精品解析：北京市西城区第三十一中学2026-2027学年高三上学期期中数学试题

北京市第三十一中学2026—2027学年度第一学期 高三年数学期中考试试题 2026．11 （试卷满分 150分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 6. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 关于函数,下列说法错误的是 A. 是奇函数 B. 不是的极值点 C. 在上有且仅有3个零点 D. 的值域是 8. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ） A. 10 B. C. 2 D. 9. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________________ 12. 在中，，则______. 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 14. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 15. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值并写出与之对应的x的值． 17. 在三角形ABC中，． （1）求； （2），，求AB的长及三角形ABC面积． 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率. （1）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误. 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20； （2）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； （3）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 21. 已知函数 在处的切线方程为． （1）求的值; （2）求证：恒成立．(参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十一中学2026—2027学年度第一学期 高三年数学期中考试试题 2026．11 （试卷满分 150分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由条件可知，, 所以，，所以. 故选：A 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义：对于任意实数，都有.然后分析每个函数的值域判定即可. 【详解】对于函数，定义域为R，，而. 因为，所以该函数不是奇函数. 对于值域， 因为的值域为，所以的值域为R.故A错误. 对于函数，定义域为R，， 所以该函数是偶函数，不是奇函数， 故B错误. 对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数. 对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R. 故C错误. 对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数. 对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷； 并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R. 故选：D. 4. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及奇偶性的判断求解即可. 【详解】因为，， 所以为奇函数， 又奇函数的图象关于原点对称，所以曲线存在对称中心； 令，， 因为在定义域内为增函数，在定义域内为增函数， 所以在定义域内为增函数， 综上，在上是增函数，且曲线存在对称中心. 故选：. 6. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案. 【详解】的定义域是， ，在区间上单调递增， ，所以存在， 使得，且在区间上在单调递减， 在区间上在单调递增，所以是的极小值点， 所以. 故选：B 7. 关于函数,下列说法错误的是 A. 是奇函数 B. 不是的极值点 C. 在上有且仅有3个零点 D. 的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解. 详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A是正确的. 对于选项B,，可以得到函数f(x)在是增函数，在也是增函数，所以0不是函数的极值点，所以选项B正确. 对于选项C,由于函数在是增函数，在是增函数，且f(0)=0,所以函数在上有且仅有1个零点，所以选项C错误. 对于选项D,函数的值域为R，所以选项D正确 故选:C. 8. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可. 【详解】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况， 若关于的方程（且）有实数解， 即与的图像有交点， 因为与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 如图所示： 设函数与直线相切，切点为， ，则有，解得：， 由图像可知，当时，曲线与直线有交点， 即与的图像有交点，即方程有解. 故选：D. 9. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案. 【详解】依题意，，则， 由、，得， 所以. 故选：A 10. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论． 【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0， 令h(x)=,令h′（x）=，则x=， 所以h(x)在（0，）单调递增，在（）上单调递减， ∴y的大致图像如图： 又h()= 若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则， 故选B. 【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题． 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案. 【详解】根据题意，可知，解得，故定义域为. 【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础. 12. 在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解． 【详解】因为，由正弦定理得， 变形得，所以， 又，所以， 故答案为：． 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 14. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出上的值域，由的值域为，只需在上的值域包含，分析二次函数的开口方向，对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 15. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值并写出与之对应的x的值． 【答案】（1）函数的最小正周期为，单调递减区间为； （2）当时，的最大值为，对应；最小值为，对应. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等代换化简函数，再求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）利用换元法，把转化为正弦型函数，再求的最大值和最小值并写出与之对应的x的值． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 令，得 ， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，，故， ， 即当时，的最大值为，对应即； 最小值为，对应即. 17. 在三角形ABC中，． （1）求； （2），，求AB的长及三角形ABC面积． 【答案】（1）. （2），三角形的面积为. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和、诱导公式、二倍角的余弦公式化简得，即可求解. （2）利用正弦定理得，结合，得，则，再利用两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 故，得，即， 结合，得. 【小问2详解】 由，，得. 由正弦定理得，即，解得， 所以，解得，则. 又， 由正弦定理得，解得. 所以三角形的面积为 . 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率. （1）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误. 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20； （2）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望； （3）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1）结论正确，结论不正确. （2） 0 1 2 3 数学期望为： （3）故方差相等. 【解析】 【分析】（1）结合题目，利用样本中选择足球的人数的比例求解，故结论A正确.因为选择排球的男生有50人，选择篮球的有25人，故不可能样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数为20.故结论B错误. (2)利用全概率公式求解即可； （3）根据题意有如下关系：结合方差的性质得到两者方差相等. 【小问1详解】 结论A正确，结论不正确. 【小问2详解】 （2）一男生选择排球课的概率估计为 ， 高一女生选择排球课的概率估计为 . 随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， 所以的分布列为: 0 1 2 3 故 . 【小问3详解】 . 19. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分析求解可知，要使得函数存在且唯一，需选择条件①②,或选择条件②③, 选择其中一组解答即可，由正弦函数的图象和性质求出，可得函数的解析式； （2）求出函数的单调递减区间，由是其子集，即可求得实数的最大值. 【小问1详解】 若选择条件①③, 由,得，即，，则， 又函数的一个零点为，则， 则不能确定，所以函数不唯一，所以不能选择条件①③. 选择条件①②, 由,得，即，，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 所以. 选择条件②③, 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 因为函数的一个零点为，即， 所以，则， 又，则， 所以. 【小问2详解】 因为函数的单调递减区间为， 所以， 则， 所以是的一个单调递减区间， 若函数在区间上单调递减， 则， 所以实数的最大值为. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为和 （3） 当且时，，理由如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性即可； （3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【小问1详解】 当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． 【小问3详解】 略 21. 已知函数 在处的切线方程为． （1）求的值; （2）求证：恒成立．(参考数据： 【答案】（1） （2） 令 则 恒成立， 所以 在上单调递增． 又 所以 存在唯一的零点， 且满足 ① 当x变化时， f(x)和f'(x)的变化情况如下： x 0 减 极小值 增 所以 将①带入上式，得 令，并构造函数 则有 所以在上单调递增． 所以 即 所以f(x)>0恒成立． 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义可以求解； （2）利用导数求出函数在上的最小值，构造函数结合单调性求解即可得证. 【小问1详解】 已知函数 在x=0处的切线方程为． 由 ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $