上，且直线4B平行于轴.若MBB=5:3,∠48F=120,则C的离心率为 x2 y2 13.已知双曲线G方-l(a>0,b>0上两点M,N关于原点对称，P为双曲线上的点， 且直线PM,PV的斜率分别为，5·若化=，则该双前线的离心率为 x2 y2 14.已知双曲线C:。京-1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃，5，左、右顶点分别为 4,名：以5为直径的圆与C的一条渐近线交于M:N两点，且∠N4M-不。则双 曲线C的离心率为 15.从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲 15/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点， 如图所示：由共焦点的椭圆E和双曲线C构成，其中E与C的离心率之比为3：4.一束激 F 光从焦点发出，依次经C与E反射后返回，历时秒：若将装置中的C去掉，激光从 B发出经E两次反射后返回F,历时秒.则4 四、解析题 C:-=1 16.双曲线412，若动直线l过点F(4,0),且与C交于M、N两点(M在第一 象限，N在第四象限)，过点M作直线x=1的垂线，垂足为D. (1)证明：直线DN恒过点 (2)设O为坐标原点，△ODN的面积为S,求S的最小值 x2 17.已知双曲线C4-少=1 左右顶点分别为A,4,过点P(4,0)的直线1与双曲线C 的右支交于M,N两点. (1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围： k (2)记直线AM,A,N的斜率分别为，飞，求k的值 x2 y2 18.设点P在双曲线d京=1a>0,b>0 的左支上，双曲线两焦点为F,B,已知PR1是 16/17 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 d PF 点「到左准线的距离“和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围 x2 y2 19.已知双曲线T:。尔=1(a>0,b>0) 右焦点为F(2,0),d=(,v5是它的一条新 近线的一个方向向量. (1)求双曲线「的标准方程： (2)若双曲线「的右顶点为A,过焦点F的直线I与「的右支交于P,O两点，直线AP,AQ 分别与直线x=2交于M,N两点，记直线AP,A0的斜率分别为k,k,△AP: △AMN S S2 的面积分别为，，求证： k 2为定值. x2 y2 20.己知封闭曲线E由曲线9：。+存=1 (a>b>0,y>0)和曲线C2: 3 x+y2=4y≤0)拼接而成，且C的离心率为 C (1)求的方程. (2)设A,B分别为E的左、右顶点，P是E上位于x轴上方的动点，过点P作x轴的垂线 交E于另一点Q,直线AP与BQ相交于点T. ()证明直线TA与TB的斜率之积为定值，且点T的轨迹为某双曲线的一部分； )过点（人6,0）作不与坐标轴垂直的直线与(i)中的双曲线交于M,N两点，点N 关于x轴的对称点为D,证明直线MD过定点，并求该定点的坐标. 17/17