圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

圆的方程专项训练 圆的标准方程 · 圆的一般方程 · 点与圆的位置关系 · 轨迹方程 · 专项训练 【学生版】 适用：高二同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签均标注了对应的方法序号，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 知识要点每条结论后面都有一行「即」字微示例：先读结论，再用示例里的数字口算一遍，验证过了再去做后面的题。 • 动笔前先想两件事：圆心有没有明显特征（在坐标轴上、是某线段中点）？设标准方程还是一般方程更省力？设一般方程后别忘检验「」。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。求出圆的方程后，把每个已知点代回去检验——这一步能抓住绝大多数的配方错误。 圆的方程专项训练 考点定位：人教 A 版选择性必修第一册第二章 2.4（圆的标准方程、圆的一般方程）。主线是「一定义、两形式、三位置」——先用圆的定义立起标准方程，再通过配方打通一般方程，最后落到点与圆的位置关系、待定系数求方程与轨迹问题。 题源：本册 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点是圆心，定长是半径。圆是「距离等于定长」的一条封闭曲线。即：到原点距离等于 的点的集合是以原点为圆心、 为半径的圆；点 到原点的距离是 ，不在该圆上。 2. 标准方程：圆心为 、半径为 （）的圆的标准方程是 ，由「圆上任一点到圆心距离等于 」用两点间距离公式直接写出。即：圆心 、半径 的圆是 ；圆心 、半径 的圆是 。 3. 圆的两要素：圆心定位置、半径定大小，二者一起完全确定一个圆。圆心相同而半径不同的两个圆是同心圆。即： 与 是同心圆；只知道圆心 而不知道半径，圆还定不下来。 4. 点与圆的位置关系：点 与圆心 的距离为 时， 点在圆内， 点在圆上， 点在圆外。即：圆 （），点 到原点距离 在圆上；点 距离 在圆内；点 距离 在圆外。 5. 从标准方程读圆心与半径： 的圆心是 ， 后面是减号、 就带正号；遇到 要先写成 再读。即： 的圆心是 、半径是 ——写成 是最常见的符号错。 （二）圆的一般方程 6. 一般方程：（）表示一个圆；条件不满足时它不表示任何圆。即： 中 、、，，表示圆。 7. 配方：把一般方程配方得 ，右端就是半径的平方。即： 配方得 ，是半径 的圆。 8. 圆心与半径公式：一般方程表示的圆圆心是 ，半径 。即： 的圆心是 ，半径 ——与配方结果一致。 9. 二元二次方程表示圆的充要条件：对 ，它表示圆 ⇔ 、（无交叉项）且 （配方后半径平方为正）。即： 配方得 ，半径为零退化为一个点，不表示圆； 两个二次项系数不同，不是圆。 10. 特殊位置的圆：圆过原点 ⇔ ；圆心在 轴上 ⇔ ；圆心在 轴上 ⇔ 。即： 代 得 ✓，过原点；圆心在 轴上的圆的一般式形如 。 （三）求圆的方程与轨迹 11. 标准式待定系数：圆心有明显特征（在坐标轴上、在某直线上、是某线段中点）时设标准方程，圆心两个参数加半径共三个未知数，需要三个独立条件。即：圆心在 轴上设 ；若圆过 、，两点到圆心 等距得 ，，方程为 。 12. 一般式待定系数：已知圆上三点时设一般方程，每代一点得一个一次方程，三元一次方程组比标准式下的二次方程组好解。即：把 、、 分别代入 ，得 、、（例 2 的完整过程）。 13. 几何法求圆：圆心在弦的垂直平分线上；过圆心作弦的垂线得弦心距，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形。即：圆的半径为 、某弦长为 ，则半弦长 ，弦心距 ——勾股一算就有。 14. 直径端点定圆：、 是直径两端点时，圆心是 的中点 ，半径是 的一半。即：直径端点 、，圆心 ，半径 ，方程为 。 15. 轨迹法（直接法）：把动点满足的几何条件逐句翻译成坐标等式，化简得到方程；化简后要检验——去掉不满足原条件的点。即：到定点 距离为 的动点满足 ；若原条件还有「在 轴上方」，答案只能是这个圆的上半部分，整圆就不对了。 二、方法提炼 方法1　标准方程的待定系数：先读圆心的特征设 （圆心在 轴上则 ，圆心在 轴上则 ），再把已知点代入定参数。圆心在轴上时少一个未知数，往往二元就能解。 方法2　一般方程的待定系数与配方互化：已知三点设一般方程解线性方程组；求出一般方程后用配方化回标准方程读圆心与半径，两条路互相检验。写结论前检查 ，否则方程可能不表示圆。 方法3　几何法：用「圆心在弦的垂直平分线上」定圆心，用「半径² = 弦心距² + 半弦长²」定半径；直径端点直接取中点、取半长。几何法常比待定系数少解一个方程组，能用则用。 方法4　点与圆的位置及圆上最值：位置关系只比 与 ；圆外定点 到圆上动点 的距离在 与 之间（ 为圆心），最值在直线 与圆的两个交点处取得——连结圆心与定点是这类最值的标准第一步。 三、易错提醒 ◆ 圆心符号看反： 的圆心是 ，不是 。从标准方程读圆心，先把括号统一写成 的形式再读。 ◆ 配方前系数必须化为 ： 要先除以 化成 再配方；带着系数 直接配方，一次项与常数项都会配错。 ◆ 忘检验 ： 配方得 ，右端为负，平面内没有点满足它，不表示圆。求出参数后这一步检验不能省。 ◆ 点与圆的位置比较错对象：要么比距离 与 ，要么比「距离的平方」与 ——两边必须同是距离或同是平方，一边开方一边不开方是最隐蔽的错。 ◆ 「圆过原点」与「圆心在原点」混淆：圆过原点 ⇔ （方程代 为零）；圆心在原点 ⇔ 。两个条件毫无关系，设方程前先想清楚用的是哪一个。 ◆ 直径端点处理不当：已知直径两端点求圆，圆心取中点、半径取半长，不要把直径长当成半径；半径 ，平方后再写方程。 ◆ 轨迹问题漏检验：由几何条件化出的方程可能比原条件多出一些点（如化简时两边平方、去掉「在 轴上方」这类约束），写答案前必须回到原条件逐一核对取值范围。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 圆心在坐标轴上的圆 题注：圆心 在 轴上，到 、 两点的距离（两条虚线段）都等于 ——「到两定点等距」就是圆心落在线段垂直平分线上的几何说法。 如图，求圆心在 轴上，且经过点 、 的圆的方程。 【例 2】 方法2 · 三点定圆与一般方程 题注：、、 三点都在圆上，圆心 是弦 的垂直平分线 与弦 的垂直平分线的交点，到三点的距离都是 。 如图，已知圆经过点 、、，求圆的方程。 【例 3】 方法3 · 几何法：垂直平分线定圆心 题注：圆心必在弦 的垂直平分线 （虚线）上，又要在直线 （虚线）上——两条虚线的交点就是圆心 ；两条虚线段 、 都是半径，长度相等。 如图，已知圆 过点 、，且圆心 在直线 上，求圆 的方程。 【例 4】 方法4 · 点圆位置与圆上最值 题注：圆 的圆心 、半径 ；定点 在圆外，——连结 并延长、反向，与圆的两个交点处取得最值。 已知圆 ，点 。（1）把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；（2）判断点 与圆 的位置关系；（3） 是圆 上的动点，求 的最大值与最小值。 五、巩固练习 1. 方法1 · 圆的方程基本概念（多选） 题注：四个选项各考一条——标准方程的圆心读法、一般方程表示圆的判定、半径的计算、点与圆的位置关系。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．圆 的圆心坐标为 B．方程 表示一个圆 C．圆 的半径为 D．点 在圆 外 2. 方法1 · 圆心带参数的相切条件 题注： 时圆 与 轴切于 ； 到圆心 的距离 大于半径 ，在圆外。 如图，已知圆 与 轴相切。（1）求实数 的值；（2）对 的那个圆，判断点 与圆 的位置关系。 3. 方法3 · 与两坐标轴都相切的圆 题注：两个圆都与两坐标轴相切、都切 轴于同一点 ——圆心 、，半径都是 ；切点 由「圆心向 轴作垂线」得到。 如图，求与两坐标轴都相切，且与 轴相切于点 的圆的方程。 4. 方法3 · 直径端点定圆及圆周角 题注： 是直径（、），圆心 ； 在圆上，——「直径所对的圆周角是直角」，用距离公式可以直接验证。 如图，已知点 、，圆 以线段 为直径。（1）求圆 的方程；（2）判断点 与圆 的位置关系；（3）若点 在圆 上，证明：。 5. 方法2 · 圆的方程综合（多选） 题注：四个选项各考一条——同心圆的圆心、圆心在定直线上的参数条件、直径端点定圆、圆过原点的判定。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．圆 与圆 同心 B．若圆 的圆心在直线 上，则 C．以点 、 为直径两端点的圆的方程为 D．方程 表示的圆经过原点 6. 方法4 · 比值条件的轨迹方程 题注：轨迹是以 为圆心、 为半径的圆——圆心在 轴的负半轴上，圆与 轴交于 和 ，点 在圆外。 如图，已知点 ，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 六、拓展提升 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 同心圆系：圆心 固定、半径可变的圆族是 （）；反过来，过定点 的圆心在动、半径随之变。即：与 （圆心 ）同心的圆是 ；其中过原点的那一个，代 得 ，即 。检验：原点到 的距离 恰为半径 ✓。 圆的对称：圆关于点（或直线）对称的图形仍是圆，圆心作同样的对称、半径不变。即：圆 关于原点的对称圆，圆心 对称为 ，方程为 ；关于 轴的对称圆圆心不变（ 本就在 轴上），方程就是它自己。检验：两圆半径都是 ，圆心关于原点对称 ✓。 圆与坐标轴的交点（截弦）：在圆的方程中令 解出 ，就得到圆与 轴的交点，两交点间的距离即圆在 轴上截得的弦长。即： 令 得 ，，交点 与 ，弦长 。验算：圆心 、半径 ，弦恰为直径，弦长 ✓。 用坐标法证几何结论：把几何命题翻译成坐标运算，是本节方法的直接应用。以 、 为直径端点的圆是 ，圆上任一点 满足 ；于是 ——这正是练 4 的结论在一般情形下的证明，两行代数替代了整段几何论证。 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的方程专项训练 圆的标准方程 · 圆的一般方程 · 点与圆的位置关系 · 轨迹方程 · 专项训练 【教师版】 适用：高二同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签均标注了对应的方法序号，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 知识要点每条结论后面都有一行「即」字微示例：先读结论，再用示例里的数字口算一遍，验证过了再去做后面的题。 • 动笔前先想两件事：圆心有没有明显特征（在坐标轴上、是某线段中点）？设标准方程还是一般方程更省力？设一般方程后别忘检验「」。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。求出圆的方程后，把每个已知点代回去检验——这一步能抓住绝大多数的配方错误。 圆的方程专项训练 考点定位：人教 A 版选择性必修第一册第二章 2.4（圆的标准方程、圆的一般方程）。主线是「一定义、两形式、三位置」——先用圆的定义立起标准方程，再通过配方打通一般方程，最后落到点与圆的位置关系、待定系数求方程与轨迹问题。 题源：本册 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点是圆心，定长是半径。圆是「距离等于定长」的一条封闭曲线。即：到原点距离等于 的点的集合是以原点为圆心、 为半径的圆；点 到原点的距离是 ，不在该圆上。 2. 标准方程：圆心为 、半径为 （）的圆的标准方程是 ，由「圆上任一点到圆心距离等于 」用两点间距离公式直接写出。即：圆心 、半径 的圆是 ；圆心 、半径 的圆是 。 3. 圆的两要素：圆心定位置、半径定大小，二者一起完全确定一个圆。圆心相同而半径不同的两个圆是同心圆。即： 与 是同心圆；只知道圆心 而不知道半径，圆还定不下来。 4. 点与圆的位置关系：点 与圆心 的距离为 时， 点在圆内， 点在圆上， 点在圆外。即：圆 （），点 到原点距离 在圆上；点 距离 在圆内；点 距离 在圆外。 5. 从标准方程读圆心与半径： 的圆心是 ， 后面是减号、 就带正号；遇到 要先写成 再读。即： 的圆心是 、半径是 ——写成 是最常见的符号错。 （二）圆的一般方程 6. 一般方程：（）表示一个圆；条件不满足时它不表示任何圆。即： 中 、、，，表示圆。 7. 配方：把一般方程配方得 ，右端就是半径的平方。即： 配方得 ，是半径 的圆。 8. 圆心与半径公式：一般方程表示的圆圆心是 ，半径 。即： 的圆心是 ，半径 ——与配方结果一致。 9. 二元二次方程表示圆的充要条件：对 ，它表示圆 ⇔ 、（无交叉项）且 （配方后半径平方为正）。即： 配方得 ，半径为零退化为一个点，不表示圆； 两个二次项系数不同，不是圆。 10. 特殊位置的圆：圆过原点 ⇔ ；圆心在 轴上 ⇔ ；圆心在 轴上 ⇔ 。即： 代 得 ✓，过原点；圆心在 轴上的圆的一般式形如 。 （三）求圆的方程与轨迹 11. 标准式待定系数：圆心有明显特征（在坐标轴上、在某直线上、是某线段中点）时设标准方程，圆心两个参数加半径共三个未知数，需要三个独立条件。即：圆心在 轴上设 ；若圆过 、，两点到圆心 等距得 ，，方程为 。 12. 一般式待定系数：已知圆上三点时设一般方程，每代一点得一个一次方程，三元一次方程组比标准式下的二次方程组好解。即：把 、、 分别代入 ，得 、、（例 2 的完整过程）。 13. 几何法求圆：圆心在弦的垂直平分线上；过圆心作弦的垂线得弦心距，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形。即：圆的半径为 、某弦长为 ，则半弦长 ，弦心距 ——勾股一算就有。 14. 直径端点定圆：、 是直径两端点时，圆心是 的中点 ，半径是 的一半。即：直径端点 、，圆心 ，半径 ，方程为 。 15. 轨迹法（直接法）：把动点满足的几何条件逐句翻译成坐标等式，化简得到方程；化简后要检验——去掉不满足原条件的点。即：到定点 距离为 的动点满足 ；若原条件还有「在 轴上方」，答案只能是这个圆的上半部分，整圆就不对了。 二、方法提炼 方法1　标准方程的待定系数：先读圆心的特征设 （圆心在 轴上则 ，圆心在 轴上则 ），再把已知点代入定参数。圆心在轴上时少一个未知数，往往二元就能解。 方法2　一般方程的待定系数与配方互化：已知三点设一般方程解线性方程组；求出一般方程后用配方化回标准方程读圆心与半径，两条路互相检验。写结论前检查 ，否则方程可能不表示圆。 方法3　几何法：用「圆心在弦的垂直平分线上」定圆心，用「半径² = 弦心距² + 半弦长²」定半径；直径端点直接取中点、取半长。几何法常比待定系数少解一个方程组，能用则用。 方法4　点与圆的位置及圆上最值：位置关系只比 与 ；圆外定点 到圆上动点 的距离在 与 之间（ 为圆心），最值在直线 与圆的两个交点处取得——连结圆心与定点是这类最值的标准第一步。 三、易错提醒 ◆ 圆心符号看反： 的圆心是 ，不是 。从标准方程读圆心，先把括号统一写成 的形式再读。 ◆ 配方前系数必须化为 ： 要先除以 化成 再配方；带着系数 直接配方，一次项与常数项都会配错。 ◆ 忘检验 ： 配方得 ，右端为负，平面内没有点满足它，不表示圆。求出参数后这一步检验不能省。 ◆ 点与圆的位置比较错对象：要么比距离 与 ，要么比「距离的平方」与 ——两边必须同是距离或同是平方，一边开方一边不开方是最隐蔽的错。 ◆ 「圆过原点」与「圆心在原点」混淆：圆过原点 ⇔ （方程代 为零）；圆心在原点 ⇔ 。两个条件毫无关系，设方程前先想清楚用的是哪一个。 ◆ 直径端点处理不当：已知直径两端点求圆，圆心取中点、半径取半长，不要把直径长当成半径；半径 ，平方后再写方程。 ◆ 轨迹问题漏检验：由几何条件化出的方程可能比原条件多出一些点（如化简时两边平方、去掉「在 轴上方」这类约束），写答案前必须回到原条件逐一核对取值范围。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 圆心在坐标轴上的圆 题注：圆心 在 轴上，到 、 两点的距离（两条虚线段）都等于 ——「到两定点等距」就是圆心落在线段垂直平分线上的几何说法。 如图，求圆心在 轴上，且经过点 、 的圆的方程。 【答案】 【解析】圆心在 轴上，设圆的标准方程为 。 由 、 都在圆上，到圆心 的距离相等：。 展开：，两边消去 得 ，解得 。 代回求半径平方：。 故圆的方程为 。 检验： 代入： ✓；圆心 确在 轴上 ✓。 【点拨】圆心在坐标轴上是最常考的设方程信号：在 轴上设 ，少一个未知数，「两点等距」一个方程就能解出 。也可以改走几何路： 的中点是 ，斜率 ，垂直平分线斜率 ，与 轴（）的交点解出来同样是 ——代数法与几何法结论一致，考试时用哪个都行，验算时用另一个。 【例 2】 方法2 · 三点定圆与一般方程 题注：、、 三点都在圆上，圆心 是弦 的垂直平分线 与弦 的垂直平分线的交点，到三点的距离都是 。 如图，已知圆经过点 、、，求圆的方程。 【答案】，即 【解析】已知圆上三点，设圆的一般方程 。 代 ：；代 ：。 两式相减得 ，故 ，回代得 。 代 ：，即 ，得 。 故圆的一般方程为 。 配方：，圆心 、半径 。 检验：三点到圆心 的距离都是 ✓； ✓，确表示圆。 【点拨】三点定圆是「一般方程待定系数」的标志性场景：三点代入一般式得到的是三个一次方程，加减消元几步就完；同样的条件设标准式 ，得到的是两个二元二次方程，展开慢且易错。条件是「点」就用一般式，条件涉及「圆心位置」就用标准式，这句选形口诀要记牢。最后一步配方别只是形式——它同时给出了圆心与半径，顺带完成「」的检验。 【例 3】 方法3 · 几何法：垂直平分线定圆心 题注：圆心必在弦 的垂直平分线 （虚线）上，又要在直线 （虚线）上——两条虚线的交点就是圆心 ；两条虚线段 、 都是半径，长度相等。 如图，已知圆 过点 、，且圆心 在直线 上，求圆 的方程。 【答案】 【解析】圆心在弦 的垂直平分线上——先用几何法定圆心，再算半径。 的中点是 ；直线 的斜率 ，故垂直平分线的斜率为 ，方程为 ，即 。 由圆心 又在直线 上，联立两式：，解得 ，代回得 。故圆心 。 半径 （用 复算：，两个半径一致，圆心求对了）。 故圆 的方程为 。检验：： ✓；： ✓；圆心 满足 ✓。 【点拨】「圆心在弦的垂直平分线上」是几何法定圆心的第一步：两点定弦，由中点与「负倒数斜率」写出垂直平分线，再与圆心所在的已知直线联立，交点就是圆心——比设一般方程解三元方程组省力得多。半径用「圆心到已知点的距离」直接算，并换另一个点复算一遍：两个半径对不上，说明圆心求错了。最后把两个已知点代回方程检验，三步回检齐了再写结论。 