隐形圆专项训练-2027届高三数学一轮复习

隐形圆专项训练 直角与直径圆 · 定比与定角轨迹 · 显化后的最值 · 专项训练 【教师版】 适用：高二同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签均标注了对应的方法序号，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 知识要点每条结论后面都有一行「即」字微示例：先读结论，再用示例里的数字口算一遍，验证过了再去做后面的题。 • 动笔前先想两件事：题目条件对应哪一类轨迹（直角、定长、定比还是定角）？显化出的圆心与半径是多少？先写出圆方程，再回到位置关系与最值的套路，最后检查有没有需要排除的点。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。显化出圆方程后，把轨迹上的一个特殊点代回原条件算一遍——这一步能抓住绝大多数的化简错误。 隐形圆专项训练 考点定位：人教 A 版选择性必修第一册第二章 2.4（圆的方程）的应用深化。主线是「先找圆、再用圆」——题目不直接给出圆，但动点满足的垂直、定长、定比等条件能化成「到定点距离等于定长」，先把它显化为圆的方程，位置关系、弦长、切线与最值就全部回到前几册的方法。 题源：本册 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）隐形圆与三类基本轨迹 1. 隐形圆：题目没有直接给出圆，但动点 满足的条件能化成「到定点距离等于定长」，先把它显化为圆的方程，再用圆的知识解题——这类隐藏在条件里的圆叫隐形圆。即：动点 满足 ，两边平方就是 ——圆心在原点、半径 的圆。 2. 定长型轨迹：（ 为定点）就是两点间距离公式，两边平方直接写出圆方程。即：（）→ ； → 。 3. 「定长」的常见来源：直角三角形的斜边中线、图形的对称性等——先把几何条件翻译成「到某定点距离为某定值」，再写方程。即：Rt△ 中斜边 、∠——直角顶点 到 中点的距离恒为 （斜边中线），轨迹是以 中点为圆心、 为半径的圆。 4. 直径圆（圆周角定理回扣）：∠ ⇔ 在以 为直径的圆上——圆心是 中点、半径是 ；、 两点要去掉。即：、，∠ → 的轨迹是 （去掉 ）。 5. 勾股与数量积写法：∠ ⇔ ⇔ 向量 ——三个条件等价，坐标化后都是圆方程；数量积写法不涉及斜率，最保险。即：、， → 。 （二）两条拓展轨迹与排除点 6. 斜率之积为 ： ⇔ （ 不竖直）⇔ 同样落在直径圆上；斜率写法要求两条斜率都存在，化简后要与数量积写法对照。即：、， 化简得 ；斜率不存在的位置恰是 ，对应的正是被去掉的 、 两点。 7. 距离定比型：（ 且 ）的轨迹是圆——两边平方用距离公式化简即得； 时是线段 的垂直平分线，不是圆。即：、，：两边平方展开得 ，配方为 ——圆心 、半径 。 8. 「面积一定」不是隐形圆：△ 面积为定值 ⇔ 到直线 的距离恒定 ⇔ 轨迹是与 平行的两条直线——先判断轨迹类型再动笔。即：、，△ 面积恒为 ： 得 → ，两条直线。 9. 定角型（）：∠ 为定值时 在圆弧上——以 为弦的圆中同弧圆周角相等（初中），弦长与半径满足 ； 是它的特例（弦变直径、弧变整圆）。即：、、： 得 ——轨迹是圆 或 上的两段弧。 10. 排除点：动点作为角的顶点、或使斜率分母为零的位置，必须从轨迹中去掉——答案要注明「去掉哪些点」，图形上用空心小圈表示。即：∠、、：轨迹是 ，但 与 或 重合时角无意义，两点 要去掉。 （三）显化之后——回到圆的套路 11. 先显化再套用：求出隐形圆的圆心与半径后，位置关系、弦长、切线全部回到前几册的方法——隐形圆的题目难在「找到圆」，不在「用圆」。即：轨迹 显化后，圆心 、半径 ，原点 在圆外（），过 求切线用 直接算。 12. 到定点距离的最值：定点 与圆心 距离为 时，圆上点 满足 最大 、最小 ——隐形圆同样适用。即：隐形圆 与定点 （）：最大 、最小 。 13. 平方和型：设 为 中点，恒等式 （由向量数量积展开）—— 在圆上时只需求 的最值。即：、（）， 在 上：，。 14. 化简纪律：定比与平方条件两边同乘、同除时系数不能丢（ 两边平方是 ）；显化出的圆方程必须代特殊点回原条件检验。即：（、）化出 ：代 ，、，比值恰为 ✓。 15. 判定流程：见到「垂直、直角、定比、定长、定角」先问轨迹是不是圆 → 用距离公式或数量积坐标化 → 显化圆心与半径 → 排除点 → 回到位置关系与最值套路收尾。即：练 6 的「斜率之积为 」先化出 ，再按「直线与轨迹恰有一个公共点」分「相切」与「过排除点」两类讨论。 二、方法提炼 方法1　直角与定长显化：∠、、勾股条件三条路都通向「以 为直径的圆」——数量积写法最稳（不怕斜率不存在）；定长条件直接用两点间距离公式。动笔先写圆心与半径，再写方程。 方法2　定比与定角显化： 两边平方后坐标化简、配方；∠ 用弦长与半径的关系 。 与「面积一定」给出的是直线不是圆——先判型再化简。 方法3　隐形圆上的最值：显化圆心 、半径 之后，到定点距离用 ，平方和用中点恒等式 ，到直线距离用 平移——全部化归为「圆心距 ± 半径」。 方法4　排除点与检验：角的顶点、斜率分母为零处必须去掉；方程化简完代两个特殊点回原条件；「恰有一个公共点」类问题要分「相切」与「过排除点」两类，只答相切会漏解。 三、易错提醒 ◆ 「」不是圆：是线段 的垂直平分线——定比 是「隐形圆」与「直线」的分界，见到等式先看比值是不是 。 ◆ 直径圆必须去掉 、：∠ 中 是角的顶点， 落在 或 上角无意义——答案写明「去掉 、」，不能只给方程。 ◆ 斜率写法有天然漏洞： 要求两条斜率都存在——先用数量积 化简，再回头说明「斜率不存在的位置恰是被去掉的端点」。 ◆ 两边平方系数别丢： 平方后是 ——只把系数乘上去忘了平方，或两边平方次数不一致，化出的方程全错。 ◆ 「面积一定」别当圆：面积定值 ⇔ 高定值 → 两条平行线，轨迹不是圆——把「隐形圆」标签套到所有轨迹题上是本册最大的坑。 ◆ 最值端点要过一遍排除点：用 求出最值后，检查最值点是否恰好是被去掉的端点。即：定点 对圆 的最值点 都不是端点，可取；若定点是 ，最远点 恰是端点 ，最大值取不到。 ◆ 显化后别忘回到圆的套路：求出圆方程只是第一步，位置关系、弦长、切线的计算与前面几册完全一致——不要因为「隐形」就另起炉灶重新发明公式。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 直角轨迹与距离最值 题注：（、）显化为 （去掉 ）；定点 在圆外，最大距离 在 、最小距离 在 取得。 如图，已知点 、，动点 满足 （ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设 ，求轨迹上的点 到 的距离的最大值与最小值。 【答案】（1）（去掉 ），是以原点为圆心、 为半径的圆去掉两点；（2）最大值 ，最小值 【解析】（1）设 ，则 、。由 ：，即 。 因 与 、 不重合，去掉 与 。轨迹是以原点 为圆心、 为半径的圆去掉两点。 （2）圆心 到 的距离 ， 在圆外：最大距离 ，最小距离 。 检验：最近点 、最远点 都在轨迹上（不是被去掉的端点）； ✓、 ✓； 处 ✓。 【点拨】数量积条件一步化圆：坐标代入、展开、合并，全程不讨论斜率——这是第 5 条「数量积写法最保险」的示范。第（2）问是「点圆位置」的直接应用： 在圆外用 ；因为最值点 不在被去掉的端点上，两个最值都取得到——若定点换成 ，最远点恰是端点 ，最大值就只能「无限逼近」。显化与最值两步合起来，就是隐形圆题目的完整套路。 【例 2】 方法2 · 定比轨迹与和式最值 题注：（、）显化为 ，圆心 、半径 ； 在圆内， 最小 在 取得。 如图，已知点 、，动点 满足 。（1）求 的轨迹方程；（2）求 的最小值。 【答案】（1）；（2）最小值 【解析】（1）设 。 两边平方：。 展开：，整理得 ，即 。 配方：——圆心 、半径 。 检验：代 ：、，比值恰为 ✓； 代入轨迹方程 ✓。 （2）由条件 ，所以 ，只需求 的最小值。 到圆心 的距离 ， 在圆内：圆上点到 的最小距离为 ，在 取得。 所以 的最小值为 。 检验： 处 ✓； 代入轨迹方程成立 ✓。 【点拨】定比条件是「把和式化成单项」的钥匙： 使 直接变成 ，最值问题降为一维。求 的最小值前必须先判 与圆的位置关系： 在圆内时最小值是 而不是 （后者为负，距离不能取负）。这类「定比 + 和式最值」的搭配是隐形圆的高频考法，套路固定：平方化圆 → 判位置 → 套 。 【例 3】 方法3 · 平方和的最值 题注：、 的中点 即原点， 在圆 上， 最小 （）、最大 （）；。 如图，已知点 、，动点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值。 【答案】最大值 ，最小值 【解析】设 为 的中点，则 ，。由恒等式 ，得 。 圆心 、半径 ，： 在圆上时 的最小值为 、最大值为 。 最小值 ；最大值 。 检验： 在圆上： ✓；，同理 ，和为 ✓。 【点拨】恒等式的来历（向量数量积）：、，平方展开后 （ 是中点），于是 。它把「两个距离的平方和」捆成一个变量 ——这正是隐形圆思想的一般形态：条件里没有现成的圆，但把条件整理后，问题总落在「到定点 的距离」上。记忆时抓一句：平方和只看中点。 【例 4】 方法4 · 距离定值找点 题注：∠ 显化为 （去掉 ）；到直线 距离为 的点在直线 上—— 与 ； 到 的垂足 ，。 如图，已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程；（2）轨迹上到直线 的距离等于 的点有几个？求出这些点的坐标。 【答案】（1）（去掉 ）；（2） 个： 与 【解析】（1）∠ ⇔ ：设 ，，即 ，去掉 与 。 （2）设 在轨迹上且到 的距离为 ：，即 ，得 或 。 到原点的距离 ，与轨迹无公共点，舍去。 过原点，与 联立：，代入得 ，，，。 所以满足条件的点有 个： 与 ，都不是被去掉的端点。 检验： 代入 ，距离 ✓； 在圆上 ✓； 处 ✓。 【点拨】「距离等于定值」= 两条与 平行、距离恰为定值的直线，必须逐条与轨迹联立——绝对值方程的两个分支都可能有点，也可能一条整条落在轨迹外（本例 离原点太远）。求出点后还有两道收尾：代回距离公式验值、对照排除点验存在——两道都过，答案才完整。 五、巩固练习 1. 方法1 · 隐形圆概念判断（多选） 题注：四个选项各考一条——定比 的分界、直径圆、数量积显化、定长轨迹。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．动点 满足 （、 为不同定点），则 的轨迹是圆 B．、，∠（ 与 、 不重合），则 的轨迹是圆（去掉 、） C．、，，则 的轨迹方程为 （去掉 ） D．动点 满足 （ 为原点），则 的轨迹方程为 【答案】BCD 【解析】A 错误： 即定比 ，轨迹是线段 的垂直平分线，是直线不是圆。 B 正确：∠ ⇔ 在以 为直径的圆上——圆心 、半径 ，轨迹 去掉 。 C 正确：设 ，、，，即 ，去掉 、 两点 。 检验： 处 ✓。 D 正确： 两边平方即 。 故选 BCD。 【点拨】四个选项对应第 1、4、5、7、2 条知识： 是「圆与直线」的分界（A）；直角条件用数量积坐标化最稳（B、C）；定长条件直接平方（D）。判断轨迹类题目的统一动作：设坐标 → 化条件 → 写方程 → 去排除点。 2. 方法2 · 定比轨迹方程 题注：（、）显化为 ——圆心 、半径 ；检验点 ：、。 已知点 、，动点 满足 ，求 的轨迹方程，并写出轨迹的圆心与半径。 【答案】，圆心 、半径 【解析】设 。 两边平方：。 展开：，整理得 ，即 。 配方：——圆心 、半径 。 检验：代 ：、， ✓； 代入轨迹方程 ✓。 【点拨】与例 2 同型异向：例 2 是 、练 2 是 ——平方后系数乘在哪一边要盯牢条件里的「谁是 倍」。化简到最后一步必须配方读圆心与半径，再用一个轨迹上的特殊点回代原条件检验。 3. 方法4 · 排除点与公共点个数 题注：∠（、）显化为 （去掉 ）；直线 与轨迹的代数交点 与 ——后者恰是被排除的端点 ，轨迹上的公共点只有 。 如图，已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程；（2）判断直线 与该轨迹的公共点个数。 【答案】（1）（去掉 ）；（2） 个 【解析】（1）∠ ⇔ 在以 为直径的圆上：圆心 、半径 ，轨迹为 ，去掉 与 。 （2）联立 与 ：，即 ， 或 。 对应 ： ✓，在轨迹上； 对应 ，是轨迹排除的端点，不是轨迹上的点。 所以直线与轨迹的公共点只有 ，共 个。 【点拨】代数联立解出 个交点 ≠ 轨迹上有 个公共点——排除点必须单独过筛：把解逐个代回「原条件」而不是只代回方程。本题直线恰好过端点 ，是「排除点吃掉一个交点」的典型设计；把本题与练 6 合起来看，「过排除点」在隐形圆题目里既影响公共点个数，也影响最值的可取性。 4. 方法3 · 平方和的最值 题注：、 的中点 即原点， 在圆 上， 最小 （）、最大 （）； 最小 、最大 。 如图，已知点 、，动点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值。 【答案】最大值 ，最小值 【解析】设 为 的中点，则 ，。由恒等式 ，得 。 圆心 、半径 ，： 的最小值为 （）、最大值为 （）。 最小值 ，最大值 。 检验： 在圆上： ✓，、，和为 ✓；：、，和为 ✓。 【点拨】与例 3 同一恒等式、不同数字：本题圆心恰好在 轴上、 是原点， 的最值直接读「」，答案都是整数——适合先做本题建立手感，再看例 3 的含根号版本。检验时直接代最值点算两个平方和，比代 更直观。 5. 方法2/3 · 直径圆综合（多选） 题注：四个选项各考一条——轨迹方程、直线与圆的位置关系、点到直线的最小距离、排除点对两圆位置关系的影响。 （多选）已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合），轨迹为圆 （去掉 、）。下列说法中，正确的是（　　） A．圆 的方程为 （去掉 ） B．直线 与圆 相离 C．圆 上的点到直线 的距离的最小值为 D．圆 与圆 内切 【答案】AC 【解析】A 正确：∠ ⇔ 以 为直径的圆——圆心 、半径 ，方程 ，去掉 。 B 错误：圆心到直线的距离 ，直线与圆相交，不是相离。 C 正确：圆心到直线 的距离 ，相离；圆上点到直线的最小距离 ，取得该最小值的点是 ，不是被去掉的端点 ✓。 D 错误：圆 的圆心 、半径 ；对两个「整圆」而言，圆心距 ，确实内切。但内切要求两图形恰有一个公共点，而这个公共切点正是 ——它就是被去掉的端点 ，不在圆 上：两图形其实没有任何公共点，不满足内切的定义。 故选 AC。 【点拨】A 是显化、B 与 C 是位置关系两条方向（直线到圆心的距离决定「直线与圆」，也决定「圆上点到直线」的最值）、D 是本册主题的「深水区」——两圆位置关系也要过一遍排除点：把 D 按整圆判成内切只对了第一步，还必须确认切点 没有被轨迹排除；它恰是被去掉的端点，内切不成立。B 选项的 与 比较别用近似值糊弄：，平方比较最干净。 6. 方法4 · 恰有一个公共点 题注：斜率之积 显化为 （去掉 ）； 恒过 （圆外）——相切 （图示切点 ），或过被排除的端点 （图示过 ）、。 如图，已知点 、，动点 满足直线 与 的斜率之积为 。（1）求 的轨迹方程；（2）已知直线 与该轨迹恰有一个公共点，求实数 的取值集合。 【答案】（1）（去掉 ）；（2） 的取值集合为 【解析】（1）设 。 ⇔ ⇔ ：，即 。 斜率不存在的位置是 ，对应的正是端点 ——已在「 与 、 不重合」中去掉，两种写法一致。 （2）直线 恒过 ， 在圆外。「恰有一个公共点」分两类。 第一类：相切。圆心到直线的距离 ，即 ，。 切点： 时直线 ，切点 —— 在圆上，且不是端点 ✓。 第二类：直线过被排除的端点。过 ：，；过 ：，。 时联立得 ，即 ， 或 —— 对应端点 （排除）， 对应 ： 在圆上且不是端点 ✓，轨迹上恰有一个公共点。 同理。 所以 的取值集合为 。 检验： 时 直线与圆相交，交点中的端点被排除后恰剩一个 ✓； 时 相切 ✓。 【点拨】本题的题眼是「轨迹去掉两个点」：直线与「整圆」恰有一个公共点只有相切；但直线过被去掉的端点时，两个代数交点只剩一个落在轨迹上——也是「恰有一个」。漏掉第二类是本题最常见失分点。判型口诀：先对整圆分类（相切、相交、相离），再把排除点的特殊位置单独过一遍。 六、拓展提升 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 定角轨迹的半径公式：∠（）为定值时， 的轨迹是以 为弦的圆弧，半径 —— 时，弦变直径、弧变整圆，正是第 4 条的直径圆。即：、、：，圆心在 的中垂线 轴上、到 距离 ，即 ——与第 9 条的结果一致。 定比轨迹的圆心位置：（）显化出的圆，圆心一定在直线 上——化简结果里 的一次项不出现。即：例 2 的 （、）：化出 ，圆心 在 轴（直线 ）上 ✓；练 2 的圆心 同样如此。 平方和恒等式的另一面： 说明平方和由「 离 中点多远」唯一决定—— 在以 为圆心的圆上时，平方和是定值。即：、， 在 上： 恒定， 为定值——代 ： ✓；代 ：、，和仍为 的两倍即 ✓。 与隐形圆一字之差的轨迹对照： → 中垂线（直线）； 定值 → 圆（ 为圆心、半径 ）；（定值，）→ 不是圆（椭圆，后面章节研究）； 定值 → 也不是圆。判断轨迹类型永远先化简再下结论。即：、： 化出 是圆； 化出 是直线； 不是圆。 学科网（北京）股份有限公司 $ 隐形圆专项训练 直角与直径圆 · 定比与定角轨迹 · 显化后的最值 · 专项训练 【学生版】 适用：高二同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签均标注了对应的方法序号，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 知识要点每条结论后面都有一行「即」字微示例：先读结论，再用示例里的数字口算一遍，验证过了再去做后面的题。 • 动笔前先想两件事：题目条件对应哪一类轨迹（直角、定长、定比还是定角）？显化出的圆心与半径是多少？先写出圆方程，再回到位置关系与最值的套路，最后检查有没有需要排除的点。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 80 分钟完成。显化出圆方程后，把轨迹上的一个特殊点代回原条件算一遍——这一步能抓住绝大多数的化简错误。 隐形圆专项训练 考点定位：人教 A 版选择性必修第一册第二章 2.4（圆的方程）的应用深化。主线是「先找圆、再用圆」——题目不直接给出圆，但动点满足的垂直、定长、定比等条件能化成「到定点距离等于定长」，先把它显化为圆的方程，位置关系、弦长、切线与最值就全部回到前几册的方法。 题源：本册 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）隐形圆与三类基本轨迹 1. 隐形圆：题目没有直接给出圆，但动点 满足的条件能化成「到定点距离等于定长」，先把它显化为圆的方程，再用圆的知识解题——这类隐藏在条件里的圆叫隐形圆。即：动点 满足 ，两边平方就是 ——圆心在原点、半径 的圆。 2. 定长型轨迹：（ 为定点）就是两点间距离公式，两边平方直接写出圆方程。即：（）→ ； → 。 3. 「定长」的常见来源：直角三角形的斜边中线、图形的对称性等——先把几何条件翻译成「到某定点距离为某定值」，再写方程。即：Rt△ 中斜边 、∠——直角顶点 到 中点的距离恒为 （斜边中线），轨迹是以 中点为圆心、 为半径的圆。 4. 直径圆（圆周角定理回扣）：∠ ⇔ 在以 为直径的圆上——圆心是 中点、半径是 ；、 两点要去掉。即：、，∠ → 的轨迹是 （去掉 ）。 5. 勾股与数量积写法：∠ ⇔ ⇔ 向量 ——三个条件等价，坐标化后都是圆方程；数量积写法不涉及斜率，最保险。即：、， → 。 （二）两条拓展轨迹与排除点 6. 斜率之积为 ： ⇔ （ 不竖直）⇔ 同样落在直径圆上；斜率写法要求两条斜率都存在，化简后要与数量积写法对照。即：、， 化简得 ；斜率不存在的位置恰是 ，对应的正是被去掉的 、 两点。 7. 距离定比型：（ 且 ）的轨迹是圆——两边平方用距离公式化简即得； 时是线段 的垂直平分线，不是圆。即：、，：两边平方展开得 ，配方为 ——圆心 、半径 。 8. 「面积一定」不是隐形圆：△ 面积为定值 ⇔ 到直线 的距离恒定 ⇔ 轨迹是与 平行的两条直线——先判断轨迹类型再动笔。即：、，△ 面积恒为 ： 得 → ，两条直线。 9. 定角型（）：∠ 为定值时 在圆弧上——以 为弦的圆中同弧圆周角相等（初中），弦长与半径满足 ； 是它的特例（弦变直径、弧变整圆）。即：、、： 得 ——轨迹是圆 或 上的两段弧。 10. 排除点：动点作为角的顶点、或使斜率分母为零的位置，必须从轨迹中去掉——答案要注明「去掉哪些点」，图形上用空心小圈表示。即：∠、、：轨迹是 ，但 与 或 重合时角无意义，两点 要去掉。 （三）显化之后——回到圆的套路 11. 先显化再套用：求出隐形圆的圆心与半径后，位置关系、弦长、切线全部回到前几册的方法——隐形圆的题目难在「找到圆」，不在「用圆」。即：轨迹 显化后，圆心 、半径 ，原点 在圆外（），过 求切线用 直接算。 12. 到定点距离的最值：定点 与圆心 距离为 时，圆上点 满足 最大 、最小 ——隐形圆同样适用。即：隐形圆 与定点 （）：最大 、最小 。 13. 平方和型：设 为 中点，恒等式 （由向量数量积展开）—— 在圆上时只需求 的最值。即：、（）， 在 上：，。 14. 化简纪律：定比与平方条件两边同乘、同除时系数不能丢（ 两边平方是 ）；显化出的圆方程必须代特殊点回原条件检验。即：（、）化出 ：代 ，、，比值恰为 ✓。 15. 判定流程：见到「垂直、直角、定比、定长、定角」先问轨迹是不是圆 → 用距离公式或数量积坐标化 → 显化圆心与半径 → 排除点 → 回到位置关系与最值套路收尾。即：练 6 的「斜率之积为 」先化出 ，再按「直线与轨迹恰有一个公共点」分「相切」与「过排除点」两类讨论。 二、方法提炼 方法1　直角与定长显化：∠、、勾股条件三条路都通向「以 为直径的圆」——数量积写法最稳（不怕斜率不存在）；定长条件直接用两点间距离公式。动笔先写圆心与半径，再写方程。 方法2　定比与定角显化： 两边平方后坐标化简、配方；∠ 用弦长与半径的关系 。 与「面积一定」给出的是直线不是圆——先判型再化简。 方法3　隐形圆上的最值：显化圆心 、半径 之后，到定点距离用 ，平方和用中点恒等式 ，到直线距离用 平移——全部化归为「圆心距 ± 半径」。 方法4　排除点与检验：角的顶点、斜率分母为零处必须去掉；方程化简完代两个特殊点回原条件；「恰有一个公共点」类问题要分「相切」与「过排除点」两类，只答相切会漏解。 三、易错提醒 ◆ 「」不是圆：是线段 的垂直平分线——定比 是「隐形圆」与「直线」的分界，见到等式先看比值是不是 。 ◆ 直径圆必须去掉 、：∠ 中 是角的顶点， 落在 或 上角无意义——答案写明「去掉 、」，不能只给方程。 ◆ 斜率写法有天然漏洞： 要求两条斜率都存在——先用数量积 化简，再回头说明「斜率不存在的位置恰是被去掉的端点」。 ◆ 两边平方系数别丢： 平方后是 ——只把系数乘上去忘了平方，或两边平方次数不一致，化出的方程全错。 ◆ 「面积一定」别当圆：面积定值 ⇔ 高定值 → 两条平行线，轨迹不是圆——把「隐形圆」标签套到所有轨迹题上是本册最大的坑。 ◆ 最值端点要过一遍排除点：用 求出最值后，检查最值点是否恰好是被去掉的端点。即：定点 对圆 的最值点 都不是端点，可取；若定点是 ，最远点 恰是端点 ，最大值取不到。 ◆ 显化后别忘回到圆的套路：求出圆方程只是第一步，位置关系、弦长、切线的计算与前面几册完全一致——不要因为「隐形」就另起炉灶重新发明公式。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 直角轨迹与距离最值 题注：（、）显化为 （去掉 ）；定点 在圆外，最大距离 在 、最小距离 在 取得。 如图，已知点 、，动点 满足 （ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设 ，求轨迹上的点 到 的距离的最大值与最小值。 【例 2】 方法2 · 定比轨迹与和式最值 题注：（、）显化为 ，圆心 、半径 ； 在圆内， 最小 在 取得。 如图，已知点 、，动点 满足 。（1）求 的轨迹方程；（2）求 的最小值。 【例 3】 方法3 · 平方和的最值 题注：、 的中点 即原点， 在圆 上， 最小 （）、最大 （）；。 如图，已知点 、，动点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值。 【例 4】 方法4 · 距离定值找点 题注：∠ 显化为 （去掉 ）；到直线 距离为 的点在直线 上—— 与 ； 到 的垂足 ，。 如图，已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程；（2）轨迹上到直线 的距离等于 的点有几个？求出这些点的坐标。 五、巩固练习 1. 方法1 · 隐形圆概念判断（多选） 题注：四个选项各考一条——定比 的分界、直径圆、数量积显化、定长轨迹。 （多选）下列说法中，正确的是（　　） A．动点 满足 （、 为不同定点），则 的轨迹是圆 B．、，∠（ 与 、 不重合），则 的轨迹是圆（去掉 、） C．、，，则 的轨迹方程为 （去掉 ） D．动点 满足 （ 为原点），则 的轨迹方程为 2. 方法2 · 定比轨迹方程 题注：（、）显化为 ——圆心 、半径 ；检验点 ：、。 已知点 、，动点 满足 ，求 的轨迹方程，并写出轨迹的圆心与半径。 3. 方法4 · 排除点与公共点个数 题注：∠（、）显化为 （去掉 ）；直线 与轨迹的代数交点 与 ——后者恰是被排除的端点 ，轨迹上的公共点只有 。 如图，已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合）。（1）求 的轨迹方程；（2）判断直线 与该轨迹的公共点个数。 4. 方法3 · 平方和的最值 题注：、 的中点 即原点， 在圆 上， 最小 （）、最大 （）； 最小 、最大 。 如图，已知点 、，动点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值。 5. 方法2/3 · 直径圆综合（多选） 题注：四个选项各考一条——轨迹方程、直线与圆的位置关系、点到直线的最小距离、排除点对两圆位置关系的影响。 （多选）已知点 、，动点 满足 ∠（ 与 、 不重合），轨迹为圆 （去掉 、）。下列说法中，正确的是（　　） A．圆 的方程为 （去掉 ） B．直线 与圆 相离 C．圆 上的点到直线 的距离的最小值为 D．圆 与圆 内切 6. 方法4 · 恰有一个公共点 题注：斜率之积 显化为 （去掉 ）； 恒过 （圆外）——相切 （图示切点 ），或过被排除的端点 （图示过 ）、。 如图，已知点 、，动点 满足直线 与 的斜率之积为 。（1）求 的轨迹方程；（2）已知直线 与该轨迹恰有一个公共点，求实数 的取值集合。 六、拓展提升 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 定角轨迹的半径公式：∠（）为定值时， 的轨迹是以 为弦的圆弧，半径 —— 时，弦变直径、弧变整圆，正是第 4 条的直径圆。即：、、：，圆心在 的中垂线 轴上、到 距离 ，即 ——与第 9 条的结果一致。 定比轨迹的圆心位置：（）显化出的圆，圆心一定在直线 上——化简结果里 的一次项不出现。即：例 2 的 （、）：化出 ，圆心 在 轴（直线 ）上 ✓；练 2 的圆心 同样如此。 平方和恒等式的另一面： 说明平方和由「 离 中点多远」唯一决定—— 在以 为圆心的圆上时，平方和是定值。即：、， 在 上： 恒定， 为定值——代 ： ✓；代 ：、，和仍为 的两倍即 ✓。 与隐形圆一字之差的轨迹对照： → 中垂线（直线）； 定值 → 圆（ 为圆心、半径 ）；（定值，）→ 不是圆（椭圆，后面章节研究）； 定值 → 也不是圆。判断轨迹类型永远先化简再下结论。即：、： 化出 是圆； 化出 是直线； 不是圆。 学科网（北京）股份有限公司 $