圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题8.3　圆的方程【纠错档案】

（25-26高二下·河南周口·阶段检测）

1.已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）

A．    B．    C．或    D．或

（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）

2.过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（ ）

A．    B．    C．    D．

（2026·重庆渝中·模拟预测）

3.已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ）

A．2    B．    C．3    D．

（25-26高一下·北京·期中）

4.设向量，，满足，，，则的取值不可能为（ ）

A．    B．3    C．    D．

序号	错误类型	错因诊断
1	忽略圆的一般方程的约束条件	忽略了原方程表示圆的隐含条件，缺少此不等式造成漏解
2	圆的轨迹遗漏限制条件	求圆的轨迹方程时，学生只注意方程，遗漏限制条件
3	与圆有关的最值问题思路不清	解决与圆有关的最值问题时，求出最值忘记加半径、直径
4	未掌握隐圆问题及其应用	未注意到题目中隐含圆的方程或不知如何利用圆的方程求解

纠正一 忽略圆的一般方程的约束条件

【错因解读】忽略了原方程表示圆的隐含条件，缺少此不等式造成漏解.

（25-26高二下·河南周口·阶段检测）

【典例1】已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）

A．    B．    C．或    D．或

【解析导引】因为方程表示圆，所以，解得或.

（根据圆的一般方程的约束条件取舍）当时，方程化为，此时，方程不表示圆；

当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为.

综上，圆心坐标为.

【补救措施】对于圆的一般方程，需要根据求参数范围，或者对已知结果代入检验.

【再练一个】

（25-26高二上·江苏常州·期末）

1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

纠正二 圆的轨迹遗漏限制条件

【错因解读】求圆的轨迹方程时，学生只注意方程，遗漏限制条件，进而功亏一篑.

（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）

【典例2】过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（ ）

A．    B．    C．    D．

【解析导引】（根据几何性质分析点的轨迹）由圆的性质知，故点的轨迹是以为直径的圆位于圆内部的－段圆弧，如图：

因为，所以的中点，且点D在圆C上，

故以为直径的圆的方程为，

设此圆与圆的两个交点为、，所以四边形是边长为1的菱形，

（根据题意分析轨迹的限制条件）所以，所以为正三角形，且边长为1.

所以，，则弧的长度为．

【补救措施】求圆的方程时：需要注意以下几点：

1.追溯“原始条件”： 化简前，原题中是否存在分母、根号、分母含参的意义，进而求参数的取值范围；

2. 代回原题检验：将这些可疑点，代入题目最初描述的几何条件（不是代入你化简后的方程），验证是否满足.

【再练一个】

（2026·山西大同·一模）

2．已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

纠正三 与圆有关的最值问题思路不清

【错因解读】解决与圆有关的最值问题时，求出最值忘记加半径、直径．

（2026·重庆渝中·模拟预测）

【典例3】已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ）

A．2    B．    C．3    D．

【解析导引】圆，得圆，圆心，半径，

圆，则圆心，半径，

（根据圆的性质和图形分析最值）四边形的面积，

要使其最小，需取最小值，而，此时.