【例 4】 方法4 · 点圆位置与圆上最值 题注：圆 的圆心 、半径 ；定点 在圆外，——连结 并延长、反向，与圆的两个交点处取得最值。 已知圆 ，点 。（1）把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；（2）判断点 与圆 的位置关系；（3） 是圆 上的动点，求 的最大值与最小值。 【答案】（1），圆心 、半径 ；（2） 在圆外；（3）最大值 ，最小值 【解析】（1）配方：，，代入得 ，即 。圆心 ，半径 。 （2）。由 （平方比较： ✓）， 在圆 外。 （3）连结 、。圆上每一点 到圆心的距离都等于 ，由三角形两边之和、之差得：，即 。 等号都能取到：直线 与圆的两个交点处， 在线段 上时取最小， 在线段 的延长线上时取最大。 故 的最大值为 ，最小值为 。 检验：直线 的方向向量是 ，单位化后为 ；最近点 在圆上（）且在线段 上， ✓；最远点 在圆上且 在线段 的延长线上， ✓。 【点拨】这类题的第一步永远是「化标准方程、连结圆心与定点」：圆上动点到定点的距离，最大最小都在连心线与圆的交点处，由三角形不等式直接给出 。判断位置关系时用平方比较（ 对 ）可以避免开方，但要记住两边必须同为平方。第（3）问的取等验证不可省：写出两个交点在线段或延长线上的位置关系，说明等号确实能取到，答案才完整。 五、巩固练习 1. 方法1 · 圆的方程基本概念（多选） 题注：四个选项各考一条——标准方程的圆心读法、一般方程表示圆的判定、半径的计算、点与圆的位置关系。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．圆 的圆心坐标为 B．方程 表示一个圆 C．圆 的半径为 D．点 在圆 外 【答案】BCD 【解析】A 错误： 即 ，圆心是 —— 里的 对应 。 B 正确：、、，，表示圆（配方：）。 C 正确：、、，。 D 正确：点 到原点的距离 ，在圆外。 故选 BCD。 【点拨】A 是符号陷阱的标准样本：把 读成 。统一写成 再读坐标，一次到位；B 这类「表示一个圆」的判定，只看 的符号，别被系数表面迷惑。 2. 方法1 · 圆心带参数的相切条件 题注： 时圆 与 轴切于 ； 到圆心 的距离 大于半径 ，在圆外。 如图，已知圆 与 轴相切。（1）求实数 的值；（2）对 的那个圆，判断点 与圆 的位置关系。 【答案】（1） 或 ；（2） 在圆外 【解析】（1）圆心 、半径 。与 轴相切 ⇔ 圆心到 轴的距离等于半径，即 ，故 或 。 （2） 即 ，圆为 ，圆心 。 。由 （平方比较： ✓）， 在圆外。 检验： 代入圆的方程左边：，代点比较同样得到「圆外」✓。 【点拨】「圆与坐标轴相切」翻译成代数条件就是「圆心的对应坐标的绝对值等于半径」：切 轴比 与 ，切 轴比 与 。绝对值方程 有两个解，题（2）用 挑出其中一个——凡是带绝对值或平方的相切条件，先想清楚有几个分支再动笔。 3. 方法3 · 与两坐标轴都相切的圆 题注：两个圆都与两坐标轴相切、都切 轴于同一点 ——圆心 、，半径都是 ；切点 由「圆心向 轴作垂线」得到。 如图，求与两坐标轴都相切，且与 轴相切于点 的圆的方程。 【答案】 或 【解析】设圆心为 、半径 。与两坐标轴都相切 ⇔ 。 圆切 轴于 ：圆心向 轴作垂线，垂足即切点，故 ，且 。 由 得 或 ，两个圆心 、 都符合「切 轴于 」（垂足都是 ）。 故圆的方程为 或 。 检验：圆心 到 轴距离 、到 轴距离 ，均等于半径 ✓；圆心 同理 ✓；两圆与 轴的切点都是 ✓。 【点拨】与两坐标轴都相切的圆，圆心必在直线 、 或它们的平行线上，四个象限各有一个「正方形角」的圆心——画个正方形辅助想象，切点、圆心、半径的关系一目了然。本题用「切点」锁定了纵坐标，剩下的就是绝对值方程 的两个分支；若条件改成「切 轴于 」，圆心就落到下半平面，方法完全一样。 4. 方法3 · 直径端点定圆及圆周角 题注： 是直径（、），圆心 ； 在圆上，——「直径所对的圆周角是直角」，用距离公式可以直接验证。 如图，已知点 、，圆 以线段 为直径。（1）求圆 的方程；（2）判断点 与圆 的位置关系；（3）若点 在圆 上，证明：。 【答案】（1）；（2） 在圆上；（3）见解析（） 【解析】（1）圆心是 的中点：。 ，半径 。 故圆 。 （2）， 在圆上。 （3）；。 于是 ，由勾股定理的逆定理，。 检验：、 代入圆方程： ✓， ✓，两端点都在圆上。 【点拨】直径端点定圆的口诀是「圆心取中点、半径取半长」，全程不需要解方程组。第（3）问是教材中「坐标法证几何」的代表性结论：直径所对的圆周角是直角，用「」这一行距离公式就能完成证明，比画辅助线更直接。反过来，这一结论也是检验「以 为直径的圆方程是否写对」的快速办法——圆上任一点都应满足它。 5. 方法2 · 圆的方程综合（多选） 题注：四个选项各考一条——同心圆的圆心、圆心在定直线上的参数条件、直径端点定圆、圆过原点的判定。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．圆 与圆 同心 B．若圆 的圆心在直线 上，则 C．以点 、 为直径两端点的圆的方程为 D．方程 表示的圆经过原点 【答案】BCD 【解析】A 错误： 配方得 ，圆心 ；而 的圆心是原点——圆心不同，不同心。 B 正确：圆心 在 上，代入得 ，故 。 C 正确： 中点（圆心）是原点，，半径 ，方程 。 D 正确：，代 得 ✓，圆过原点（配方：，确表示圆）。 故选 BCD。 【点拨】「同心」只看圆心、与半径无关，A 的配方一步就是判定；B 把圆心坐标代进定直线是最基本的待定思想；D 提醒一件事：判断「过不过原点」，直接把 代进方程看等不等于零，比什么都快——这一招对标准方程同样有效。 6. 方法4 · 比值条件的轨迹方程 题注：轨迹是以 为圆心、 为半径的圆——圆心在 轴的负半轴上，圆与 轴交于 和 ，点 在圆外。 如图，已知点 ，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 【答案】，即 【解析】设 。，。 由 两边平方：。 展开：，整理得 ，即 。 配方：，是圆心 、半径 的圆。 检验： ✓；取轨迹上的点 ：； ✓，确有 。 【点拨】「距离的倍数」条件，规范动作是两边平方化坐标等式： 平方后 、 项合并，只要 就得到一个圆（ 时二次项消去，轨迹退化为直线——两种情形的分界正是「平方后二次项系数」）。化简完成后再配方读圆心与半径，并代一个特殊点回检；这类「比值定圆」的轨迹在后面「隐形圆」专题中还会系统出现，本例是最基础的模型。 六、拓展提升 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 同心圆系：圆心 固定、半径可变的圆族是 （）；反过来，过定点 的圆心在动、半径随之变。即：与 （圆心 ）同心的圆是 ；其中过原点的那一个，代 得 ，即 。检验：原点到 的距离 恰为半径 ✓。 圆的对称：圆关于点（或直线）对称的图形仍是圆，圆心作同样的对称、半径不变。即：圆 关于原点的对称圆，圆心 对称为 ，方程为 ；关于 轴的对称圆圆心不变（ 本就在 轴上），方程就是它自己。检验：两圆半径都是 ，圆心关于原点对称 ✓。 圆与坐标轴的交点（截弦）：在圆的方程中令 解出 ，就得到圆与 轴的交点，两交点间的距离即圆在 轴上截得的弦长。即： 令 得 ，，交点 与 ，弦长 。验算：圆心 、半径 ，弦恰为直径，弦长 ✓。 用坐标法证几何结论：把几何命题翻译成坐标运算，是本节方法的直接应用。以 、 为直径端点的圆是 ，圆上任一点 满足 ；于是 ——这正是练 4 的结论在一般情形下的证明，两行代数替代了整段几何论证。 学科网（北京）股份有限公司 $