3.2.1双曲线及其标准方程7题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理定义（含集合表示、焦点与焦距）、标准方程（焦点位置、a,b,c关系），并通过定义应用、求方程等七类题型构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，涵盖高考常见问题，如焦点三角形面积计算、轨迹方程求解，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学语言（模型观念）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过真题训练查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.1双曲线及其标准方程7题型分类 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 （一） 双曲线定义的应用 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 2、双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 题型1：双曲线的定义及应用 1．（2026高二·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（2026高二·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 3．（2026高二·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 4．（2026高二·宁夏银川·期中）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得. 【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 5．（2026高二·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 6．【多选】（2026高一·云南曲靖·期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 【答案】AB 【分析】利用垂直平分线的定义可判断A选项；根据、直接判断出点的轨迹为射线，可判断BC选项；利用双曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对； 对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错； 对于D选项，当时，，且， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错. 故选：AB. （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型2：求双曲线的标准方程 7．（2026高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 8．（2026·北京丰台·模拟预测）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 9．（2026高二·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 10．（2026高二·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 11．（2026高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 题型3：由双曲线的标准方程求参数 12．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 15．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 16．（2026高三·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 17．【多选】（2026高二·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. （三） 双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出. ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出的值. ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积. （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型4：双曲线的焦点三角形问题 18．（2026高二·广东深圳·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 【答案】B 【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积. 【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点， 则①，②，， 可得①②2：， ∴是直角三角形， ①②：，． 故选：B 19．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出即可. 【详解】由双曲线得出. 因为，所以. 作于C，则C是AB的中点. 设，则由双曲线的定义， 可得. 故， 又由余弦定理得， 所以，解得. 故选：C    20．（2026高二·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 22．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据双曲线定义解出，再设点得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，， 由双曲线定义知，联立，解得， 设，因为，所以点在双曲线的右支上，则， 因为，所以①， 又因为点在双曲线上，则②， 联立①②解得或. 所以． 23．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 24．（2026高二·贵州黔东南·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及、，利用余弦定理及中线的向量关系可求得的值. 【详解】    在双曲线中，，，则， 根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则． 因为， 所，． 在中，， ① 在中，是中点,则，两边平方可得， 所以② 所以,, ． 故选：A. 25．（2026高二·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 题型5：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 26．【多选】（2026高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 27．（辽宁省大连市大连育明高级中学2025-2026学年高二学期期末数学试题）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 28．（2026高二·上海·阶段检测）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    题型6：双曲线的上的点到焦点和定点距离的和、差最值 29．（2026高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 30．（2026·河北保定·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 31．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 32．（2026高二·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. （四） 双曲线的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求双曲线的轨迹方程 33．（2026高二·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 34．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 35．（2026高二·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 36．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 37．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 1．（2026·北京通州·模拟预测）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 2．（2026高二·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 3．（2026·广西桂林·模拟预测）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 4．（2026高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 5．（2026高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 6．（2026高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 7．（2026高二·全国·课后作业）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据 表示动点到点与的距离之差为2，再结合双曲线的定义求解. 【详解】解：因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2， 又因为， 所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支． 故选：C 8．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【答案】C 【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答. 【详解】因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 9．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点坐标，可得， 要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支， 则满足，解得且， 结合选项，选项B、C符合题意. 故选：BC. 10．（2026高二·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 11．（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程的性质令可得； 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 12．（2026高二·全国·课后作业）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 因为由可推出或，但是由或不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A 13．（2026高二·北京·阶段检测）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意，作图如下： ，当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 14．（2026高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 15．【多选】（2026高二·海南儋州·期末）已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 【答案】ABD 【分析】根据双曲线、椭圆、圆的标准方程逐一判断. 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确； 故选：ABD 16．【多选】（2026高二·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 17．（2026高二·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 18．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 19．（2026高三·全国·一轮复习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义，结合点共线即可求解. 【详解】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6．    20．（2026高二·广西玉林·期中）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 21．（2026高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】由题知，进而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】解：设动圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为动圆过点，且与圆外切， 所以，，， 所以， 所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 因为实轴长为，焦点为， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，即 故答案为： 22．（2026高三·江西南昌·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值. 【详解】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：.      23．（2026高二·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 24．（2026高二·浙江·期中）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为______. 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为椭圆与双曲线共焦点， 所以有， 因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形， 所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，， 设，由椭圆和双曲线的定义可知：， 由余弦定理可知：， 所以有， 因此的面积为， 故答案为： 25．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 26．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 27．（2026高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹. 【详解】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 28．（2026高二·全国·随堂练习）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【答案】 【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答. 【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.1双曲线及其标准方程7题型分类 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 （一） 双曲线定义的应用 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 2、双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 题型1：双曲线的定义及应用 1．（2026高二·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（2026高二·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 3．（2026高二·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 4．（2026高二·宁夏银川·期中）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 5．（2026高二·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 6．【多选】（2026高一·云南曲靖·期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型2：求双曲线的标准方程 7．（2026高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 8．（2026·北京丰台·模拟预测）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·江苏徐州·期中）以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 11．（2026高二·江西南昌·阶段检测）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型3：由双曲线的标准方程求参数 12．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 15．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 16．（2026高三·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高二·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 （三） 双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出. ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出的值. ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积. （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型4：双曲线的焦点三角形问题 18．（2026高二·广东深圳·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 19．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 22．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 23．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 24．（2026高二·贵州黔东南·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（2026高二·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 题型5：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 26．【多选】（2026高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（辽宁省大连市大连育明高级中学2025-2026学年高二学期期末数学试题）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 28．（2026高二·上海·阶段检测）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为______． 题型6：双曲线的上的点到焦点和定点距离的和、差最值 29．（2026高二·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 30．（2026·河北保定·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 32．（2026高二·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 （四） 双曲线的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求双曲线的轨迹方程 33．（2026高二·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 36．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 37．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·北京通州·模拟预测）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 3．（2026·广西桂林·模拟预测）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 7．（2026高二·全国·课后作业）已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 8．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 9．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 10．（2026高二·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026高二·全国·课后作业）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026高二·北京·阶段检测）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 14．（2026高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高二·海南儋州·期末）已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 16．【多选】（2026高二·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 17．（2026高二·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 18．（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 19．（2026高三·全国·一轮复习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 20．（2026高二·广西玉林·期中）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________． 21．（2026高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______． 22．（2026高三·江西南昌·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________. 23．（2026高二·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________． 24．（2026高二·浙江·期中）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为______. 25．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 26．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 27．（2026高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 28．（2026高二·全国·随堂练习）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $