精品解析：北京市第一六六中学、第五十中学、第五十五中学联考2026-2027学年第一学期期中测试高三数学试卷

北京市第一六六中学北京市第五十中学北京市第五十五中学联考 2026—2027学年度第一学期期中测试 高三年级数学学科 （考试时长：120分钟） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 集合，， 所以，. 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 . 亦可由 . 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为， 依题意，，所以. 故选：A 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：定义域是，对称轴是，不满足偶函数定义，排除A. 选项B：定义域是，，满足偶函数定义，在上任取两个数. 假设，作差得， 其中，即，又，所以，即， 因此，即，故在上单调递增,符合题意. 选项C：是偶函数，但在是周期函数，不满足单调递增的要求，不符合题意，排除C. 选项D：函数定义域为，不满足偶函数的定义域要求，排除D. 5. 在中，，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：在中，，， 当时，由正弦定理可得 ，， 当时，由正弦定理可得，，因为，所以或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 6. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象与性质可判断A；结合函数的图象与性质可判断B；举出反例说明可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】实数，满足，则， 对于A，因为在不单调， 所以、、都有可能，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，取，，，故C错误； 对于D，， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：D 7. 已知向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出的最大值. 【详解】如下图所示： 圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上， 则，由图可知，，即的最大值为. 故选：A 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到的图象，若的图象的对称中心落在图象的对称轴上，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合正弦型函数性质可得，再依次检验各选项即可求解. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心为， 由题意知，， 所以， 所以且， 对于A，若，则，解得，故A不符合题意； 对于B，若，则，解得，故B符合题意； 对于C，若，则，解得，故C不符合题意； 对于D，若，则，解得，故D不符合题意； 9. “阿秒光脉冲”是2023年诺贝尔物理学奖获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学．已知阿秒为时间单位，且1阿秒等于秒，光速约为米/秒．将2米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经1阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是（ ）．（参考数据：，） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】先计算光在1阿秒内传播的距离，建立n天剩余木棒长度的不等式，结合对数运算求解满足条件的最小正整数n. 【详解】根据路程公式，代入光速米/秒，时间秒，可得传播距离米. 设至少需要经过天（），根据每天截取木棒一半的规则，第天剩余的木棒长度为初始长度乘以， 即剩余长度米. 根据题意，可列不等式:， 得:，  化简得: ， 得: .  由于，因此满足条件的最小正整数为33. 10. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②对任意的，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（ ） A. 26 B. 22 C. 20 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，确定第一行各数取的最小值，第二行各数取的最小值，再求和即可得总和最小值. 【详解】由，且，不妨令，则， 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，； 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，， 因此， 所以该数表中的10个数之和的最小值为22. 故选：B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 12. 已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【详解】对于焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，即. 由题意，双曲线的一条渐近线过点，将该点代入渐近线方程，可得：  整理得, 故 . 13. 已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【解析】 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且​是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 14. 如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合题干给出的线面垂直关系与各棱长条件，采用补形法将多面体补为长方体，通过长方体体积减去多余的三个三棱锥的体积，计算得到目标多面体的体积。 【详解】根据多面体的结构特征，将其补成长方体，所以多面体的体积为 ． 15. 已知函数，则下列命题正确的是______． ①在上单调递减； ②若是小于1的最大零点，是大于1的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①令，则 根据复合函数 “同增异减”判断 的单调性；②零点满足 ，得，对同一个，由韦达定理得；③举出反例，设且推出矛盾；④当时，，零点近似满足 ，即 ,相邻零点间距：,当时间距可任意小，因此对任意长度，总能找到足够密集的两个零点落在长度为的区间内, 【详解】①令，则 在上，，故单调递增，且 ， 因为，所以 在 上单调递减， 根据复合函数 “同增异减”， 在上单调递减，①正确； ② 零点满足 ，得， 对同一个，是小于 1 的最大零点，是大于 1 的最小零点，由韦达定理得，②正确； ③不妨设且，两式相减得， 即，因为，所以，所以，③错误； ④当时，，零点近似满足 ，即 , 相邻零点间距：,当时间距可任意小， 因此对任意长度，总能找到足够密集的两个零点落在长度为的区间内,④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）设函数，且对，恒成立．求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）的最小正周期为，单调递减区间为； （2）在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】 【小问1详解】 由二倍角公式,,,故 最小正周期. 令, 解得 单调递减区间为. 【小问2详解】 由对恒成立,知为的最小值,即 故,解得 由,得. 于是 当时, 当,即时, 当或,即或时, 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：平面平面. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 在底面中，连接交于点，可得为中点，连接． 因为是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 任意选①②：二面角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选①：． 因为，，又底面是正方形 所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，． 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，．于是． 又因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，则 ． 由图可知， 二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 选②：平面平面． 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 又底面是正方形，所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，． 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，．于是． 又因为平面， 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，则 ． 由图可知， 二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18. 某校高一年级甲、乙两个班的学生都参加了学校组织的数学文化知识竞赛（百分制）．为了解学生的竞赛情况，随机抽查了甲、乙两个班各名学生的竞赛成绩，并按成绩划分为优秀、良好、及格、待及格四个等级，整理成下表： 成绩等级 甲班人数 乙班人数 优秀 良好 及格 待及格 假设学生的竞赛成绩相互独立．用频率估计概率． （1）估计乙班学生竞赛成绩为“优秀”的概率； （2）从甲、乙两个班中各随机抽取名学生，设为这名学生中竞赛成绩为“优秀”的人数，求的分布列及； （3）若将竞赛成绩按“优秀分、良好分、及格分、待及格分”折算为分数，折算后甲、乙两班的平均分相同．设甲、乙两班学生折算成绩的方差分别为与，判断它们的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）乙班学生竞赛成绩为“优秀”的概率估计值为（或） （2）的分布列为： 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据可求得结果； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求出的值； （3）根据平均数和方差公式计算并比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，乙班学生竞赛成绩为“优秀”的概率为. 【小问2详解】 甲班“优秀”的学生人数为，乙班“优秀”的学生人数为， 从甲、乙两个班中各随机抽取名学生，设为这名学生中竞赛成绩为“优秀”的人数， 则随机变量的可能取值有、、， 则，， ， 所以随机变量分布列如下表所示： 数学期望为. 【小问3详解】 甲班竞赛成绩的平均分为， 方差为， 乙班竞赛成绩的平均分为， 方差为， 故. 19. 已知椭圆的焦距为2，离心率， （1）求椭圆C的标准方程； （2）动点P在椭圆C上，直线与x轴交于点N，于点M（M，N不重合），线段中点为S，试问在x轴上是否存在定点T，使得点P关于直线的对称点在x轴上，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）; （2）存在，T的坐标为 【解析】 【分析】（1）由焦距与离心率分别求出与，再由算出，即可写出标准方程； （2）设出、与对称点的坐标，用“中点在上、”两个条件联立消去，再令所得等式对任意点恒成立，即可解出. 【小问1详解】 由焦距，得，由离心率，得， ， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设在椭圆上，因题设M，N不重合，故， 则　（*） 由且在直线上，得；又为的中点，故， 设，点关于直线的对称点为， 则直线是线段的垂直平分线，即的中点在直线上，且， 直线的方向向量为， 由在直线上，可设，比较纵坐标得，因，故； 再比较横坐标得，整理得　①， 由得，即，整理得　② 联立①②得， 将（*）代入，并两边同乘，得， 整理得，即， 该等式对所有满足，即任意的椭圆上的点恒成立， 因此必须满足，故， 综上，在轴上存在唯一定点，使得点P关于直线的对称点在x轴上. 20. 设函数，其中．已知曲线在点处的切线方程为． （1）求m和a的值； （2）求的极值点个数； （3）设直线，求直线l与曲线的交点个数． 【答案】（1）， （2）2 （3）时有1个交点，时有3个交点 【解析】 【分析】（1）利用切点处函数值等于切点纵坐标、导数值等于切线斜率，联立方程求出； （2）求导后研究导函数的单调性与最值，通过零点个数确定原函数极值点个数； （3）构造差函数，以差函数一阶导在处的最大值为分界，分和讨论零点数量，得到交点个数． 【小问1详解】 函数切点在曲线上，则，代入切线方程得 ，故，解得； 函数求导得，斜率为1，故，解得． 【小问2详解】 由（1）知，，求导得， 令，则极值点个数等于的变号零点个数； 求导得，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在处取得极大值，； 时，，，故； 时，的增长远大于线性增长，故； 故在内有1个零点，在内有1个零点， 故的极值点数为2． 【小问3详解】 交点个数等价于的实根个数，方程整理得： ， 令，则问题转化为求的零点个数， ，故为1个零点； 求导得，令， 求导得， 令，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 故在处取最大值，， 当时，，故在上单调递减， 故时，； 时，； 故只有一个零点，即直线与曲线有1个交点； 当时，， 时，，，故； 时，，故； 由单调性，存在唯一的，使得， 时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减； 故在处取得极小值，在处取得极大值， ，且在上递增，故， 时，主导，，结合，在内有1个零点； 是1个零点； 时，主导，，结合，在内有1个零点； 综上，当时，共有3个零点，即直线与曲线有3个交点． 21. 已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于． （1）写出，的值； （2）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； （3）若，求当取最小值时的最大值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由性质，根据与时分析即可. （2）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（，，…，），故，，…，为等差数列． （3）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时，的最大值为． 【详解】（1）由，且均为正整数，故.故.故当不大于的正整数时，由题意必有，当时，可得. （2）先证必要性： 因为，，可得； 再证充分性： 因为，，，…，为正整数数列，故有 ，， ，，…，， 所以， 又，则当时，可得，当时，故，综上，故，，…，为等差数列． （3）先证明（，，…，）． 假设存在，且为最小的正整数． 依题意，则 ，，又因为， 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和． 故假设不成立，即（，，…，）成立． 因此， 即，所以．　 因为，则， 若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为， 故，即. 此时可构造集合. 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； …… 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和， 所以集合满足题设， 所以当取最小值11时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了集合新定义，结合数列的递推公式分析通项公式的问题，同时也考查了等比数列的求和问题等.在分析新定义问题时，需要根据题意从最基础的第一项开始，逐步分析集合中的各项满足的条件，再根据所得的规律进行求解.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学北京市第五十中学北京市第五十五中学联考 2026—2027学年度第一学期期中测试 高三年级数学学科 （考试时长：120分钟） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到的图象，若的图象的对称中心落在图象的对称轴上，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. “阿秒光脉冲”是2023年诺贝尔物理学奖获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学．已知阿秒为时间单位，且1阿秒等于秒，光速约为米/秒．将2米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经1阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是（ ）．（参考数据：，） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 10. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②对任意的，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（ ） A. 26 B. 22 C. 20 D. 0 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 在的展开式中，的系数为_________． 12. 已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为____________． 13. 已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 14. 如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 15. 已知函数，则下列命题正确的是______． ①在上单调递减； ②若是小于1的最大零点，是大于1的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）设函数，且对，恒成立．求在区间上的最大值和最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：平面平面. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 某校高一年级甲、乙两个班的学生都参加了学校组织的数学文化知识竞赛（百分制）．为了解学生的竞赛情况，随机抽查了甲、乙两个班各名学生的竞赛成绩，并按成绩划分为优秀、良好、及格、待及格四个等级，整理成下表： 成绩等级 甲班人数 乙班人数 优秀 良好 及格 待及格 假设学生的竞赛成绩相互独立．用频率估计概率． （1）估计乙班学生竞赛成绩为“优秀”的概率； （2）从甲、乙两个班中各随机抽取名学生，设为这名学生中竞赛成绩为“优秀”的人数，求的分布列及； （3）若将竞赛成绩按“优秀分、良好分、及格分、待及格分”折算为分数，折算后甲、乙两班的平均分相同．设甲、乙两班学生折算成绩的方差分别为与，判断它们的大小关系．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的焦距为2，离心率， （1）求椭圆C的标准方程； （2）动点P在椭圆C上，直线与x轴交于点N，于点M（M，N不重合），线段中点为S，试问在x轴上是否存在定点T，使得点P关于直线的对称点在x轴上，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由． 20. 设函数，其中．已知曲线在点处的切线方程为． （1）求m和a的值； （2）求的极值点个数； （3）设直线，求直线l与曲线的交点个数． 21. 已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于． （1）写出，的值； （2）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； （3）若，求当取最小值时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $